Инвариант Хопфа - Hopf invariant

В математике , в частности в алгебраической топологии , инвариант Хопфа - это гомотопический инвариант некоторых отображений между n-сферами .

Мотивация

В 1931 году Хайнц Хопф использовал параллели Клиффорда для построения карты Хопфа.

${\ displaystyle \ eta \ двоеточие S ^ {3} \ to S ^ {2}}$,

и доказал, что это существенно, т. е. не гомотопно постоянному отображению, используя тот факт, что число зацеплений окружностей ${\ displaystyle \ eta}$

${\ displaystyle \ eta ^ {- 1} (х), \ eta ^ {- 1} (y) \ subset S ^ {3}}$

равно 1 для любого . ${\ Displaystyle х \ neq y \ в S ^ {2}}$

Позже было показано, что гомотопическая группа - это бесконечная циклическая группа, порожденная . В 1951 году Жан-Пьер Серр доказал, что рациональные гомотопические группы ${\ Displaystyle \ pi _ {3} (S ^ {2})}$${\ displaystyle \ eta}$

${\ Displaystyle \ pi _ {я} (S ^ {п}) \ otimes \ mathbb {Q}}$

для нечетномерной сферы ( odd) равны нулю, если не равно 0 или n . Однако для четномерной сферы ( n четных) существует еще один бит бесконечной циклической гомотопии по степени . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle 2n-1}$

Определение

Позвольте быть непрерывным отображением (предположим ). Тогда мы можем сформировать клеточный комплекс${\ Displaystyle \ phi \ двоеточие S ^ {2n-1} \ to S ^ {n}}$${\ displaystyle n> 1}$

${\ Displaystyle С _ {\ phi} = S ^ {n} \ чашка _ {\ phi} D ^ {2n},}$

где - размерный диск, прикрепленный к переходному отверстию . Группы клеточных цепей только свободно генерироваться на -клетка в степени , поэтому они в степени 0, а и нуль везде. Клеточные (ко) гомологии - это (ко) гомологии этого цепного комплекса , и поскольку все граничные гомоморфизмы должны быть нулевыми (напомним, что ), когомологии ${\ displaystyle D ^ {2n}}$${\ displaystyle 2n}$${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle С _ {\ mathrm {ячейка}} ^ {*} (С _ {\ phi})}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n> 1}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {cell}} ^ {i} (C _ {\ phi}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & i = 0, n, 2n, \\ 0 & {\ mbox {иначе }}. \ end {case}}}$

Обозначим образующие групп когомологий через

${\ Displaystyle Н ^ {п} (С _ {\ phi}) = \ langle \ альфа \ rangle}$ и ${\ Displaystyle H ^ {2n} (C _ {\ phi}) = \ langle \ beta \ rangle.}$

По причинам габаритов все чашки между этими классами должны быть тривиальными, кроме . Таким образом, когомологии как кольцо${\ Displaystyle \ альфа \ улыбка \ альфа}$

${\ Displaystyle H ^ {*} (C _ {\ phi}) = \ mathbb {Z} [\ alpha, \ beta] / \ langle \ beta \ smile \ beta = \ alpha \ smile \ beta = 0, \ alpha \ улыбка \ alpha = h (\ phi) \ beta \ rangle.}$

Целое число является инвариантом Хопфа карты . ${\ Displaystyle ч (\ фи)}$${\ displaystyle \ phi}$

Свойства

Теорема : отображение является гомоморфизмом. Кроме того, если является четным, отображается на . ${\ Displaystyle ч \ двоеточие \ pi _ {2n-1} (S ^ {n}) \ to \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$

Инвариант Хопфа предназначен для отображений Хопфа , где , соответственно, вещественным алгебрам с делением и расслоению, передающему направление на сфере подпространству, которое оно охватывает. Это теорема, доказанная сначала Фрэнком Адамсом , а затем Адамсом и Майклом Атьей с помощью методов топологической K-теории , что это единственные отображения с инвариантом Хопфа 1. ${\ displaystyle 1}$${\ Displaystyle п = 1,2,4,8}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} = \ mathbb {R}, \ mathbb {C}, \ mathbb {H}, \ mathbb {O}}$${\ Displaystyle S (\ mathbb {A} ^ {2}) \ to \ mathbb {PA} ^ {1}}$

Обобщения для стабильных карт

Можно определить очень общее понятие инварианта Хопфа, но оно требует некоторого теоретического обоснования гомотопии:

Пусть обозначает векторное пространство и его одноточечной компактификации , то есть и ${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle V \ cong \ mathbb {R} ^ {k}}$

${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ cong S ^ {k}}$для некоторых .${\ displaystyle k}$

Если это любое заостренное пространство (как это неявно указано в предыдущем разделе), и если мы возьмем бесконечно удаленную точку в качестве базовой точки , то мы можем сформировать произведения клина ${\ displaystyle (X, x_ {0})}$${\ Displaystyle V ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ клин X}$.

Теперь позвольте

${\ Displaystyle F \ двоеточие V ^ {\ infty} \ клин X \ к V ^ {\ infty} \ клин Y}$

быть устойчивым отображением, т. е. устойчивым относительно функтора приведенной подвески . (Стабильный) геометрический инвариант Хопфа из IS ${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle h (F) \ in \ {X, Y \ wedge Y \} _ {\ mathbb {Z} _ {2}}}$,

элемент стабильно -эквивариантной гомотопической группы отображений из в . Здесь «стабильный» означает «стабильный относительно подвешивания», т. Е. Прямой предел (или , если хотите) обычных эквивариантных гомотопических групп; а -action - это тривиальное действие и включение двух факторов . Если мы позволим ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Y \ клин Y}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Y \ клин Y}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {X} \ двоеточие X \ в X \ клин X}$

обозначим каноническое диагональное отображение и тождество, то инвариант Хопфа определяется следующим образом: ${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle ч (F): = (F \ клин F) (I \ клин \ Delta _ {X}) - (I \ клин \ Delta _ {Y}) (I \ клин F).}$

Эта карта изначально является картой из

${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ клин V ^ {\ infty} \ клин X}$к ,${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ клин V ^ {\ infty} \ клин Y \ клин Y}$

но при прямом пределе он становится объявленным элементом стабильной гомотопически -эквивариантной группы отображений. Существует также нестабильная версия инварианта Хопфа , для которой необходимо отслеживать векторное пространство . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle h_ {V} (F)}$${\ displaystyle V}$

Ссылки

• Адамс, Дж Франк (1960), "О несуществовании элементов инвариантом Хопфа один", Анналы математики , 72 (1): 20-104, CiteSeerX  10.1.1.299.4490 , DOI : 10,2307 / 1970147 , JSTOR  1970147 , Руководство по ремонту  0141119
• Адамс, Дж. Франк ; Атия, Майкл Ф. (1966), "К-теория и инвариант Хопфа", Ежеквартальный журнал математика , 17 (1): 31-38, DOI : 10,1093 / qmath / 17.1.31 , МР  0198460
• Крабб, Майкл; Раники, Эндрю (2006). «Геометрический инвариант Хопфа» (PDF) .
• Хопфа, Хайнц (1931), "Убер умереть Abbildungen дер dreidimensionalen Sphäre ауф умереть Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 : 637-665, DOI : 10.1007 / BF01457962 , ISSN  0025-5831
• Шокуров, А.В. (2001) [1994], "Инвариант Хопфа" , Энциклопедия математики , EMS Press