Дифференцируемый стек - Differentiable stack

В дифференциальной геометрии , A дифференцируемая стека является стек по категории из дифференцируемых многообразий (с обычной открытой топологией накрывающей ) , который допускает атлас. Другими словами, дифференцируемый стек - это стек, который может быть представлен группоидом Ли .

Связь с группоидами Ли

Каждый группоид Ли Γ порождает дифференцируемый стек, который является категорией Γ- торсоров . Фактически, каждый дифференцируемый стек имеет такую форму. Следовательно, грубо говоря, «дифференцируемый стек является группоидом Ли с точностью до эквивалентности Мориты ».

Дифференциальное пространство

Дифференцируемое пространство -дифференцируемая стек с тривиальными стабилизаторами. Например, если группа Ли действует свободно, но не обязательно должным образом, на многообразии, то фактор по ней, вообще говоря, не является многообразием, а дифференцируемым пространством.

С топологией Гротендика

Дифференцируемый стек X может быть определенным образом снабжен топологией Гротендика (см. Ссылку). Это дает понятие пучка над X . Например, пучок дифференциальных р -форм над X задается для любого х в Х над многообразием U , позволяя пространство р -форм на U . Пучок называется структурным пучком на X и обозначается через . поставляется с внешней производной и , таким образом , представляет собой комплекс пучков из векторных пространств над X : один , таким образом , есть понятие когомологий де Рама из X . ${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (x)}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {*}}$

Герберы

Эпиморфизм между дифференцируемыми стеками называется гербом над X, если он также является эпиморфизмом. Например, если X - стек, - герб. Теорема Жиро гласит, что однозначно соответствует множеству гербов над X , которые локально изоморфны, и которые приходят с тривиализацией своих связок . ${\ displaystyle G \ to X}$ ${\ displaystyle G \ to G \ times _ {X} G}$ ${\ displaystyle BS ^ {1} \ times X \ to X}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (X, S ^ {1})}$ ${\ displaystyle BS ^ {1} \ times X \ to X}$