Серия Hahn - Hahn series

В математике , серия Hahn (иногда называемая также серия Хан-мальцевский-Нейман ) представляют собой тип формального бесконечного ряда. Они являются обобщением рядов Пюизо (сами по себе являются обобщением формальных степенных рядов ) и были впервые введены Гансом Ханом в 1907 году (а затем обобщены Анатолием Мальцевым и Бернхардом Нойманом на некоммутативную ситуацию). Они допускают произвольные показатели неопределенности, пока поддерживающий их набор образует упорядоченное подмножество группы значений (обычно или ). Ряды Хана были сначала введены как группы в ходе доказательства теоремы вложения Хана, а затем изучены им как поля в своем подходе к семнадцатой проблеме Гильберта . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Формулировка

Поле ряда Хана (в неопределенном T ) над полем K и с группой значений Γ (упорядоченная группа) - это множество формальных выражений вида ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$

{\ displaystyle f = \ sum _ {е \ in \ Gamma} c_ {e} T ^ {e}}

с , что носитель из F является вполне упорядоченным . Сумма и произведение ${\ displaystyle c_ {e} \ in K}$ ${\ displaystyle \ operatorname {supp} f: = \ {e \ in \ Gamma: c_ {e} \ neq 0 \}}$

{\ displaystyle f = \ sum _ {е \ in \ Gamma} c_ {e} T ^ {e}}

а также

{\ displaystyle g = \ sum _ {е \ in \ Gamma} d_ {e} T ^ {e}}

даны

{\ displaystyle f + g = \ sum _ {e \ in \ Gamma} (c_ {e} + d_ {e}) T ^ {e}}

а также

{\ displaystyle fg = \ sum _ {е \ in \ Gamma} \ sum _ {e '+ e' '= e} c_ {e'} d_ {e ''} T ^ {e}}

(в последнем случае сумма по таким значениям , что и конечна, поскольку хорошо упорядоченный набор не может содержать бесконечную убывающую последовательность). ${\ Displaystyle \ сумма _ {е '+ е' '= е} \ cdot}$ ${\ Displaystyle (е ', е' ')}$ ${\ displaystyle c_ {e '} \ neq 0}$ ${\ displaystyle d_ {e ''} \ neq 0}$

Например, это ряд Хана (по любому полю), потому что множество рациональных чисел ${\ displaystyle T ^ {- 1 / p} + T ^ {- 1 / p ^ {2}} + T ^ {- 1 / p ^ {3}} + \ cdots}$

{\ displaystyle \ left \ {- {\ frac {1} {p}}, - {\ frac {1} {p ^ {2}}}, - {\ frac {1} {p ^ {3}}} , \ ldots \ right \}}

упорядочен; это не ряд Пюизо, потому что знаменатели в экспонентах неограниченны. (И если базовое поле K имеет характеристику p , то этот ряд Хана удовлетворяет уравнению, поэтому он является алгебраическим над .) ${\ displaystyle X ^ {p} -X = T ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle К (Т)}$

Характеристики

Свойства оценочного поля

Оценка ненулевого ряда Хана ${\ displaystyle v (f)}$

{\ displaystyle f = \ sum _ {е \ in \ Gamma} c_ {e} T ^ {e}}

определяется как наименьшее такое, что (другими словами, наименьший элемент опоры ): это превращается в сферически полное значащее поле с группой значений и полем вычетов ( апостериорное обоснование терминологии). Фактически, если имеет нулевую характеристику, то с точностью до (неединственного) изоморфизма является единственным сферически полным значным полем с полем вычетов и группой значений . Оценка определяет топологию на . Если , то v соответствует ультраметрическому модулю , по отношению к которому есть полное метрическое пространство . Однако, в отличие от формальных рядов Лорана или Пюизо, формальные суммы, используемые при определении элементов поля, не сходятся: в случае, например, абсолютные значения членов стремятся к 1 (поскольку их оценки имеют тенденцию к 0), поэтому ряд не сходится (такие ряды иногда называют «псевдосходящимися»). ${\ displaystyle e \ in \ Gamma}$ ${\ displaystyle c_ {e} \ neq 0}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle К [[T ^ {\ Gamma}]]}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle (К [[T ^ {\ Gamma}]], v)}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$ ${\ Displaystyle \ Gamma \ substeq \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle | е | = \ ехр (-v (f))}$ ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$ ${\ displaystyle T ^ {- 1 / p} + T ^ {- 1 / p ^ {2}} + T ^ {- 1 / p ^ {3}} + \ cdots}$

Алгебраические свойства

Если K алгебраически замкнуто (но не обязательно нулевой характеристики) и Γ делится, то алгебраически замкнуто. Таким образом, алгебраическое замыкание содержится в , где - алгебраическое замыкание (когда K имеет нулевую характеристику, это в точности поле ряда Пюизо ): на самом деле можно дать несколько аналогичное описание алгебраического замыкания из в положительной характеристике как подмножества . ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$ ${\ Displaystyle К ((Т))}$ ${\ displaystyle {\ overline {K}} [[T ^ {\ mathbb {Q}}]]}$ ${\ displaystyle {\ overline {K}}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle К ((Т))}$ ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$

Если K является упорядоченным полем, то он полностью упорядочивается, делая неопределенное T бесконечно малым (больше 0, но меньше любого положительного элемента K ) или, что то же самое, используя лексикографический порядок коэффициентов ряда. Если K является вещественно замкнутых и Γ делится , то само вещественно замкнуто. Этот факт можно использовать для анализа (или даже построения) поля сюрреалистических чисел (которое как упорядоченное поле изоморфно полю ряда Хана с действительными коэффициентами и группирует значения самих сюрреалистических чисел). ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$ ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$

Если κ - бесконечный регулярный кардинал , можно рассмотреть подмножество, состоящее из рядов, опорное множество которых имеет мощность (строго) меньше κ : оказывается, что это также поле с теми же свойствами алгебраической замкнутости, что и полное : например, она алгебраически замкнута или вещественно замкнута, когда K так и Γ делится. ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$ ${\ displaystyle \ {е \ in \ Gamma: c_ {e} \ neq 0 \}}$ ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$

Суммируемые семьи

Можно определить понятие суммируемых семейств в . Если является набором и является семейством рядов Хана , то мы говорим, что это суммируемое, если набор хорошо упорядочен и каждое множество для конечно. ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle (е_ {я}) _ {я \ в я}}$ ${\ Displaystyle е_ {я} \ в К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$ ${\ Displaystyle (е_ {я}) _ {я \ в я}}$ ${\ displaystyle \ bigcup \ limits _ {i \ in I} \ operatorname {supp} f_ {i} \ subset \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ {я \ in I \ mid e \ in \ operatorname {supp} f_ {i} \}}$ ${\ displaystyle e \ in \ Gamma}$

Затем мы можем определить сумму как ряд Хана ${\ displaystyle \ sum \ limits _ {i \ in I} f_ {i}}$

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} f_ {i}: = \ sum \ limits _ {e \ in \ Gamma} \ left (\ sum _ {i \ in I} f_ {i} (e) \ справа) T ^ {e}.}

Если суммируемы, то и семейства суммируемы , и мы имеем ${\ Displaystyle (е_ {я}) _ {я \ в я}, (г_ {я}) _ {я \ в я}}$ ${\ displaystyle (f_ {i} + g_ {i}) _ {i \ in I}, (f_ {i} g_ {j}) _ {(i, j) \ in I \ times I}}$

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} f_ {i} + g_ {i} = \ sum _ {i \ in I} f_ {i} + \ sum _ {i \ in I} g_ {i}}

а также

{\ displaystyle \ sum _ {(i, j) \ in I \ times I} f_ {i} g_ {j} = \ left (\ sum _ {i \ in I} f_ {i} \ right) \ left ( \ sum _ {i \ in I} g_ {i} \ right).}

Это понятие суммируемого семейства не соответствует понятию сходимости в топологии оценки на . Например, в семейство суммируемо, но последовательность не сходится. ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ left [\ left [T ^ {\ mathbb {Q}} \ right] \ right]}$ ${\ Displaystyle (Т ^ {\ гидроразрыва {п} {п + 1}} + Т ^ {п + 1}) _ {п \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (\ sum \ limits _ {k \ leq n} T ^ {\ frac {k} {k + 1}} + T ^ {k + 1}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Оценка аналитических функций

Обозначим через <и кольцо вещественнозначных функций, аналитических в окрестности . ${\ Displaystyle а \ в \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {a}}$ ${\ displaystyle a}$

Если содержит , то мы можем оценить каждый элемент из в каждом элементе формы , где оценка строго положительна. В самом деле, семейство всегда суммируемо, поэтому мы можем определить его . Это определяет морфизм колец . ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {a}}$ ${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [Т ^ {\ Гамма} \ вправо] \ вправо]}$ ${\ displaystyle a + \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle ({\ гидроразрыва {е ^ {(п)} (а)} {п!}} \ varepsilon ^ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle f (a + \ varepsilon): = \ sum \ limits _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} \ varepsilon ^ { n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {a} \ longrightarrow K \ left [\ left [T ^ {\ Gamma} \ right] \ right]}$

Серия Хана – Витта

Построение рядов Хана можно комбинировать с векторами Витта (по крайней мере, над совершенным полем ), чтобы образовать скрученные ряды Хана или ряды Хана – Витта : например, над конечным полем K характеристики p (или их алгебраическим замыканием) поле ряда Хана – Витта с группой значений Γ (содержащей целые числа) будет набором формальных сумм, в котором теперь есть представители Тейхмюллера (элементов K ), которые умножаются и складываются таким же образом, как и в случае обычных векторов Витта (который получается, когда Γ - группа целых чисел). Когда Γ - группа рациональных чисел или вещественных чисел, а K - алгебраическое замыкание конечного поля с p элементами, эта конструкция дает (ультра) метрически полное алгебраически замкнутое поле, содержащее p -адики, следовательно, более или менее явное описание поле или его сферическое завершение. ${\ displaystyle \ sum _ {е \ in \ Gamma} c_ {e} p ^ {e}}$ ${\ displaystyle c_ {e}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {p}}$

Примеры

Поле из формальных рядов Лорана над может быть описано как . ${\ Displaystyle К ((Т))}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle К [[Т ^ {\ mathbb {Z}}]]}$
Поле сюрреалистических чисел можно рассматривать как поле ряда Хана с действительными коэффициентами, а значения группируют сами сюрреалистические числа.
Поле Леви-Чивита можно рассматривать как подполе , с дополнительным наложением, что коэффициенты должны быть левым конечным множеством : набор коэффициентов, меньших данного коэффициента , конечно. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [[Т ^ {\ mathbb {Q}}]]}$ ${\ displaystyle c_ {q}}$
Поле транссерий представляет собой направленное объединение полей Хана (и является расширением поля Леви-Чивиты). Конструкция напоминает (но не в буквальном смысле) , . ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ Displaystyle T_ {0} = \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle T_ {п + 1} = \ mathbb {R} \ left [\ left [\ varepsilon ^ {T_ {n}} \ right] \ right]}$