Ложь группоид - Lie groupoid

В математике , группоид Ли является группоидом где набор из объектов и множество из морфизмов оба многообразие , все категории операции (источник и цель, состав, идентичность назначения карты и инверсия) являются гладким, и операции исходной и целевой

являются субмерсиями .

Группоид Ли, таким образом, можно рассматривать как «многообъектное обобщение» группы Ли , так же как группоид - это многообъектное обобщение группы . Соответственно, в то время как группы Ли обеспечивают естественную модель для (классических) непрерывных симметрий , группоиды Ли часто используются в качестве модели для обобщенных точечно-зависимых симметрий (и возникают из них). Расширяя соответствие между группами Ли и алгебрами Ли, группоиды Ли являются глобальными аналогами алгеброидов Ли .

Группоиды Ли были введены Чарльзом Эресманном под названием дифференцируемые группоиды .

Определение и основные понятия

Группоидом Ли состоит из

  • два гладких многообразия и
  • две сюръективные субмерсии (называемые соответственно исходной и целевой проекциями)
  • карта (называемая картой умножения или композиции), где мы используем обозначения
  • карта ( так называемая блок картой или объект картой включения), где мы используем обозначение
  • отображение (называемое инверсией ), где мы используем обозначение

такой, что

  • композиция удовлетворяет и для каждого, для которого композиция определена
  • композиция ассоциативна, т.е. для каждого, для которого композиция определена
  • U работает как единое целое, то есть для каждого и и для каждого
  • i работает как инверсия, т.е. и для каждого .

Используя язык теории категорий , группоид Ли может быть более компактно определяются как группоиде (т.е. небольшой категории , где все морфизмы обратимы), что множества объектов и морфизмов являются коллекторами, карты , , , и гладкие и и являются погружениями.

Группоиды Ли часто обозначают , где две стрелки обозначают источник и цель. Обозначения также часто используются, особенно когда подчеркивается категориальная (и симплициальная) структура.

Альтернативные определения

Исходное определение Эресмана требовало и обладало гладкой структурой, такой, чтобы гладкими были только отображения и субиммерсии (т. Е. Иметь локально постоянный ранг). Такое определение оказалось слишком слабым и было заменено словом Pradines на то, которое используется в настоящее время.

Хотя некоторые авторы ввели более слабые определения , которые не требуют и чтобы быть субмерсиями этих свойства имеют основополагающее значение для развития всей теории Ли группоиды и алгеброид.

Первые свойства

Тот факт, что исходная и целевая карты группоида Ли являются гладкими погружениями, имеет некоторые непосредственные последствия:

  • s-слои , t-слои и множество составных морфизмов являются подмногообразиями;
  • отображение инверсии - диффеоморфизм;
  • группы изотропии являются группами Ли;
  • орбиты представляют собой погруженные подмногообразия;
  • s-слой в точке является главным- расслоением над орбитой в этой точке.

Морфизмы и субгруппоиды

Ли подгруппоида группоида Ли является подгруппоидом с дополнительным требованием, является погруженным Подмногообразием.

Ли Группоид морфизма между двумя группоидами Ли и является группоид морфизма (т.е. функтор между категориями и ), где оба и гладкие.

Пополам

Бисекция группоида Ли гладкое отображение такое , что и является диффеоморфизмом . Набор делений пополам образует группу с умножением, определенным как

и инверсия, определяемая как
Обратите внимание, что определение дано таким образом, что если и , то и .

Группе бисекций может быть дана компактно-открытая топология , а также (бесконечномерная) структура многообразия Фреше, совместимая со структурой группы, превращая ее в группу Фреше-Ли.

Локальная бисекция определяется аналогично, но умножение между локальным bisections это, конечно , только частично определены.

Примеры

Тривиальные и крайние случаи

  • Группоиды Ли с одним объектом - это то же самое, что группы Ли.
  • Для любого многообразия существует группоид Ли, называемый парным группоидом , с ровно одним морфизмом от любого объекта к любому другому.
  • Для любого многообразия существует группоид Ли, называемый единичным группоидом , с ровно одним морфизмом от одного объекта к себе, а именно с тождеством, и без морфизмов между разными объектами.
  • В более общем смысле группоиды Ли с - это то же самое, что и расслоение групп Ли (не обязательно локально тривиально).

Конструкции из других группоидов Ли

  • Для любого группоида Ли и сюръективной субмерсии существует группоид Ли , называемый обратным группоидом , где содержатся такие тройки , что и , и умножение определяется с помощью умножения . Например, откатом парного группоида из является парный группоид из .
  • Для любого группоида Ли существует группоид Ли , называемый его касательным группоидом , полученный рассмотрением касательного расслоения к и и дифференциала структурных отображений.
  • При любом группоидом Ли , есть группоид Ли , называется его реактивное группоид , полученное с учетом k-струями локального bisections из (с гладкой структурой , унаследованной от расслоения из ) и настроек , , , и .

Примеры из дифференциальной геометрии

  • Для данной группы Ли, действующей на многообразии , существует группоид Ли , называемый группоидом действия или трансляционным группоидом , с одним морфизмом для каждой тройки с .
  • Для любого векторного расслоения существует группоид Ли , называемый общим линейным группоидом , с морфизмами между слоями и . Например, если - тривиальное векторное расслоение ранга , то - группоид действия.
  • Любое главное расслоение со структурной группой определяет группоид Ли , который действует на пары покомпонентно, называемый калибровочным группоидом . Умножение определяется через совместимых представителей, как в парном группоиде.
  • Любое слоение на многообразие определяет два группоидов Ли, (или ) и , называется соответственно Монодромия / Гомотопические / фундаментальный группоид и голономия из , морфизмы состоят из гомотопности , соответственно голономии , классы эквивалентности путей целиком лежащие в листе . Когда - тривиальное слоение только с одним слоем, восстанавливаются, соответственно, фундаментальный группоид и парный группоид из .
  • Для любой псевдогруппы существует группоид Ли , называемый его ростковым группоидом , наделенный топологией пучка и структурными отображениями, аналогичными тем, что у группоида струй.

Важные классы группоидов Ли

Обратите внимание, что некоторые из следующих классов имеют смысл уже в категории теоретико-множественных или топологических группоидов.

Переходные группоиды

Группоид Ли является транзитивным (в более ранней литературе также называется связным), если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

  • есть только одна орбита;
  • между любыми двумя объектами существует по крайней мере морфизм;
  • является сюръективным отображением.

Калибровочные группоиды представляют собой прототипы транзитивных группоидов Ли: действительно, любой транзитивный группоид Ли изоморфен калибровочному группоиду некоторого главного расслоения, а именно -расслоения , для любой точки . Например:

  • Группы Ли и парные группоиды тривиально транзитивны и возникают соответственно из главного G-расслоения и из главного -расслоения ;
  • группоид действия транзитивен тогда и только тогда, когда действие группы транзитивно , и в этом случае оно возникает из главного расслоения со структурной группой - группой изотропии (в произвольной точке);
  • общий линейный группоид транзитивен и возникает из расслоения реперов ;
  • группоиды отката, группоиды струй и касательные группоиды транзитивны тогда и только тогда, когда они транзитивны.

В качестве менее тривиального примера соответствия между транзитивными группоидами Ли и главными расслоениями рассмотрим фундаментальный группоид (связного) гладкого многообразия M. Это, естественно, топологический группоид, который к тому же транзитивен; видно, что он изоморфен калибровочному группоиду универсального накрытия M. Соответственно, наследует гладкую структуру, которая превращает его в группоид Ли.

Правильные группоиды

Группоид Ли называется собственным, если он является правильным отображением. Как следствие

  • все группы изотропии G компактны ;
  • все орбиты группы G - замкнутые подмногообразия;
  • пространство орбит M / G хаусдорфово .

Например:

  • группа Ли собственная тогда и только тогда, когда она компактна;
  • парные группоиды всегда правильны;
  • единичные группоиды всегда правильны;
  • группоид действий правильный тогда и только тогда, когда действие правильное ;
  • фундаментальный группоид является собственным тогда и только тогда, когда фундаментальные группы конечны.

Как было показано выше, правильность группоидов Ли является «правым» аналогом компактности групп Ли. Можно также рассмотреть более «естественные» условия, например, спросить, правильна ли исходная карта (тогда это называется s-правильным ), или что все пространство компактно (тогда называется компактным ), но эти требования оказываются слишком строгими. для множества примеров и приложений.

Этальные группоиды

Группоид Ли называется этальным, если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

Как следствие, также становятся дискретными t-слои, группы изотропии и орбиты.

Например:

  • группа Ли этальна тогда и только тогда, когда она дискретна;
  • парные группоиды никогда не бывают эталоном;
  • единичные группоиды всегда этальны;
  • группоид действий этален тогда и только тогда, когда G дискретна;
  • фундаментальные группоиды всегда этальны (но фундаментальные группоиды слоений нет);
  • зародышевые группоиды псевдогрупп всегда этальны.

Эффективные группоиды

Этален группоид называется эффективным , если для любых двух локальных bisections , условие подразумевает . Например:

  • Группы Ли эффективны тогда и только тогда, когда они тривиальны;
  • единичные группоиды всегда эффективны;
  • группоид действий эффективен, если G-действие свободно и G дискретно.

В общем случае любой эффективный этальный группоид возникает как ростковый группоид некоторой псевдогруппы. Однако можно также дать (более сложное) определение эффективности, которое не предполагает свойства etale.

Группоиды, связанные с источником

Группоид Ли называется s-связным, если все его s-слои связны . Точно так же говорят о s-односвязных группоидах (когда s-слои односвязны ) или k-связных группоидах с источником (когда s-слои k-связны , т. Е. Первые гомотопические группы тривиальны).

Обратите внимание, что не требуется , чтобы все пространство стрелок удовлетворяло какой-либо гипотезе связности. Однако, если является связным к источникам группоидом Ли над -связным многообразием, то он сам автоматически -связен.

Например

  • Группы Ли связаны с источником тогда и только тогда, когда они связаны ;
  • парный группоид связан с источником тогда и только тогда, когда он связан;
  • единичные группоиды всегда связаны с источником ;
  • группоиды действия являются источником связным тогда и только тогда , когда будет связным.
  • Группоиды монодромии (следовательно, и фундаментальные группоиды) являются односвязными по источнику.

Другие связанные концепции

Действия и основные пакеты

Напомним, что действие группоида на множестве вдоль функции определяется через набор отображений для каждого морфизма между ними . Соответственно, действие группоида Ли на многообразии вдоль гладкого отображения состоит из действия группоида, где отображения гладкие. Конечно, для каждого существует индуцированное гладкое действие группы изотропии на слое .

Учитывая группоид Ли , А главное расслоение состоит из -пространства и а -инвариантные сюръективно затопление таким образом, что

является диффеоморфизмом. Эквивалентные (но более сложные) определения могут быть даны с использованием -значных коциклов или локальной тривиализации.

Когда - группоид Ли над точкой, восстанавливаются, соответственно, стандартные действия группы Ли и главные расслоения .

Представления

Представление группоида Ли состоит из действия группоида Ли на векторном расслоении , такой , что действие является послойным линейным, т.е. каждый биекция является линейным изоморфизмом. Эквивалентно представление on можно описать как морфизм группоида Ли из в общий линейный группоид .

Конечно, любое волокно становится представлением группы изотропии . В более общем смысле, представления транзитивных группоидов Ли однозначно определяются представлениями их групп изотропии с помощью конструкции расслоения фреймов § связанных векторных расслоений .

Примеры представлений группоидов Ли включают следующее:

  • представления групп Ли восстанавливают стандартные представления групп Ли
  • представления парных группоидов - тривиальные векторные расслоения
  • представления единичных группоидов - векторные расслоения
  • представления действий группоиде являются - эквивариантные векторные расслоения
  • представления фундаментальных группоидов - это векторные расслоения, наделенные плоскими связностями

Множество классов изоморфизма представлений группоида Ли имеет естественную структуру полукольца с прямыми суммами и тензорными произведениями векторных расслоений.

Дифференцируемые когомологии

Понятие дифференцируемых когомологий групп Ли естественным образом обобщается также на группоиды Ли: определение опирается на симплициальную структуру нерва группы Ли , рассматриваемую как категорию.

Точнее, напомним, что пространство состоит из цепочек составных морфизмов, т. Е.

и рассмотрим карту .

Дифференцируем п-коцепной из с коэффициентами в некотором представлении является гладким участком поднятия векторного расслоения . Обозначить на пространстве таких п-коцепями, и считает дифференциал , определяемый как

Тогда становится коцепным комплексом и его когомология, обозначаемая , называется дифференцируемые когомологиями из с коэффициентами . Обратите внимание, что, поскольку дифференциал в нулевой степени равен , всегда .

Конечно, дифференцируемые когомологии группы Ли как группоида совпадают со стандартными дифференцируемыми когомологиями группы Ли (в частности, для дискретных групп восстанавливаются обычные групповые когомологии ). С другой стороны, для любого собственного группоида Ли это можно доказать для каждого .

Алгеброид Ли группоида Ли

Любой группоид Ли имеет ассоциированный алгеброид Ли , полученный с помощью конструкции, аналогичной той, которая связывает алгебру Ли с любой группой Ли

  • векторное расслоение - это вертикальное расслоение относительно исходной карты, ограниченное элементами, касающимися тождеств, т. е .;
  • скобка Ли получается отождествлением с левоинвариантными векторными полями на и переносом их скобки Ли в ;
  • карта привязки - это дифференциал целевой карты, ограниченный .

Соответствие группы Ли и алгебры Ли, обобщенное на некоторые из них, распространяется также на группоиды Ли: первые две теоремы Ли (также известные как теорема о подгруппах и подалгебрах и теорема о гомоморфизмах) действительно могут быть легко адаптированы к этой ситуации.

В частности, как и в стандартной теории Ли, для любого s-связного группоида Ли существует единственный (с точностью до изоморфизма) s-односвязный группоид Ли с тем же алгеброидом Ли и локальный диффеоморфизм, являющийся морфизмом группоидов. Например,

  • для любого связного многообразия его парный группоид s-связен, но не s-односвязен, в то время как его фундаментальный группоид является. У них обоих один и тот же алгеброид Ли, а именно касательное расслоение , а локальный диффеоморфизм задается формулой .
  • для любого слоения на его группоид голономии является s-связным, но не s-односвязным, в то время как его группоид монодромии является. У них обоих есть один и тот же алгеброид Ли, а именно алгеброид слоения , и локальный диффеоморфизм задается формулой (поскольку гомотопические классы меньше, чем классы голономии).

Однако не существует аналога третьей теоремы Ли ː, хотя некоторые классы алгеброидов Ли интегрируемы, существуют примеры алгеброидов Ли, например, связанные с теорией слоения , которые не допускают интегрирующего группоида Ли. Общие препятствия к существованию такой интеграции зависят от топологии .

Эквивалентность Морита

Как обсуждалось выше, стандартное понятие (изо) морфизма группоидов (рассматриваемых как функторы между категориями ) естественным образом ограничивается группоидами Ли. Однако существует более грубое обозначение эквивалентности, называемое эквивалентностью Морита, которое более гибко и полезно в приложениях.

Во- первыхи, карта Морита (также известная как слабая эквивалентность или существенная эквивалентность) между двумя группоидами Ли и состоит из группоида Ли морфизм из G в H , который, кроме того , полностью верен и по существу сюръективен (адаптации этих категориальных понятий к гладкому контексту). Мы говорим , что две группоиды Ли и являются Морита - эквивалентны тогда и только тогда , когда существует Группоид третий Ли вместе с двумя Морита отображающая G на K и от H до K .

Более явное описание эквивалентности Мориты (например, полезное для проверки того, что это отношение эквивалентности ) требует существования двух сюръективных субмерсий и вместе с левым -действием и правым -действием, коммутирующими друг с другом и превращающимися в главную би- пучок.

Инвариантность Мориты

Многие свойства группоидов Ли, например, быть собственными, хаусдорфовыми или транзитивными, являются инвариантными по Морите. С другой стороны, быть эталоном - это не инвариант Мориты.

Кроме того, эквивалентность Мориты между и сохраняет их поперечную геометрию , т. Е. Индуцирует:

  • гомеоморфизм между пространствами орбит и ;
  • изоморфизм между группами изотропии в соответствующих точках и ;
  • изоморфизм между нормальными представлениями групп изотропии в соответствующих точках и .

Наконец, дифференцируемые когомологии двух эквивалентных по Морите группоидов Ли изоморфны.

Примеры

  • Изоморфные группоиды Ли тривиально эквивалентны Морите.
  • Две группы Ли эквивалентны Морите тогда и только тогда, когда они изоморфны как группы Ли.
  • Два единичных группоида эквивалентны Морите тогда и только тогда, когда базовые многообразия диффеоморфны.
  • Любой транзитивный группоид Ли эквивалентен по Морите своим группам изотропии.
  • Учитывая группоид Ли и сюръективную субмерсию , обратный группоид эквивалентен по Морите .
  • Группоид Ли по Морите эквивалентен этальному группоиду тогда и только тогда, когда все группы изотропии дискретны.

Конкретный пример последнего примера выглядит следующим образом. Пусть M гладкое многообразие и открытое покрытие М . Его чешский группоид определяется непересекающимися союзами и , где . Исходная и целевая карты определяются как вложения и , а умножение становится очевидным, если мы читаем как подмножества M (совместимые точки в и фактически совпадают в M и также лежат в ). Группоид Чеха фактически откат группоид, при очевидном погружении в воде , единичный группоиде . Таким образом, чешские группоиды, связанные с различными открытыми покрытиями M, эквивалентны Морите.

Гладкие стеки

Исследование структуры пространства орбит группоида Ли приводит к понятию гладкого стека. Например, пространство орбит является гладким многообразием, если группы изотропии тривиальны (как в примере группоида Чеха), но в целом оно не является гладким. Решение состоит в том, чтобы вернуться к проблеме и определить гладкий стек как класс эквивалентности Морита группоидов Ли. Естественные геометрические объекты, живущие в стеке, - это геометрические объекты на группоидах Ли, инвариантные относительно эквивалентности Морита: примером являются когомологии группоидов Ли.

Поскольку понятие гладкого стека довольно общее, очевидно, что все гладкие многообразия являются гладкими стеками. Другие классы примеров включают орбифолды , которые являются (классами эквивалентности) этальных группоидов, и пространства орбит слоений.

использованная литература

Книги и конспекты лекций

  • Алан Вайнштейн, Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии, AMS Notices , 43 (1996), 744–752. Также доступно на arXiv: math / 9602220
  • Кирилл Маккензи, Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии , Cambridge U. Press, 1987.
  • Кирилл Маккензи, Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли , Cambridge U. Press, 2005.
  • Мариус Крайник, Руи Лоха Фернандес, Лекции по интегрируемости скобок Ли , Монографии по геометрии и топологии 17 (2011) 1–107, доступно на arXiv: math / 0611259 .
  • Экхард Майнренкен, Конспекты лекций по группоидам Ли и алгеброидам Ли , доступны по адресу http://www.math.toronto.edu/mein/teaching/MAT1341_LieGroupoids/Groupoids.pdf .
  • Иеке Мурдейк, Янез Мрчун, Введение в слоения и группоиды Ли , Cambridge U. Press, 2010.