Действие группы Ли - Lie group action

В дифференциальной геометрии , A группы Ли действия являются действием группы адаптирован к гладкой настройке: G является группой Ли , М является гладким многообразием , а отображение действия дифференцируемо .

Определение и первые свойства

Пусть - (левое) групповое действие группы Ли G на гладком многообразии M; оно называется действием группы Ли (или гладким действием), если отображение дифференцируемо. Эквивалентно, действие группы Ли группы G на M состоит из гомоморфизма группы Ли . Гладкое многообразие, наделенное действием группы Ли, также называется G -многообразием . ${\ displaystyle \ sigma: G \ times M \ to M, (g, x) \ mapsto g \ cdot x}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle G \ to \ mathrm {Diff} (M)}$

Тот факт, что карта действий гладкая, имеет несколько непосредственных последствий: ${\ displaystyle \ sigma}$

то стабилизаторы акции группы закрыты, таким образом , являются подгруппами Ли из G ${\ displaystyle G_ {x} \ substeq G}$
что орбиты действия группы являются погружают подмногообразиями . ${\ Displaystyle G \ cdot х \ substeq M}$

Если забыть о гладкой структуре, действие группы Ли является частным случаем непрерывного действия группы .

Примеры

Для каждой группы Ли G следующие действия группы Ли:

тривиальное действие G на любом многообразии
действие G на себя умножением слева, умножением справа или сопряжением
действие любой подгруппы Ли на G умножением слева, умножением справа или сопряжением ${\ Displaystyle H \ substeq G}$

присоединенное действие О на своей алгебре Ли . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Другие примеры действий группы Ли включают:

действие на M, заданное потоком любого полного векторного поля ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
действия полной линейной группы и ее подгрупп Ли на матричном умножении ${\ Displaystyle GL (п, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle G \ substeq GL (п, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
вообще, любое представление группы Ли в векторном пространстве
любое действие гамильтоновой группы на симплектическом многообразии
транзитивное действие, лежащее в основе любого однородного пространства
в более общем смысле, групповое действие, лежащее в основе любого основного пучка

Действие инфинитезимальной алгебры Ли

Следуя духу соответствия группы Ли и алгебры Ли, действия группы Ли также можно изучать с бесконечно малой точки зрения. В самом деле, любое действие группы Ли индуцирует инфинитезимальное действие алгебры Ли на M, т. Е. Гомоморфизм алгебр Ли . Интуитивно это получается путем дифференцирования в единице гомоморфизма групп Ли и интерпретации множества векторных полей как алгебры Ли (бесконечномерной) группы Ли . ${\ displaystyle \ sigma: G \ times M \ to M}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {X}} (М)}$ ${\ displaystyle G \ to \ mathrm {Diff} (M)}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {X}} (М)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Diff} (M)}$

Точнее, фиксируя любое , отображение орбиты становится дифференцируемым, и можно вычислить его дифференциал в единице . Если , то ее образ при является касательный вектор в х и варьируя х получается векторное поле на M . Минус этого векторного поля, обозначаемый , также называется фундаментальным векторным полем, ассоциированным с X (знак минус гарантирует, что это гомоморфизм алгебры Ли). ${\ displaystyle x \ in M}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {x}: от G \ до M, g \ mapsto g \ cdot x}$ ${\ displaystyle e \ in G}$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle d_ {e} \ sigma _ {x}: {\ mathfrak {g}} \ to T_ {x} M}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {X}} (M), X \ mapsto X ^ {\ #}}$

Наоборот, по теореме Ли – Пале любое абстрактное инфинитезимальное действие (конечномерной) алгебры Ли на компактном многообразии можно интегрировать с действием группы Ли.

Более того, инфинитезимальное действие алгебры Ли инъективно тогда и только тогда, когда соответствующее глобальное действие группы Ли свободно. Это следует из того, что ядро алгебры Ли стабилизатора . С другой стороны, в целом не сюръективно. Например, пусть будет основным G- расслоением: изображение бесконечно малого действия фактически равно вертикальному подгруппе . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {X}} (М)}$ ${\ displaystyle d_ {e} \ sigma _ {x}: {\ mathfrak {g}} \ to T_ {x} M}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {x} \ substeq {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle G_ {x} \ substeq G}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {X}} (М)}$ ${\ displaystyle \ pi: P \ to M}$ ${\ displaystyle T ^ {\ pi} P \ subset TP}$

Правильные действия

Важный (и общий) класс действий группы Ли - это класс собственных . Действительно, из такого топологического условия следует, что

стабилизаторы являются компактными ${\ displaystyle G_ {x} \ substeq G}$
орбиты являются вложенными подмногообразиями ${\ Displaystyle G \ cdot х \ substeq M}$
пространство орбит является Хаусдорф ${\ displaystyle M / G}$

В общем случае, если группа Ли G компактна, любое гладкое G-действие автоматически является собственным. Примером собственного действия необязательно компактной группы Ли является действие подгруппы Ли на G. ${\ Displaystyle H \ substeq G}$

Структура орбитального пространства

Учитывая действие группы Ли группы Ли на M, пространство орбит, вообще говоря, не допускает структуры многообразия. Однако, если действие свободное и собственное, то оно имеет уникальную гладкую структуру, такую что проекция является субмерсией (фактически является главным G- расслоением). ${\ displaystyle M / G}$ ${\ displaystyle M / G}$ ${\ displaystyle M \ to M / G}$ ${\ displaystyle M \ to M / G}$

Тот факт, что это Хаусдорф, зависит только от правильности действия (как обсуждалось выше); остальная часть утверждения требует свободы и является следствием теоремы о срезах . Если условие «свободного действия» (то есть «наличие нулевых стабилизаторов») ослабляется до «наличия конечных стабилизаторов», вместо этого становится орбифолдом (или частным стеком ). ${\ displaystyle M / G}$ ${\ displaystyle M / G}$

Применение этого принципа - конструкция Бореля из алгебраической топологии . Предполагая, что G компактна, обозначим через универсальное расслоение , которое мы можем считать многообразием, поскольку G компактно, и пусть G действует по диагонали. Действие свободное, поскольку оно таково по первому множителю, и собственное, поскольку G компактно; Таким образом, можно образовать фактор многообразие и определит эквивариантную когомологию из М в ${\ displaystyle EG}$ ${\ displaystyle EG \ times M}$ ${\ Displaystyle M_ {G} = (например, \ times M) / G}$

{\ displaystyle H_ {G} ^ {*} (M) = H _ {\ text {dr}} ^ {*} (M_ {G})}

,

где правая часть обозначает когомологии де Рама многообразия . ${\ displaystyle M_ {G}}$

Смотрите также

использованная литература

Мишель Оден, Действия тора на симплектических многообразиях , Биркхаузер, 2004
Джон Ли, Введение в гладкие многообразия , глава 9, ISBN 978-1-4419-9981-8
Фрэнк Уорнер, Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , глава 3, ISBN 978-0-387-90894-6

Languages

In other projects