Расщепление Хегора - Heegaard splitting

В математической области геометрической топологии , А расщепление Хегора ( датский: [he̝ˀˌkɒˀ] ( слушать ) ) представляет собой разложение компактного ориентированного 3-многообразия , что результаты от деления его на два кренделя .

Определения

Пусть V и W быть крендели рода г , и пусть ƒ быть реверсивный ориентации гомеоморфизм от границы с V до границы W . Склеивая V на W вдоль, мы получаем компактное ориентированное трехмерное многообразие

{\ displaystyle M = V \ cup _ {f} W.}

Таким образом может быть получено всякое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие; это следует из глубоких результатов Моиза о триангулируемости трехмерных многообразий . Это сильно контрастирует с многомерными многообразиями, которые не должны допускать гладких или кусочно-линейных структур. Предполагая гладкость, существование расщепления Хегора также следует из работы Смейла о разложениях на ручки из теории Морса.

Разложение M на два тела руля называется расщеплением Хегора , а их общая граница H называется поверхностью расщепления Хегора . Расщепления считаются с точностью до изотопии .

Приклеивании карты ƒ необходимо указывать только до принятия двойного смежного класса в группе классов отображений из H . Эта связь с группой классов отображения была впервые установлена WBR Lickorish .

Расщепления Хегора также можно определить для компактных 3-многообразий с краем, заменив тела руля на тела сжатия . Карта склейки находится между положительными границами тел сжатия.

Замкнутая кривая называется существенной, если она не гомотопна точке, проколу или граничной компоненте.

Разбиение Хегора является приводимым , если имеется существенная простая замкнутая кривая на H , которая ограничивает диск в обоих V и W . Расщепление неприводимо, если оно не приводимо. Из леммы Хакена следует , что в приводимом многообразии любое расщепление приводимо. ${\ displaystyle \ alpha}$

Разбиение Хегор будет стабилизирован , если имеются существенные простые замкнутые кривые и на H , где ограничивает диск в V , ограничивает диск в W , а и пересекается ровно один раз. Из теоремы Вальдхаузена следует , что всякое приводимое расщепление неприводимого многообразия стабилизировано. ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$

Разбиение Хегор является слабо приводимым , если существует непересекающиеся необходимо простые замкнутые кривые , и на H , где ограничивает диск в V и ограничивает диск в W . Расщепление является сильно неприводимым, если оно не является слабо приводимым. ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$

Расщепление Хегора является минимальным или минимальным родом, если нет другого расщепления объемлющего трехмерного многообразия нижнего рода . Минимальное значение г поверхности расщепления является Хегора родом из М .

Обобщенные расщепления Хегора

Обобщенная Хегора из М является разложением в органы сжатия и поверхностей таким образом, что и . Внутренние части сжимаемых тел должны быть попарно непересекающимися, и их объединение должно происходить полностью . Поверхность образует поверхность Хегора для подмногообразия в . (Обратите внимание, что здесь каждый V _i и W _i может иметь более одного компонента.) ${\ displaystyle V_ {i}, W_ {i}, i = 1, \ dots, n}$ ${\ Displaystyle H_ {я}, я = 1, \ точки, п}$ ${\ displaystyle \ partial _ {+} V_ {i} = \ partial _ {+} W_ {i} = H_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ partial _ {-} W_ {i} = \ partial _ {-} V_ {я + 1}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle H_ {i}}$ ${\ displaystyle V_ {i} \ чашка W_ {i}}$ ${\ displaystyle M}$

Обобщенное расщепление Хегора называется сильно неприводимым, если каждое из них сильно неприводимо. ${\ displaystyle V_ {i} \ чашка W_ {i}}$

Существует аналогичное понятие тонкого положения , определяемое для узлов, для расколов Хегора. Сложность связной поверхности S , c (S) , определяется как ; сложность отключенной поверхности складывается из сложностей ее компонентов. Сложность обобщенного расщепления Хегора - это мульти-множество {c (S_i)} , где индекс пробегает поверхности Хегора в обобщенном расщеплении. Эти мульти-множества могут быть упорядочены лексикографическим порядком (монотонно убывающим). Обобщенное расщепление Хегора является тонким, если его сложность минимальна. ${\ Displaystyle \ OperatorName {макс} \ {0,1- \ чи (S) \}}$

Примеры

Три сферы : Три сферы- это набор векторовдлины один. Его пересечение сгиперплоскостью дает двойную сферу . Это стандартное расщепление нулевого рода. С другой, по Trick Александра , все многообразиядопускающих рода нулевого расщепления гомеоморфно к. ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\ displaystyle xyz}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

При обычном отождествлении с « с» мы можем рассматривать как живущие в . Тогда множество точек , где каждая координата имеет норму образует Clifford тор , . Это стандартное расщепление на род . (См. Также обсуждение в Hopf bundle .) ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle T ^ {2}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Стабилизация : Учитывая Хегор Н в М стабилизация из H формируется путем взятия связной суммы пары с парой . Легко показать, что процедура стабилизации дает стабилизированные расщепления. Индуктивно расщепление является стандартным, если оно является стабилизацией стандартного расщепления. ${\ Displaystyle (М, Н)}$ ${\ displaystyle (S ^ {3}, T ^ {2})}$

Пространства линз : у всех есть стандартное разбиение первого рода. Это изображение тора Клиффордапод фактор-картой, используемой для определения рассматриваемого линзового пространства. Это следует из структуры группы классов отображений на двумерный торе , что только линзовые имеют расщепления рода один. ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Три-тор : Напомним, что три-тор- это декартово произведение трех копий( кругов ). Позвольтебыть точкойи рассмотрим график . Это простое упражнениечтобы показатьчто V , а регулярная окрестность из, является кренделькак ЭТО. Таким образом, граница V inявляется расщеплением Хегора, и это стандартное расщепление. Чарльз Фроман и Джоэл Хасс доказали,что любое другое расщепление Хегора рода 3 трех-тора топологически эквивалентно этому. Мишель Буало и Жан-Пьер Оталь доказали, что в общем случае любое расщепление Хегора трехмерного тора эквивалентно результату стабилизации этого примера. ${\ displaystyle T ^ {3}}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ Gamma = S ^ {1} \ times \ {x_ {0} \} \ times \ {x_ {0} \} \ cup \ {x_ {0} \} \ times S ^ {1} \ times \ {x_ {0} \} \ чашка \ {x_ {0} \} \ times \ {x_ {0} \} \ times S ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle T ^ {3} -V}$ ${\ displaystyle T ^ {3}}$ ${\ displaystyle T ^ {3}}$

Теоремы

Лемма Александера : с точностью до изотопии существует единственное ( кусочно линейное ) вложение двухсферы в трехсферу. (В более высоких измерениях это известно как теорема Шенфлиса . В размерности два это теорема о кривой Жордана .) Это можно переформулировать следующим образом: расщепление на нулевой род единственно. ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Теорема Вальдхаузена : каждое расщепление получается стабилизацией единственного расщепления нулевого рода. ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Предположим теперь, что M - замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие.

Теорема Рейдемейстера – Зингера : для любой пары расщеплений и в M существует третье расщепление в M, которое является стабилизацией обоих. ${\ displaystyle H_ {1}}$ ${\ displaystyle H_ {2}}$ ${\ displaystyle H}$

Лемма Хакена : предположим, что это существенная двумерная сфера в M, а H - расщепление Хегора. Тогда существует существенная двумерная сфера в M, пересекающаяся с H на одной кривой. ${\ displaystyle S_ {1}}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$

Классификации

Существует несколько классов трехмерных многообразий, для которых полностью известно множество расщеплений Хегора. Например, теорема Вальдхаузена показывает, что все расщепления стандартны. То же самое верно и для линзовых пространств (как доказали Фрэнсис Бонахон и Отал). ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Расщепления волоконных пространств Зайферта более тонкие. Здесь все расщепления могут быть изотопными, чтобы быть вертикальными или горизонтальными (как доказали Йоав Мориа и Дженнифер Шультенс ).

Купер и Шарлеманн (1999) классифицировали расщепления расслоений торов (которые включают все трехмерные многообразия с геометрией Соля ). Из их работы следует, что все торические расслоения имеют единственное расщепление минимального рода. Все остальные расщепления торического расслоения являются стабилизациями минимального рода один.

По состоянию на 2008 г. единственными трехмерными гиперболическими многообразиями, расщепления которых были классифицированы по Хегору, были двухмостовые узловые дополнения в статье Цуоши Кобаяши.

Приложения и подключения

Минимальные поверхности

Расщепления Хегора впервые появились в теории минимальных поверхностей в работе Блейна Лоусона, который доказал, что вложенные минимальные поверхности в компактные многообразия положительной секционной кривизны являются расщеплениями Хегора. Этот результат был распространен Уильямом Миксом на плоские многообразия, за исключением того, что он доказал, что вложенная минимальная поверхность в плоское трехмерное многообразие является либо поверхностью Хегора, либо вполне геодезической .

Микс и Шинг-Тунг Яу продолжили использовать результаты Вальдхаузена для доказательства результатов о топологической единственности минимальных поверхностей конечного рода в . Окончательная топологическая классификация вложенных минимальных поверхностей в была дана Миксом и Фроманом. Результат во многом опирался на методы, разработанные для изучения топологии расщеплений Хегора. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Гомология Хегора Флоера

Диаграммы Хегора, которые представляют собой простые комбинаторные описания расщеплений Хегора, широко использовались для построения инвариантов трехмерных многообразий. Самый последний пример этого является Хегор Floer гомологии в Питере Озсвата и Золтан Сабо . Теория использует симметричное произведение поверхности Хегора в качестве объемлющего пространства и торов, построенных из границ меридиональных дисков для двух тел руля, в качестве лагранжевых подмногообразий . ${\ displaystyle g ^ {th}}$

История

Идея расщепления Хегора была введена Полом Хегоардом ( 1898 г. ). В то время как расщепления Хегора широко изучались математиками, такими как Вольфганг Хакен и Фридхельм Вальдхаузен, в 1960-х годах, только несколько десятилетий спустя эта область была обновлена Эндрю Кассоном и Кэмероном Гордоном ( 1987 ), в первую очередь благодаря их концепции сильной несводимости .

Смотрите также

использованная литература

Фарб, Бенсон ; Маргалит, Дэн, Введение в отображение групп классов , Princeton University Press
Кассон, Эндрю Дж .; Гордон, Кэмерон Мака. (1987), "Уменьшение Хегора", Топология и ее приложения , 27 (3): 275-283, DOI : 10,1016 / 0166-8641 (87) 90092-7 , ISSN 0166-8641 , МР 0918537
Купер, Дэрил; Scharlemann, Martin (1999), "Структура Хегора солвмногообразию в" , турецкий журнал математики , 23 (1): 1-18, ISSN 1300-0098 , MR 1701636 , архивируются с оригинала на 2011-08-22 , получено 2020-01-11
Хегора, Poul (1898), Forstudier сезам ан topologisk Teori для де algebraiske Fladers Sammenhang (PDF) , Thesis (на датском языке ), JFM 29.0417.02
Хемпель, Джон (1976), 3-многообразия , Annals of Mathematics Studies, 86 , Princeton University Press , ISBN 978-0-8218-3695-8, Руководство по ремонту 0415619
Кобаяси, Цуёси (2001), «Расщепление Heegaard внешних поверхностей двух узлов моста» , Геометрия и топология , 5 (2): 609–650

Languages

In other projects