Теорема Фейта – Томпсона - Feit–Thompson theorem

В математике , то теорема Фейта-Томпсона , или теорема нечетный порядок , утверждает , что любая конечная группа нечетного порядка является разрешимой . Это доказали Уолтер Фейт и Джон Григгс Томпсон  ( 1962 , 1963 ).

История

Контраст, который показывают эти результаты между группами нечетного и четного порядка, неизбежно предполагает, что простых групп нечетного порядка не существует.

Уильям Бернсайд  ( 1911 , стр. 503, примечание M)

Уильям Бернсайд  ( 1911 , стр. 503, примечание M) предположил, что каждая неабелева конечная простая группа имеет четный порядок. Ричард Брауэр  ( 1957 ) предложил использовать центраторы инволюций простых групп в качестве основы для классификации конечных простых групп , как теорема Брауэра-Фаулер показывает , что существует лишь конечное число конечных простых групп с заданным центратором из в инволюции . Группа нечетного порядка не имеет инволюций, поэтому для выполнения программы Брауэра необходимо прежде всего показать, что нециклические конечные простые группы никогда не имеют нечетного порядка. Это равносильно тому, чтобы показать, что группы нечетного порядка разрешимы , что и доказали Фейт и Томпсон.

Атака на гипотезу Бернсайда была начата Мичио Судзуки  ( 1957 ), изучавшим группы СА ; это группы такие , что С entralizer каждого нетривиального элемента Belian . В своей новаторской статье он показал, что все CA-группы нечетного порядка разрешимы. (Позже он классифицировал все простые CA-группы и, в более общем смысле, все простые группы, так что централизатор любой инволюции имеет нормальную 2- силовскую подгруппу , обнаружив в процессе упущенное из виду семейство простых групп лиева типа , которые теперь называются Suzuki группы .)

Фейт, Маршалл Холл и Томпсон ( 1960 ) распространили работу Сузуки на семейство групп CN ; это группы такие , что С entralizer каждого нетривиального элемента Н ilpotent . Они показали, что всякая CN-группа нечетного порядка разрешима. Их доказательство аналогично доказательству Сузуки. В нем было около 17 страниц, что в то время считалось очень большим объемом для доказательства в теории групп.

Теорема Фейта – Томпсона может рассматриваться как следующий шаг в этом процессе: они показывают, что не существует нециклической простой группы нечетного порядка, в которой каждая собственная подгруппа разрешима . Это доказывает, что каждая конечная группа нечетного порядка разрешима, поскольку минимальный контрпример должен быть такой простой группой, что каждая собственная подгруппа разрешима. Хотя доказательство следует той же общей схеме, что и теорема CA и теорема CN, детали намного сложнее. Итоговая статья составляет 255 страниц.

Значение доказательства

Теорема Фейта – Томпсона показала, что классификация конечных простых групп с использованием централизаторов инволюций возможна, поскольку каждая неабелева простая группа имеет инволюцию. Многие методы, которые они использовали в своих доказательствах, особенно идея локального анализа , были развиты в инструменты, используемые при классификации. Возможно, самым революционным аспектом доказательства была его длина: до статьи Фейта – Томпсона немногие аргументы в теории групп были длиннее нескольких страниц, и большинство из них можно было прочитать за день. Как только теоретики групп поняли, что такие длинные аргументы могут работать, начали появляться серии статей объемом в несколько сотен страниц. Некоторые из них затмевали даже статью Фейта – Томпсона; статья Майкла Ашбахера и Стивена Д. Смита о квазитиновых группах занимала 1221 страницу.

Пересмотр доказательства

Многие математики упростили части исходного доказательства Фейта – Томпсона. Однако все эти улучшения в некотором смысле локальны; глобальная структура аргумента осталась прежней, но некоторые детали аргументов были упрощены.

Упрощенное доказательство было опубликовано в двух книгах: ( Bender & Glauberman, 1995 ) , охватывающая все, кроме теории персонажей , и ( Peterfalvi, 2000 , часть I), которая охватывает теорию характеров. Это исправленное доказательство все еще очень сложно и длиннее, чем исходное доказательство, но написано в более неторопливом стиле.

Полностью формальное доказательство, проверенное помощником по доказательству Coq , было объявлено в сентябре 2012 года Жоржем Гонтье и его коллегами-исследователями из Microsoft Research и INRIA .

Схема доказательства

Вместо непосредственного описания теоремы Фейта – Томпсона проще описать CA-теорему Судзуки, а затем прокомментировать некоторые расширения, необходимые для CN-теоремы и теоремы о нечетном порядке. Доказательство можно разбить на три этапа. Пусть G - неабелева (минимальная) простая группа нечетного порядка, удовлетворяющая условию CA. Для более подробного изложения статьи нечетного порядка см. Thompson (1963) или ( Gorenstein 1980 ) или Glauberman (1999) .

Шаг 1. Локальный анализ структуры группы G

В случае CA это легко, потому что отношение « a коммутирует с b » является отношением эквивалентности на неединичных элементах. Таким образом, элементы разбиваются на классы эквивалентности, так что каждый класс эквивалентности является набором неединичных элементов максимальной абелевой подгруппы. Нормализаторы этих максимальных абелевых подгрупп оказываются в точности максимальные собственные подгруппы G . Эти нормализаторы представляют собой группы Фробениуса , теория характеров которых достаточно прозрачна и хорошо подходит для манипуляций с использованием индукции характеров . Кроме того, множество простых делителей | G | разбивается согласно простым числам, которые делят порядки различных классов сопряженности максимальных абелевых подгрупп группы | G |, Этот образец разбиения простых делителей | G | согласно классам сопряженности некоторых холловых подгрупп (холлова подгруппа - это та, чей порядок и индекс взаимно просты), которые соответствуют максимальным подгруппам группы G (с точностью до сопряженности), повторяется в обоих доказательствах CN- теоремы и в доказательстве теоремы Фейта – Томпсона о нечетном порядке. Каждая максимальная подгруппа M имеет некоторую нильпотентную холлову подгруппу M σ с нормализатором, содержащимся в M , порядок которой делится на некоторые простые числа, образующие множество σ ( M ). Две максимальные подгруппы сопряжены тогда и только тогда, когда множества σ ( M ) одинаковы, а если они не сопряжены, то множества σ ( M ) не пересекаются. Каждое простое число, делящее порядок группы G, входит в некоторое множество σ ( M ). Таким образом, простые числа, делящие порядок группы G , разбиваются на классы эквивалентности, соответствующие классам сопряженности максимальных подгрупп. Доказательство CN-случая уже значительно сложнее, чем CA-случая: основная дополнительная проблема состоит в том, чтобы доказать, что две разные силовские подгруппы пересекаются в тождестве. Эта часть доказательства теоремы о нечетном порядке занимает более 100 журнальных страниц. Ключевым шагом является доказательство теоремы единственности Томпсона , согласно которой абелевы подгруппы нормального ранга не менее 3 содержатся в единственной максимальной подгруппе, а это означает, что простые числа p, для которых силовские p -подгруппы имеют нормальный ранг не более 2, нуждаются в рассматривать отдельно. Позже Бендер упростил доказательство теоремы единственности методом Бендера . В то время как в CN-случае результирующие максимальные подгруппы M по-прежнему являются группами Фробениуса, максимальные подгруппы, которые встречаются в доказательстве теоремы о нечетном порядке, больше не нуждаются в этой структуре, и анализ их структуры и взаимодействия дает 5 возможных типов максимальных подгрупп, называемых типами I, II, III, IV, V. Подгруппы типа I относятся к «типу Фробениуса», небольшому обобщению группы Фробениуса, и на самом деле позже в доказательстве показано, что они являются группами Фробениуса. Они имеют структуру M F ⋊ U где M F является наибольшей нормальным нильпотентными Hall подгруппы, U имеет подгруппу U 0 с тем же показателем такими , что M F ⋊ U 0 является группой Фробениуса с ядром М F . Типы II, III, IV, V все 3-ступенчатых группы со структурой M F ⋊ U ⋊ W 1 , где М Ж ⋊ U является производной подгруппой М . Подразделение на типы II, III, IV и V зависит от структуры и вложения подгруппы U следующим образом:

  • Тип II: U является нетривиальной абелевой и его нормализатор не содержится в М .
  • Тип III: U является нетривиальной абелевой и ее нормализатор содержится в М .
  • Тип IV: U неабелевский.
  • Тип V: U тривиален.

Все классы максимальных подгрупп, кроме двух, относятся к типу I, но могут быть также два дополнительных класса максимальных подгрупп: один типа II и один типа II, III, IV или V.

Шаг 2. Теория характеров группы G

Если X - неприводимый характер нормализатора H максимальной абелевой подгруппы A CA-группы G , не содержащий A в своем ядре, мы можем индуцировать X в характер Y группы G , который не обязательно является неприводимым. Из-за известной структуры G легко найти символьные значения Y на всех элементах G, кроме единичного . Это означает, что если X 1 и X 2 - два таких неприводимых характера H, а Y 1 и Y 2 - соответствующие индуцированные характеры, то Y 1 - Y 2 полностью определен, и вычисление его нормы показывает, что это разность двух неприводимые характеры группы G (иногда их называют исключительными характерами группы G относительно H ). Счетное рассуждение показывает , что каждый нетривиальным неприводимого характер G возникает только один раз в качестве исключительного характера , связанного с нормализатором некоторой максимальной абелевой подгруппы G . Аналогичное рассуждение (но с заменой абелевых холловых подгрупп нильпотентными холловыми подгруппами) работает при доказательстве CN-теоремы. Однако в доказательстве теоремы о нечетном порядке аргументы для построения характеров группы G из характеров подгрупп гораздо более тонкие и используют изометрию Даде между кольцами характеров, а не индукцию характеров, поскольку максимальные подгруппы имеют более сложную структуру. и встроены менее прозрачным способом. Теория исключительных характеров заменяется теорией связного набора характеров, расширяющей изометрию Дейда. Грубо говоря, эта теория утверждает, что изометрия Дейда может быть расширена, если вовлеченные группы не имеют определенной точной структуры. Петерфальви (2000) описал упрощенную версию теории персонажей, созданную Дейдом, Сибли и Петерфальви.

Шаг 3. Последнее противоречие.

На шаге 2, мы имеем полное и точное описание таблицы символов из СА группы G . Отсюда и с учетом того факта, что G имеет нечетный порядок, имеется достаточно информации для получения оценок для | G | и пришли к противоречию с предположением, что G проста. Эта часть аргумента работает аналогично в случае CN-группы.

Однако в доказательстве теоремы Фейта – Томпсона этот шаг (как обычно) значительно сложнее. Теория характеров исключает только некоторые из возможных конфигураций, оставшихся после шага 1. Сначала они показывают, что все максимальные подгруппы типа I являются группами Фробениуса. Если все максимальные подгруппы относятся к типу I, то рассуждение, аналогичное случаю CN, показывает, что группа G не может быть минимальной простой группой нечетного порядка, поэтому существует ровно два класса максимальных подгрупп типов II, III, IV или V. Большинство В остальной части доказательства теперь основное внимание уделяется этим двум типам максимальной подгруппы S и T и связи между ними. Более теоретико-характерные аргументы показывают, что они не могут быть типа IV или V. Две подгруппы имеют точную структуру: подгруппа S имеет порядок p q × q × ( p q –1) / ( p –1) и состоит из все автоморфизмы основного множества конечного поля порядка p q вида x → ax σ + b, где a имеет норму 1, а σ - автоморфизм конечного поля, где p и q - различные простые числа. Максимальная подгруппа T имеет аналогичную структуру с перевернутыми p и q . Подгруппы S и T тесно связаны. Взяв p > q , можно показать, что циклическая подгруппа в S порядка ( p q –1) / ( p –1) сопряжена с подгруппой циклической подгруппы в T порядка ( q p –1) / ( q –1). (В частности, первое число делит второе, поэтому, если гипотеза Фейта – Томпсона верна, она будет утверждать, что этого не может произойти, и это может быть использовано для завершения доказательства на этом этапе. Однако гипотеза все еще не доказана. )

Вывод из применения теории характеров к группе G состоит в том, что G имеет следующую структуру: существуют такие простые числа p > q , что ( p q –1) / ( p –1) взаимно просто с p –1 и G имеет заданную подгруппу полупрямым произведением PU, где P - аддитивная группа конечного поля порядка p q, а U - ее элементы нормы 1. Кроме того, в G существует абелева подгруппа Q порядка, простого с p, содержащая элемент y такой, что P 0 нормализует Q и ( P 0 ) y нормализует U , где P 0 - аддитивная группа конечного поля порядка p . (Для p = 2 аналогичная конфигурация имеет место в группе SL 2 (2 q ), где PU - борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц, а Q - подгруппа порядка 3, порожденная .) Чтобы исключить этот последний случай, Томпсон использовал некоторые устрашающе сложные манипуляции с генераторами и отношениями , которые позже были упрощены Петерфальви (1984) , чей аргумент воспроизведен в ( Bender & Glauberman 1994 ). Доказательство исследует набор элементов a в конечном поле порядка p q, таких что a и 2 – a имеют норму 1. Сначала проверяется, что это множество имеет хотя бы один элемент, отличный от 1. Затем довольно сложное рассуждение с использованием генераторов. а отношения в группе G показывают, что множество замкнуто относительно взятия обратных. Если a входит в набор и не равно 1, то многочлен N ((1– a ) x +1) –1 имеет степень q и не менее p различных корней, заданных элементами x из F p , с учетом того, что x → 1 / (2– x ) отображает множество в себя, поэтому p ≤ q , что противоречит предположению p > q .

Использование странности

Тот факт, что порядок группы G нечетный, используется в доказательстве в нескольких местах следующим образом ( Thompson, 1963 ).

  • Теорема Холла – Хигмана более точна для групп нечетного порядка.
  • Для групп нечетного порядка все неглавные характеры встречаются в комплексно сопряженных парах.
  • Некоторые результаты о p -группах верны только для нечетных простых чисел p .
  • Если в группе нечетного порядка нет элементарных абелевых подгрупп ранга 3, то ее производная группа нильпотентна. (Это неверно для симметрической группы S 4 четного порядка.)
  • Некоторые аргументы, связанные с теорией характеров, терпят неудачу для малых простых чисел, особенно для простого числа 2.

использованная литература