Скоба Фрелихера – Нийенхейса - Frölicher–Nijenhuis bracket

В математике , то кронштейн Фрёлихера-Nijenhuis является продолжением скобки Ли из векторных полей на вектор-дифференциальных форм на дифференцируемом многообразии .

Он полезен при изучении связностей , особенно связности Эресмана , а также при более общем изучении проекций в касательном расслоении . Он был введен Альфредом Фрёличером и Альбертом Нийенхейсом (1956) и связан с работой Схоутена (1940).

Это связано со скобками Нейенхейса – Ричардсона и Схоутена – Нийенхейса, но не с ними .

Определение

Пусть Ω * ( M ) обозначим пучок из внешних алгебр из дифференциальных форм на гладком многообразии M . Это градуированная алгебра, в которой формы градуируются по степени:

${\ displaystyle \ Omega ^ {*} (M) = \ bigoplus _ {k = 0} ^ {\ infty} \ Omega ^ {k} (M).}$

Градуированный вывод степени л отображение

${\ Displaystyle D: \ Omega ^ {*} (M) \ to \ Omega ^ {* + l} (M)}$

которая линейна по константам и удовлетворяет

${\ Displaystyle D (\ альфа \ клин \ бета) = D (\ альфа) \ клин \ бета + (- 1) ^ {\ ell \ deg (\ альфа)} \ альфа \ клин D (\ бета).}$

Таким образом, в частности, внутреннее произведение с вектором определяет градуированное производное степени = −1, тогда как внешнее производное является градуированным производным степени = 1.

Векторное пространство всех дифференцирований степени обозначается Der _ℓ Ω * ( M ). Прямая сумма этих пространств представляет собой градуированное векторное пространство , однородные компоненты которого состоят из всех градуированных производных данной степени; это обозначено

${\ Displaystyle \ mathrm {Der} \, \ Omega ^ {*} (M) = \ bigoplus _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {Der} _ {k} \, \ Omega ^ { *} (М).}$

Это образует градуированную супералгебру Ли относительно антикоммутатора дифференцирований, определенных на однородных дифференцированиях D ₁ и D ₂ степеней d ₁ и d ₂ , соответственно, формулой

${\ displaystyle [D_ {1}, D_ {2}] = D_ {1} \ circ D_ {2} - (- 1) ^ {d_ {1} d_ {2}} D_ {2} \ circ D_ {1 }.}$

Любая векторнозначная дифференциальная форма K в Ω ^k ( M , T M ) со значениями в касательном расслоении к M определяет градуированное дифференцирование степени k  - 1, обозначаемое i _K и называемое оператором вставки. Для ω ∈ Ω ^ℓ ( M )

${\ displaystyle i_ {K} \, \ omega (X_ {1}, \ dots, X_ {k + \ ell -1}) = {\ frac {1} {k! (\ ell -1)!}} \ sum _ {\ sigma \ in {S} _ {k + \ ell -1}} {\ textrm {sign}} \, \ sigma \ cdot \ omega (K (X _ {\ sigma (1)}, \ dots, X_ { \ sigma (k)}), X _ {\ sigma (k + 1)}, \ dots, X _ {\ sigma (k + \ ell -1)})}$

Производная Нийенхейса – Ли по K  ∈ Ω ^k ( M , T M ) определяется равенством

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {K} = [d, i_ {K}] = d \, {\ circ} \, i_ {K} - (- 1) ^ {k-1} i_ { К} {\ circ} \, d}$

где d - внешняя производная, а i _K - оператор вставки.

Скобка Фрелихера – Нийенхейса определяется как единственная векторнозначная дифференциальная форма

${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot] _ {FN}: \ Omega ^ {k} (M, \ mathrm {T} M) \ times \ Omega ^ {\ ell} (M, \ mathrm {T} M) \ to \ Omega ^ {k + \ ell} (M, \ mathrm {T} M) :( K, L) \ mapsto [K, L] _ {FN}}$

такой, что

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {[K, L] _ {FN}} = [{\ mathcal {L}} _ {K}, {\ mathcal {L}} _ {L}].}$

Следовательно,

${\ displaystyle [K, L] _ {FN} = - (- 1) ^ {kl} [L, K] _ {FN}.}$

Если k  = 0, так что K  ∈ Ω ⁰ ( M , T M ) - векторное поле, обычная гомотопическая формула для производной Ли восстанавливается

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {K} = [d, i_ {K}] = d \, {\ circ} \, i_ {K} + i_ {K} \, {\ circ} \, d.}$

Если k = ℓ = 1, так что K, L  ∈ Ω ¹ ( M , T M ), для любых векторных полей X и Y

${\ displaystyle [K, L] _ {FN} (X, Y) = [KX, LY] + [LX, KY] + (KL + LK) [X, Y] -K ([LX, Y] + [ X, LY]) - L ([KX, Y] + [X, KY]).}$

Если k = 0 и ℓ = 1, так что K = Z ∈ Ω ⁰ ( M , T M ) - векторное поле и L  ∈ Ω ¹ ( M , T M ), для любого векторного поля X

${\ Displaystyle [Z, L] _ {FN} (X) = [Z, LX] -L [Z, X].}$

Явная формула для скобки Фрелихера – Нийенхейса для и (для форм φ и ψ и векторных полей X и Y ) дается выражением ${\ displaystyle \ phi \ otimes X}$${\ displaystyle \ psi \ otimes Y}$

${\ displaystyle \ left. \ right. [\ phi \ otimes X, \ psi \ otimes Y] _ {FN} = \ phi \ wedge \ psi \ otimes [X, Y] + \ phi \ wedge {\ mathcal {L }} _ {X} \ psi \ otimes Y - {\ mathcal {L}} _ {Y} \ phi \ wedge \ psi \ otimes X + (- 1) ^ {\ deg (\ phi)} (d \ phi \ клин i_ {X} (\ psi) \ otimes Y + i_ {Y} (\ phi) \ wedge d \ psi \ otimes X).}$

Выводы кольца форм

Любой вывод Ω ^* ( M ) можно записать как

${\ displaystyle i_ {L} + {\ mathcal {L}} _ {K}}$

для единственных элементов K и L из Ω ^* ( M , T M ). Скобка Ли этих выводов имеет следующий вид.

• Дифференцирования формы образуют супералгебру Ли всех дифференцирований, коммутирующих с d . Скобка дается формулой ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {K}}$

${\ displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {K_ {1}}, {\ mathcal {L}} _ {K_ {2}}] = {\ mathcal {L}} _ {[K_ {1}, К_ {2}]}}$

где скобка справа - скобка Фрелихера – Нийенхейса. В частности, кронштейн Фрёлихер-Нейенхейс определяет градуированную алгебру Ли структуру на , которая расширяет скобку Ли из векторных полей . ${\ Displaystyle \ Omega (М, \ mathrm {T} M)}$

• Дифференцирования формы образуют супералгебру Ли всех дифференцирований, обращающихся в нуль на функциях Ω ⁰ ( M ). Скобка дается ${\ displaystyle i_ {L}}$

${\ displaystyle [i_ {L_ {1}}, i_ {L_ {2}}] = i _ {[L_ {1}, L_ {2}] ^ {\ land}}}$

где скобка справа - скобка Нейенхейса – Ричардсона .

• Скобка выводов различных типов дается формулой

${\ displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {K}, i_ {L}] = i _ {[K, L]} - (- 1) ^ {kl} {\ mathcal {L}} _ {i_ { L} K}}$

для K в Ω ^k ( M , T M ), L в Ω ^{l + 1} ( M , T M ).

Приложения

Тензор Нейенхейса из почти комплексной структуры J , является Фрёлихер-Нейенхейс кронштейна J с самими собой. Почти комплексная структура является сложной тогда и только тогда, когда тензор Нийенхейса равен нулю.

С помощью скобки Фрелихера – Нийенхейса можно определить кривизну и кокривизну векторнозначной 1-формы, которая является проекцией . Это обобщает понятие кривизны соединения .

Существует общее обобщение скобок Схоутена – Нийенхейса и скобок Фрелихера – Нийенхейса; подробнее см. статью о скобке Схоутена – Нийенхейса .

Рекомендации

• Frölicher, A .; Nijenhuis, A. (1956), "Теория векторных дифференциальных форм. Часть I.", Indagationes Mathematicae , 18 : 338–360 .
• Frölicher, A .; Нейенхейса, А. (1960), "инвариантность вектора образуют операции по отображений", Communicationes Mathematicae Helveticae , 34 : 227-248, DOI : 10.1007 / bf02565938 .
• PW Michor (2001) [1994], "Скобка Фрелихера – Нийенхейса" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Schouten, JA (1940), «Uber Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen», Indagationes Mathematicae , 2 : 449–452 .