Тор Клиффорда - Clifford torus

Стереографическая проекция из Clifford торы выполняет простое вращение

Топологически прямоугольник - это основной многоугольник тора, противоположные стороны которого сшиты вместе.

В геометрической топологии , то тор Клиффорда является самым простым и симметричным плоским вложением декартово произведение из двух окружностей S¹
_аи S¹
_б(в том же смысле, что поверхность цилиндра «плоская»). Он назван в честь Уильяма Кингдона Клиффорда . Он находится в R ⁴ , а не в R ³ . Чтобы понять, почему необходим R ⁴ , обратите внимание, что если S¹
_аи S¹
_бкаждый существует в своем собственном независимом пространстве вложения R²
_аи R²
_б, результирующее пространство продукта будет R ^4, а не R ³ . Исторически популярное мнение о том, что декартово произведение двух окружностей представляет собой тор R ^3, напротив, требует сильно асимметричного применения оператора вращения ко второй окружности, поскольку эта окружность будет иметь только одну независимую ось z, доступную для него после того, как первая окружность потребляет х и  у .

Другими словами, тор, вложенный в R ^3, является асимметричной проекцией уменьшенной размерности максимально симметричного тора Клиффорда, вложенного в R ⁴ . Отношения аналогичны проецированию краев куба на лист бумаги. Такая проекция создает изображение меньшей размерности, которое точно отражает соединение краев куба, но также требует произвольного выбора и удаления одной из трех полностью симметричных и взаимозаменяемых осей куба.

Если S¹
_аи S¹
_бкаждый имеет радиус , их произведение тора Клиффорда идеально впишется в единичную 3-сферу S ³ , которая является 3-мерным подмногообразием в R ⁴ . Когда это удобно с математической точки зрения, тор Клиффорда можно рассматривать как находящийся внутри комплексного координатного пространства C ² , поскольку C ² топологически эквивалентен R ⁴ . ${\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {1/2}}}$

Тор Клиффорда является примером квадратного тора , потому что это изометрический на площади с противоположных сторон определены. Он также известен как евклидов 2-тор («2» - его топологическая размерность); фигуры, нарисованные на нем, подчиняются евклидовой геометрии, как если бы он был плоским, тогда как поверхность обычного тора в форме « бублика » имеет положительную кривизну на внешнем ободе и отрицательную кривизну на внутренней. Хотя квадратный тор имеет другую геометрию, чем стандартное вложение тора в трехмерное евклидово пространство, он также может быть вложен в трехмерное пространство по теореме вложения Нэша ; одно возможное вложение изменяет стандартный тор фрактальным набором ряби, бегущей в двух перпендикулярных направлениях вдоль поверхности.

Формальное определение

Единичная окружность S ¹ в R ² может быть параметризована углом координат:

${\ Displaystyle S ^ {1} = \ {(\ cos \ theta, \ sin \ theta) \ mid 0 \ leq \ theta <2 \ pi \}.}$

В другом экземпляре R ² возьмите еще одну копию единичного круга.

${\ displaystyle S ^ {1} = \ {(\ cos \ varphi, \ sin \ varphi) \ mid 0 \ leq \ varphi <2 \ pi \}.}$

Тогда тор Клиффорда равен

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} S ^ {1} \ times {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} S ^ {1} = \ left \ {{\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} (\ cos \ theta, \ sin \ theta, \ cos \ varphi, \ sin \ varphi) \ mid 0 \ leq \ theta <2 \ pi, 0 \ leq \ varphi <2 \ pi \ right \}.}$

Поскольку каждая копия S ¹ является вложенным подмногообразием в R ² , тор Клиффорда является вложенным тором в R ² × R ² = R ⁴ .

Если R ⁴ задается координатами ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ ), то тор Клиффорда задается формулой

${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} = 1/2 = x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2}.}$

Это показывает, что в R ⁴ тор Клиффорда является подмногообразием единичной 3-сферы S ³ .

Легко проверить, что тор Клиффорда является минимальной поверхностью в S ³ .

Альтернативный вывод с использованием комплексных чисел

Также принято рассматривать тор Клиффорда как вложенный тор в C ² . В двух копиях C у нас есть следующие единичные окружности (все еще параметризованные угловой координатой):

${\ Displaystyle S ^ {1} = \ {е ^ {я \ тета} \ середина 0 \ leq \ theta <2 \ pi \}}$

а также

${\ displaystyle S ^ {1} = \ {e ^ {i \ varphi} \ mid 0 \ leq \ varphi <2 \ pi \}.}$

Теперь тор Клиффорда выглядит как

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} S ^ {1} \ times {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} S ^ {1} = \ left \ {{\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} (e ^ {i \ theta}, e ^ {i \ varphi}) \, | \, 0 \ leq \ theta <2 \ pi, 0 \ leq \ varphi < 2 \ pi \ right \}.}$

Как и раньше, это вложенное подмногообразие в единичную сферу S ³ в C ² .

Если C ² задается координатами ( z ₁ , z ₂ ), то тор Клиффорда задается формулой

${\ displaystyle \ left | z_ {1} \ right | ^ {2} = 1/2 = \ left | z_ {2} \ right | ^ {2}.}$

В торе Клиффорда, как определено выше, расстояние от любой точки тора Клиффорда до начала координат C ² равно

${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left | e ^ {i \ theta} \ right | ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ left | e ^ {i \ varphi} \ right | ^ {2}}} = 1.}$

Множество всех точек на расстоянии 1 от начала координат C ² является единичной 3-сферой, поэтому тор Клиффорда находится внутри этой 3-сферы. Фактически, тор Клиффорда делит эту 3-сферу на два конгруэнтных полнотория (см. Разделение Хегора ).

Поскольку O (4) действует на R ⁴ посредством ортогональных преобразований , мы можем переместить "стандартный" тор Клиффорда, определенный выше, на другие эквивалентные торы с помощью жестких вращений. Все они называются «торами Клиффорда». Шестимерная группа O (4) действует транзитивно на пространстве всех таких торов Клиффорда, находящихся внутри 3-сферы. Однако это действие имеет двумерный стабилизатор (см. Действие группы ), поскольку вращение в меридиональном и продольном направлениях тора сохраняет тор (в отличие от перемещения его на другой тор). Следовательно, на самом деле существует четырехмерное пространство торов Клиффорда. Фактически, существует взаимно однозначное соответствие между торами Клиффорда в единичной 3-сфере и парами больших полярных кругов (т. Е. Больших кругов, которые максимально разделены). Для тора Клиффорда соответствующие полярные большие круги являются центральными кругами каждой из двух дополнительных областей. И наоборот, для любой пары больших полярных кругов ассоциированный тор Клиффорда является геометрическим местом точек 3-сферы, которые равноудалены от двух окружностей.

Более общее определение торов Клиффорда

Плоские торы в единичной 3-сфере S ^3, которые являются произведением окружностей радиуса r в одной 2-плоскости R ² и радиуса √ 1 - r ² в другой 2-плоскости R ² , иногда также называют «торами Клиффорда».

Можно представить, что одни и те же круги имеют радиусы cos ( θ ) и sin ( θ ) для некоторого угла θ в диапазоне 0 ≤ θ ≤ π / 2 (где мы включаем вырожденные случаи θ = 0 и θ = π / 2 ).

Объединение при 0 ≤ θ ≤ π / 2 всех этих торов вида

${\ Displaystyle Т _ {\ тета} = S (\ соз \ тета) \ раз S (\ грех \ тета)}$

(где S ( r ) обозначает окружность в плоскости R ^2, определяемую наличием центра (0, 0) и радиуса r ) - это 3-сфера S ³ . (Обратите внимание, что мы должны включить два вырожденных случая θ = 0 и θ = π / 2 , каждый из которых соответствует большому кругу S ³ и вместе составляет пару больших полярных кругов.)

Легко видеть, что этот тор T _θ имеет площадь

${\ displaystyle \ operatorname {area} (T _ {\ theta}) = 4 \ pi ^ {2} \ cos \ theta \ sin \ theta = 2 \ pi ^ {2} \ sin 2 \ theta,}$

так что только тор T _{π / 4} имеет максимально возможную площадь 2 π ² . Этот тор T _{π / 4} является тором T _θ, который чаще всего называют «тором Клиффорда», и это также единственный из T _θ, который является минимальной поверхностью в S ³ .

Еще более общее определение торов Клиффорда в высших измерениях

Любая единичная сфера S ^{2 n −1} в четномерном евклидовом пространстве R ^{2 n} = C ⁿ может быть выражена через комплексные координаты следующим образом:

${\ Displaystyle S ^ {2n-1} = \ {(z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) \ in \ mathbf {C} ^ {n}: | z_ {1} | ^ {2} + \ cdots + | z_ {n} | ^ {2} = 1 \}.}$

Тогда для любых неотрицательных чисел r ₁ , ..., r _n таких, что r ₁ ² + ... + r _n ² = 1, мы можем определить обобщенный тор Клиффорда следующим образом:

${\ Displaystyle T_ {r_ {1}, \ ldots, r_ {n}} = \ {(z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) \ in \ mathbf {C} ^ {n}: | z_ { k} | = r_ {k}, ~ 1 \ leqslant k \ leqslant n \}.}$

Все эти обобщенные торы Клиффорда не пересекаются друг с другом. Мы можем еще раз заключить, что объединение каждого из этих торов T _{r 1 , ..., r n} является единичной (2 n - 1) -сферой S ^{2 n −1} (куда мы снова должны включить вырожденные случаи, когда хотя бы один из радиусов r _k = 0).

Характеристики

• Тор Клиффорда «плоский»; его можно расплющить до плоскости без растяжения, в отличие от стандартного тора вращения.
• Тор Клиффорда делит 3-сферу на два конгруэнтных полнотория. (В стереографической проекции тор Клиффорда выглядит как стандартный тор вращения. Тот факт, что он делит 3-сферу поровну, означает, что внутренняя часть спроецированного тора эквивалентна внешнему, что нелегко визуализировать).

Использование в математике

В симплектической геометрии тор Клиффорда является примером вложенного лагранжевого подмногообразия в C ² со стандартной симплектической структурой. (Конечно, любое произведение вложенных окружностей в C дает лагранжев тор C ² , поэтому это не обязательно должны быть торы Клиффорда.)

Гипотеза Лоусона утверждает, что каждый минимально вложенный тор в 3-сферу с круглой метрикой должен быть тором Клиффорда. Это предположение было доказано Саймоном Брендлом в 2012 году.

Торы Клиффорда и их изображения при конформных преобразованиях являются глобальными минимизаторами функционала Уиллмора.

Смотрите также

• Дуоцилиндр
• Расслоение Хопфа
• Параллель Клиффорда и поверхность Клиффорда
• Уильям Кингдом Клиффорд

использованная литература