Третья проблема Гильберта - Hilbert's third problem

Два многогранника равного объема, разрезанные на две части, которые можно собрать в любой многогранник.

Третья из списка математических задач Гильберта , представленного в 1900 году, была решена первой. Проблема связана со следующим вопросом: для любых двух многогранников равного объема всегда ли возможно разрезать первый на конечное число многогранных частей, которые можно собрать заново, чтобы получить вторую? Основываясь на более ранних работах Гаусса , Гильберт предположил, что это не всегда возможно. Это было подтверждено в течение года его учеником Максом Деном , который доказал, что в целом ответ - «нет», приведя контрпример.

Ответ на аналогичный вопрос о многоугольниках в двух измерениях - «да», и он был известен давно; это теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена .

Неизвестная Гильберту и Дену, третья задача Гильберта была также независимо предложена Владиславом Кретковским на математическом конкурсе 1882 года Краковской Академией художеств и наук и была решена Людвиком Антони Биркенмайером другим методом, чем Ден. Биркенмайер не опубликовал результат, и оригинальная рукопись, содержащая его решение, была обнаружена заново спустя годы.

История и мотивация

Формула объема пирамиды ,

${\ displaystyle {\ frac {{\ text {base area}} \ times {\ text {height}}} {3}},}$

был известен Евклиду , но все его доказательства включают некоторую форму ограничивающего процесса или исчисления , особенно метод исчерпания или, в более современной форме, принцип Кавальери . Подобные формулы в плоской геометрии могут быть доказаны более элементарными средствами. Гаусс сожалел об этом недостатке в двух своих письмах Кристиану Людвигу Герлингу , который доказал, что два симметричных тетраэдра равно составны .

Письма Гаусса послужили мотивацией для Гильберта: можно ли доказать равенство объема элементарными методами «разрезания и склеивания»? Потому что в противном случае невозможно элементарное доказательство результата Евклида.

Ответ Дена

Доказательство Дена - это случай, когда абстрактная алгебра используется для доказательства невозможности результата в геометрии . Другие примеры - удвоение куба и деление угла пополам .

Два многогранника называются конгруэнтными ножницами, если первый можно разрезать на конечное число многогранников, которые можно собрать заново, чтобы получить второе. Любые два ножниц-конгруэнтных многогранника имеют одинаковый объем. Гильберт спрашивает об обратном .

Для каждого многогранника P Ден определяет значение, теперь известное как инвариант Дена D ( P ), со следующим свойством:

• Если P разрезать на две многогранные части P ₁ и P ₂ с одним разрезом плоскости, то D ( P ) = D ( P ₁ ) + D ( P ₂ ).

Из этого следует

• Если P разрезать на n многогранных частей P ₁ , ..., P _n , то D ( P ) = D ( P ₁ ) + ... + D ( P _n )

и в частности

• Если два многогранника конгруэнтны ножницам, то они имеют один и тот же инвариант Дена.

Затем он показывает, что каждый куб имеет нулевой инвариант Дена, в то время как каждый правильный тетраэдр имеет ненулевой инвариант Дена. Это решает вопрос.

Инвариант многогранника определяется на основе длин его ребер и углов между его гранями. Обратите внимание, что если многогранник разрезан на две части, некоторые ребра разрезаются на две части, и поэтому соответствующие вклады в инварианты Дена должны быть аддитивными в длинах ребер. Точно так же, если многогранник разрезан по ребру, соответствующий угол разрезается пополам. Однако при обычном разрезании многогранника появляются новые ребра и углы; мы должны убедиться, что их вклады сокращаются. Сумма двух введенных углов всегда будет равна π ; поэтому мы определяем наш инвариант Дена так, что кратные углам π дают нулевой чистый вклад.

Все вышеперечисленные требования могут быть удовлетворены , если мы определим D ( P ) в качестве элемента тензорного произведения из действительных чисел R и фактор - пространство R / ( Q П ) , в которой все рациональные кратные П равны нулю. Для наших целей достаточно рассматривать это как тензорное произведение Z -модулей (или, что то же самое, абелевых групп). Однако, тем труднее Доказательство обратного (см ниже) использует векторное пространство структуры: Так как оба из факторов являются векторными пространствами над Q , тензор продукт может быть взят Q .

Пусть ℓ ( e ) - длина ребра e, а θ ( e ) - двугранный угол между двумя гранями, пересекающимися в точке e , измеренный в радианах . Тогда инвариант Дена определяется как

${\ displaystyle \ operatorname {D} (P) = \ sum _ {e} \ ell (e) \ otimes (\ theta (e) + \ mathbb {Q} \ pi)}$

где сумма берется по всем ребрам е многогранника Р . Это оценка .

Дальнейшая информация

В свете приведенной выше теоремы Дена можно спросить, «какие многогранники конгруэнтны ножницам»? Сидлер (1965) показал, что два многогранника конгруэнтны ножницам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена. Позже Бёрге Йессен расширил результаты Сидлера до четырех измерений. В 1990 году Дюпон и Сах представили более простое доказательство результата Сидлера, переосмыслив его как теорему о гомологии некоторых классических групп .

Debrunner показал в 1980 году , что инвариант Дена любого многогранника , с которой все три пространства могут быть плиточными периодически равен нуль.

Джессен также поставил вопрос о том, остается ли аналог результатов Джессена верным для сферической геометрии и гиперболической геометрии . В этих геометриях метод Дена продолжает работать и показывает, что, когда два многогранника конгруэнтны ножницам, их инварианты Дена равны. Однако остается открытым вопрос , всегда ли пары многогранников с одинаковым объемом и одним и тем же инвариантом Дена в этих геометриях конгруэнтны по принципу ножниц.

Исходный вопрос

Первоначальный вопрос Гильберта был более сложным: для любых двух тетраэдров T ₁ и T ₂ с равной площадью основания и равной высотой (и, следовательно, равным объемом) всегда можно найти конечное число тетраэдров, так что, когда эти тетраэдры склеены друг с другом, каким-то образом к Т ₁ и тоже приклеиваем к Т ₂ , получившиеся многогранники ножницы конгруэнтны?

Инвариант Дена можно использовать для получения отрицательного ответа и на этот более сильный вопрос.

Смотрите также

• Тетраэдр Хилла
• Онорато Николетти

использованная литература

дальнейшее чтение

• Бенко, Д. (2007). «Новый подход к третьей проблеме Гильберта». Американский математический ежемесячник . 114 (8): 665–676. DOI : 10.1080 / 00029890.2007.11920458 .
• Шварц, Рич (2010). «Объяснение теоремы Дена – Сидлера» (PDF) . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
• Кодзи, Сига; Тошиказу Сунада (2005). Математический дар, III: Взаимодействие между топологией, функциями, геометрией и алгеброй . Американское математическое общество.

внешние ссылки

• Доказательство теоремы Дена во всем2
• Вайсштейн, Эрик В. «Инвариант Дена» . MathWorld .
• Ден инвариантен во всем2
• Хазевинкель, М. (2001) [1994], "Инвариант Дена" , Энциклопедия математики , EMS Press