Топология Гротендика - Grothendieck topology

В теории категории филиала математики , топология Гротендика является структурой на категорию С , что делает объекты C действуют как открытые множества одного топологического пространства . Категория вместе с выбранной топологией Гротендика называется сайтом .

Топологии Гротендика аксиоматизируют понятие открытой крышки . Используя понятие покрытия, обеспечиваемое топологией Гротендика, становится возможным определять пучки на категории и их когомологии . Впервые это было сделано в алгебраической геометрии и теории алгебраических чисел от Гротендик определить Этальную когомологию из в схеме . С тех пор он использовался для определения других теорий когомологий, таких как ℓ-адические когомологии , плоские когомологии и кристаллические когомологии . Хотя топологии Гротендика чаще всего используются для определения теорий когомологий, они нашли и другие приложения, такие как теория жесткой аналитической геометрии Джона Тейта .

Существует естественный способ связать сайт с обычным топологическим пространством , и теория Гротендика в целом рассматривается как обобщение классической топологии. При скудных гипотезах о наборе точек, а именно о трезвости , это полностью верно - можно восстановить трезвое пространство из связанного с ним участка. Однако простые примеры, такие как недискретное топологическое пространство, показывают, что не все топологические пространства могут быть выражены с использованием топологий Гротендика. Наоборот, есть топологии Гротендика, которые не происходят из топологических пространств.

Термин «топология Гротендика» изменился по своему значению. В Артине (1962) это означало то, что сейчас называется претопологией Гротендика, и некоторые авторы до сих пор используют это старое значение. Жиро (1964) изменил определение, чтобы использовать сита, а не крышки. В большинстве случаев это не имеет большого значения, поскольку каждая претопология Гротендика определяет уникальную топологию Гротендика, хотя совершенно разные претопологии могут давать одну и ту же топологию.

Обзор

Знаменитые гипотезы Андре Вейля предполагали, что некоторые свойства уравнений с целыми коэффициентами следует понимать как геометрические свойства алгебраического многообразия, которое они определяют. Его гипотезы постулировали, что должна существовать теория когомологий алгебраических многообразий, которая дает теоретико-числовую информацию об их определяющих уравнениях. Эта теория когомологий была известна как «когомология Вейля», но, используя имеющиеся у него инструменты, Вейль не смог ее построить.

В начале 1960-х годов Александр Гротендик ввел этальные отображения в алгебраическую геометрию как алгебраические аналоги локальных аналитических изоморфизмов в аналитической геометрии . Он использовал этальные покрытия, чтобы определить алгебраический аналог фундаментальной группы топологического пространства. Вскоре Жан-Пьер Серр заметил, что некоторые свойства этальных покрытий имитируют свойства открытых погружений , и, следовательно, можно создавать конструкции, имитирующие функтор когомологий H ¹ . Гротендик увидел, что можно использовать идею Серра для определения теории когомологий, которая, как он подозревал, будет когомологиями Вейля. Чтобы определить эту теорию когомологий, Гротендику нужно было заменить обычное топологическое понятие открытого покрытия понятием, в котором вместо этого использовались бы этальные покрытия. Гротендик также понял, как абстрактно сформулировать определение покрытия; Отсюда и происходит определение топологии Гротендика.

Определение

Мотивация

Классическое определение связки начинается с топологическим пространством X . Пучок связывает информацию с открытыми множествами X . Эта информация может быть сформулирована абстрактно, позволяя O ( X ) категорию, объекты которой являются открытыми подмножествами U из X , а морфизмы включение отображает V → U открытых множества U и V из X . Мы будем называть такие карты открытыми погружениями , как и в контексте схем . Тогда предпучок на X является контравариантным функтором из O ( X ) в категорию множеств, а пучок - это предпучок, удовлетворяющий аксиоме склейки (включая аксиому отделимости). Аксиома склейки сформулирована в терминах поточечного покрытия , т. Е. Покрывает U тогда и только тогда, когда . В этом определении, является открытым подмножеством X . Топологии Гротендика заменяют каждую целым семейством открытых подмножеств; в этом примере заменяется семейством всех открытых иммерсий . Такой сбор называется ситом . Точечное покрытие заменяется понятием семейства покрытий ; в приведенном выше примере, множество всех , как я варьируется является покрытием семейство U . Сита и покрывающие семьи могут быть аксиоматизированы, и как только это будет сделано открытыми множества и точечно покрытие может быть заменено другими понятиями , которые описывают другие свойства пространства X . ${\ displaystyle \ {U_ {i} \}}$${\ displaystyle \ bigcup _ {i} U_ {i} = U}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle V_ {ij} \ к U_ {i}}$${\ Displaystyle \ {V_ {ij} \ к U_ {i} \} _ {j}}$

Сита

В топологии Гротендика понятие набора открытых подмножеств U, устойчивого относительно включения, заменяется понятием решета . Если c - любой заданный объект в C , решето на c является подфунктором функтора Hom (-, c ); (это вложение Йонеды, примененное к c ). В случае O ( X ) решето S на открытом множестве U выбирает набор открытых подмножеств U , устойчивых относительно включения. Точнее, считают , что для любого открытого подмножества V из U , S ( V ) будет подмножество Hom ( V , U ), который имеет только один элемент, открытое вложение V → U . Тогда V будет считаться «выбранным» S тогда и только тогда, когда S ( V ) непусто. Если W представляет собой подмножество V , то существует морфизм S ( V ) → S ( W ) задается композицией с включением W → V . Если S ( V ) непусто, отсюда следует, что S ( W ) также непусто.

Если S является решето на X и F : Y → X есть морфизм, то покинул состав по й дает решето на Y называется откат из S вдоль е , обозначаемого е S . Он определяется как расслоенное произведение S  × _{Hom (-, X )}  Hom (-, Y ) вместе с его естественным вложением в Hom (-, Y ). Более конкретно, для каждого объекта Z из C , f S ( Z ) = { g : Z → Y | fg S ( Z )}, а f S наследует свое действие на морфизмах, будучи подфунктором Hom (-, Y ). В классическом примере возврат набора { V _i } подмножеств U вдоль включения W → U - это набор { V _i ∩W}. ^{${\ displaystyle ^ {\ ast}}$ ${\ displaystyle ^ {\ ast}}$} ${\ displaystyle \ in}$^{${\ displaystyle ^ {\ ast}}$}

Топология Гротендика

Гротендик топология J на категории C представляет собой набор, для каждого объекта с С , отмеченных на ситах с , обозначим через J ( гр ) и называемых охватывающих сит от гр . Этот выбор будет зависеть от определенных аксиом, изложенных ниже. Продолжая предыдущий пример, решето S на открытом множестве U в O ( X ) будет покрывающим решетом тогда и только тогда, когда объединение всех открытых множеств V, для которых S ( V ) непусто, равно U ; другими словами, тогда и только тогда, когда S дает нам набор открытых множеств, покрывающих U в классическом смысле.

Аксиомы

Условия, которые мы накладываем на топологию Гротендика, следующие:

• (Т 1) (Базовый изменить) Если S является покрытие сита на X и F : Y → X есть морфизм, то прообраз F S представляет собой покрытие сита на Y .^{${\ displaystyle \ ast}$}
• (T 2) (локальный характер) Пусть S будет покрытие решето на X , и пусть T любое решето на X . Предположим , что для каждого объекта Y из C и каждого стрелка F : Y → X в S ( Y ), прообраз сита F Т представляет собой покрытие сита на Y . Тогда T является накрытием решето на X .^{${\ displaystyle \ ast}$}
• (Т 3) (идентичность) Хомы (-, X ) представляет собой покрытие сита на X для любого объекта X в C .

Базовые изменения аксиома соответствует идее , что если { U _я } покрывает U , то { U _я ∩ V } должен охватывать U ∩ V . Локальный характер аксиома соответствует идее , что если { U _я } покрывает U и { V _Ij } _{J J я${\ displaystyle \ in}$} охватывает U _I для каждого I , то совокупность { V _Ij } для всех I и J должны охватывать U . Наконец, аксиома тождества соответствует идее, что любое множество покрывается всеми своими возможными подмножествами.

Претопологии Гротендика

Фактически, можно представить эти аксиомы в другой форме, где их геометрический характер более очевиден, если предположить, что основная категория C содержит определенные расслоенные продукты. В этом случае вместо указания сит мы можем указать, что определенные коллекции карт с общим кодоменом должны покрывать свой кодомен. Эти коллекции называются покрывающими семействами . Если набор всех покрывающих семейств удовлетворяет некоторым аксиомам, то мы говорим, что они образуют претопологию Гротендика . Эти аксиомы таковы:

• (PT 0) (Существование расслоенных произведений) Для всех объектов X из C и для всех морфизмов X ₀ → X, которые появляются в некотором покрывающем семействе X , и для всех морфизмов Y → X расслоенное произведение X ₀  × _X  Y существуют.
• (PT 1) (Устойчивость относительно замены базы) Для всех объектов X из C , всех морфизмов Y → X и всех покрывающих семейств { X _α → X } семейство { X _α × _X Y → Y } является покрывающим семейством.
• (PT 2) (Локальный характер) Если { X _α → X } - накрывающее семейство и если для всех α, { X _βα → X _α } является накрывающим семейством, то семейство композитов { X _βα → X _α → X } - покрывающее семейство.
• (PT 3) (Изоморфизмы) Если f : Y → X - изоморфизм, то { f } - накрывающее семейство.

Для любой претопологии совокупность всех сит, которые содержат покрывающее семейство из претопологии, всегда является топологией Гротендика.

Для категорий с волокнистыми изделиями действует обратное. Принимая во внимание совокупность стрелок { Х _{& alpha} ; → X }, мы строим сито S , позволяя S ( Y ) множество всех морфизмов Y → X , что фактор через некоторые стрелки Х _{& alpha} ; → Х . Это называется решетом, порожденным { X _α → X }. Теперь выберите топологию. Говорят, что { X _α → X } покрывающее семейство тогда и только тогда, когда порождаемое им решето является покрывающим решетом для данной топологии. Легко проверить, что это определяет претопологию.

(PT 3) иногда заменяется более слабой аксиомой:

• (PT 3 ') (Тождество) Если 1 _X  : X → X - тождественная стрелка, то {1 _X } - покрывающее семейство.

(PT 3) подразумевает (PT 3 '), но не наоборот. Однако предположим, что у нас есть набор семейств покрытий, удовлетворяющий (PT 0) - (PT 2) и (PT 3 '), но не (PT 3). Эти семейства порождают претопологию. Топология, порожденная исходным набором покрывающих семейств, тогда совпадает с топологией, порожденной претопологией, потому что решето, порожденное изоморфизмом Y → X, является Hom (-, X ). Следовательно, если мы ограничим наше внимание топологиями, (PT 3) и (PT 3 ') эквивалентны.

Сайты и связки

Пусть C категория , и пусть J будет топология Гротендика на C . Пара ( C , J ) называется сайтом .

Предпучок на категории является контравариантный функтор из C в категорию всех множеств. Обратите внимание, что для этого определения C не требуется иметь топологию. Однако связка на сайте должна допускать склейку, как и связки в классической топологии. Следовательно, мы определяем пучок на сайте как предпучок F такой, что для всех объектов X и всех покрывающих решет S на X естественное отображение Hom (Hom (-, X ), F ) → Hom ( S , F ), индуцированная включением S в Hom (-, X ), является биекцией. На полпути между предпучкой и связками является понятием отделенной предпучки , где естественное отображение выше, требуется , чтобы быть только инъекция, а не биекция, для всех сит S . Морфизм предпучков или пучков является естественным преобразованием функторов. Категория всех пучков на C - это топос, определяемый сайтом ( C , J ).

Используя лемму Йонеды , можно показать, что предпучок в категории O ( X ) является пучком в топологии, определенной выше, тогда и только тогда, когда он является пучком в классическом смысле.

Пучки на претопологии имеют особенно простое описание: для каждого семейства покрытий { X _α → X } диаграмма

${\ Displaystyle F (X) \ rightarrow \ prod _ {\ alpha \ in A} F (X _ {\ alpha}) {{{} \ atop \ longrightarrow} \ atop {\ longrightarrow \ atop {}}} \ prod _ {\ alpha, \ beta \ in A} F (X _ {\ alpha} \ times _ {X} X _ {\ beta})}$

должен быть эквалайзер . Для разделенного предпучка первая стрелка должна быть инъективной.

Аналогичным образом можно определить предпучки и пучки абелевых групп , колец , модулей и т. Д. Можно потребовать, чтобы предпучок F был контравариантным функтором для категории абелевых групп (или колец, или модулей и т. Д.), Или чтобы F был объектом абелевой группы (кольца, модуля и т. Д.) В категории всех контравариантные функторы из C в категорию множеств. Эти два определения эквивалентны.

Примеры сайтов

Дискретная и недискретная топологии

Пусть C - любая категория. Чтобы определить дискретную топологию , мы объявляем все сита закрывающими. Если C имеет все расслоенные произведения, это эквивалентно объявлению всех семейств покрывающими. Чтобы определить недискретную топологию , также известную как грубая или хаотическая топология, мы объявляем покрывающими решетами только сита вида Hom (-, X ). Недискретная топология порождается претопологией, которая имеет только изоморфизмы покрывающих семейств. Связка на недискретном участке - это то же самое, что и предпучка.

Каноническая топология

Пусть C - любая категория. Вложение Йонеды дает функтор Hom (-, X ) для каждого объекта X из С . Каноническая топология является самым большим (тонким) топологии таким образом, что каждый представима Предпучком, т.е. предпучка вида Нот (-, X ), является пучком. Покрывающее решето или покрывающее семейство для этого узла называется строго универсально эпиморфным, потому что оно состоит из катетов копредела конуса (на полной диаграмме областей его составляющих морфизмов), и эти копределы устойчивы относительно обратных движений вдоль морфизмов в C . Топология, менее тонкая, чем каноническая, то есть, для которой каждое покрывающее решето строго универсально эпиморфно, называется субканонической . Субканонические сайты - это в точности те сайты, для которых каждый предпучок вида Hom (-, X ) является пучком. Большинство встречающихся на практике сайтов являются субканоническими.

Небольшой сайт, связанный с топологическим пространством

Повторяем пример, с которого начали выше. Пусть X - топологическое пространство. Мы определили O ( X ) как категорию, объектами которой являются открытые множества X, а морфизмы - вложения открытых множеств. Обратите внимание , что для открытого множества U и сито S на U , то множество S ( V ) содержит либо ноль или один элемент для каждого открытого множества V . Покрывающие сита на объекте U из O ( X ) - это сита S, удовлетворяющие следующему условию:

• Если W является объединением всех множеств V таким образом, что S ( V ) не пусто, то W = U .

Это понятие покрытия соответствует обычному понятию точечной топологии.

Эту топологию естественно выразить и как претопологию. Скажем , что семейство включений { V _α U } является покрытием семьи , если и только если объединение V _α равен U . Этот сайт называется небольшим сайтом , связанным с топологическим пространством X .${\ displaystyle \ substeq}$ ${\ Displaystyle \ чашка}$

Большой сайт, связанный с топологическим пространством

Пусть Spc - категория всех топологических пространств. Учитывая , любое семейство функций { U _α  : V _α → X }, мы говорим , что это сюръективна семья или что морфизмы U _α является совместно сюръективны , если у _а ( V _α ) равен X . Мы определяем претопологию на Spc, считая покрывающие семейства сюръективными семействами, все члены которых являются открытыми погружениями. Пусть S - решето на Spc . S является покрывающим решетом для этой топологии тогда и только тогда, когда: ${\ Displaystyle \ чашка}$

• Для любого Y и любого морфизма f  : Y → X в S ( Y ) существуют V и g  : V → X такие, что g - открытое погружение, g находится в S ( V ) и f пропускается через g .
• Если W является объединением всех множеств F ( Y ), где F  : Y → X находится в S ( Y ), то W = Х .

Фикс топологического пространства X . Рассмотрим категорию запятая Spc / X топологических пространств с фиксированным непрерывным отображением на X . Топология на Spc индуцирует топологию на Spc / X . Покрывающие сита и покрывающие семейства почти одинаковы; единственное отличие состоит в том , что теперь все карты , участвующие коммутируют с фиксированными картами на X . Это большой сайт , связанный с топологическим пространством X . Обратите внимание, что Spc - это большой сайт, связанный с пространством одной точки. Впервые это место рассматривал Жан Жиро .

Большой и маленький участки коллектора

Пусть M - многообразие . M имеет категорию открытых множеств O ( M ), потому что это топологическое пространство, и оно получает топологию, как в приведенном выше примере. Для двух открытых множеств U и V из M расслоенное произведение U × _M V - это открытое множество U ∩ V , которое все еще находится в O ( M ). Это означает, что топология на O ( M ) определяется претопологией, той же самой претопологией, что и раньше.

Пусть Mfd - категория всех многообразий и непрерывных отображений. (Или гладкие многообразия и гладкие отображения, или вещественные аналитические многообразия и аналитические отображения и т. Д.) Mfd является подкатегорией Spc , а открытые погружения непрерывны (или гладкие, или аналитические и т. Д.), Поэтому Mfd наследует топологию от Spc . Это позволяет нам построить большой участок многообразия М , как сайт МФД / M . Мы также можем определить эту топологию, используя ту же предтопологию, которую мы использовали выше. Обратите внимание , что удовлетворяет условию (PT 0), мы должны проверить , что для любого непрерывного отображения многообразия X → Y и любого открытого подмножества U из Y , то расслаивается произведение U × _Y X в MFD / M . Это просто утверждение, что прообраз открытого множества открыт. Обратите внимание, однако, что не все расслоенные продукты существуют в Mfd, потому что прообраз гладкого отображения при критическом значении не обязательно должен быть многообразием.

Топологии по категории схем

Категория схем , обозначаемая Sch , имеет огромное количество полезных топологий. Для полного понимания некоторых вопросов может потребоваться изучение схемы с использованием нескольких различных топологий. Все эти топологии связаны с маленькими и большими сайтами. Большой сайт формируется путем взятия всей категории схем и их морфизмов вместе с покрывающими решетами, заданными топологией. Небольшой сайт над данной схемой формируется путем взятия только тех объектов и морфизмов, которые являются частью обложки данной схемы.

Самая простая из них - топология Зарисского . Пусть X - схема. X имеет лежащее в основе топологическое пространство, и это топологическое пространство определяет топологию Гротендика. Топология Зарисского на Sch порождается претопологией, покрывающие семейства которой являются совместно сюръективными семействами теоретико-схемных открытых погружений. Покрывающие сита S для Zar характеризуются следующими двумя свойствами:

• Для любого Y и любого морфизма f  : Y → X в S ( Y ) существуют V и g  : V → X такие, что g - открытое погружение, g находится в S ( V ) и f пропускается через g .
• Если W является объединением всех множеств F ( Y ), где F  : Y → X находится в S ( Y ), то W = Х .

Несмотря на внешнее сходство, топология на Зар является не ограничение топологии на Spc ! Это связано с тем, что существуют морфизмы схем, которые являются топологически открытыми погружениями, но не являются открытыми погружениями в теории схем. Например, пусть быть не- уменьшенным кольцо и пусть N будет его идеалом нильпотентов. Факторное отображение A → A / N индуцирует отображение Spec A / N → Spec A , которое является тождеством на лежащих в основе топологических пространствах. Чтобы быть теоретико-схемным открытым погружением, оно должно также индуцировать изоморфизм на структурных пучках, чего это отображение не делает. По сути, эта карта представляет собой закрытое погружение.

Этальна топология тоньше , чем топология Зарисского. Это была первая топология Гротендика, подвергшаяся тщательному изучению. Его покрывающие семейства являются совместно сюръективными семействами этальных морфизмов. Она тоньше топологии Нисневича, но ни тоньше, ни грубее, чем топологии cdh и l ′.

Есть два плоских топологий , тем fppf топология и fpqc топология. fppf означает fidèlement plate de présentation finie , и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим морфизмом, если он точно плоский, конечного представления и квазиконечный. fpqc расшифровывается как fidèlement plate et quasi-compacte , и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим морфизмом, если он точно плоский. В обеих категориях под семейством покрытий понимается семейство, которое является покрытием на открытых подмножествах Зарисского. В топологии fpqc любой строго плоский и квазикомпактный морфизм является покрытием. Эти топологии тесно связаны со спуском . Fpqc топология тоньше , чем все топологии упоминались выше, и это очень близко к канонической топологии.

Гротендик ввел кристаллические когомологии для изучения части p- кручения когомологий характеристических p- многообразий. В кристаллической топологии , которая является основой этой теории, основная категория имеет объекты, заданные бесконечно малыми утолщениями вместе с разделенными структурами власти . Кристаллические сайты - это примеры сайтов без конечного объекта.

Непрерывные и коконепрерывные функторы

Между сайтами существует два естественных типа функторов. Они задаются функторами, которые в определенном смысле совместимы с топологией.

Непрерывные функторы

Если ( С , J ) и ( D , К ) являются местами , и у  : С → D есть функтор, то у является непрерывным , если для каждого пучка F на D по отношению к топологии K , предпучок - фу является пучком по отношению к топологии J . Непрерывные функторы индуцируют функторы между соответствующими топоями, посылая пучок F в Fu . Эти функторы называются продвижением вперед . Если и обозначают топоиды, связанные с C и D , то функтор прямого продвижения равен . ${\ displaystyle {\ tilde {C}}}$${\ displaystyle {\ tilde {D}}}$${\ displaystyle u_ {s}: {\ tilde {D}} \ to {\ tilde {C}}}$

u _s допускает левый сопряженный u ^s, называемый откатом . U ^сек нужно не сохранять пределы, даже конечные пределы.

Таким же образом, у посылает сито на объекте X из С на сито на объекте Ux из D . Непрерывный функтор отправляет покрывающие сита на покрывающие сита. Если J - топология, определенная претопологией, и если u коммутирует с расслоенными произведениями, то u непрерывно тогда и только тогда, когда оно отправляет покрывающие сита на покрывающие сита и тогда и только тогда, когда оно отправляет покрывающие семейства в покрывающие семейства. В общем, это не достаточно для U , чтобы отправить покрытие сита для покрытия сит (см SGA IV 3, Exemple 1.9.3).

Коконепрерывные функторы

Снова пусть ( C , J ) и ( D , K ) - узлы, а v  : C → D - функтор. Если X - объект C, а R - решето на vX , то R можно вернуть в решето S следующим образом: морфизм f  : Z → X находится в S тогда и только тогда, когда v ( f ): vZ → vX находится в R . Это определяет решето. v является cocontinuous тогда и только тогда , когда для каждого объекта X из C и каждого покрывающего сита R из Vx , прообраз S из R представляет собой покрытие сита на X .

Композиция с v отправляет предварительный пучок F на D в предварительный пучок Fv на C , но если v является коконепрерывным, это не должно отправлять пучки в пучки. Однако этот функтор на предпучковых категориях, обычно обозначаемый , допускает правое сопряжение . Тогда v коконепрерывно тогда и только тогда, когда отправляет пучки пучкам, то есть тогда и только тогда, когда он ограничивается функтором . В этом случае композиция с ассоциированным функтором пучка является левым сопряженным к v _*, обозначенным v ^* . Кроме того, v ^* сохраняет конечные пределы, поэтому сопряженные функторы v _* и v ^* определяют геометрический морфизм тополей . ${\ displaystyle {\ hat {v}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ hat {v}} _ {*}}$${\ displaystyle {\ hat {v}} _ {*}}$${\ displaystyle v _ {*}: {\ tilde {C}} \ to {\ tilde {D}}}$${\ displaystyle {\ hat {v}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ tilde {C}} \ to {\ tilde {D}}}$

Морфизмы сайтов

Непрерывный функтор u  : C → D является морфизмом узлов D → C ( не C → D ), если u ^s сохраняет конечные пределы. В этом случае u ^s и u _s определяют геометрический морфизм topoi . Обоснование соглашения о том, что непрерывный функтор C → D определяет морфизм узлов в противоположном направлении, заключается в том, что это согласуется с интуицией, исходящей из случая топологических пространств. Непрерывное отображение топологических пространств X → Y определяет непрерывный функтор O ( Y ) → O ( X ). Так как говорят, что исходное отображение на топологических пространствах переводит X в Y , то говорят, что и морфизм узлов. ${\ displaystyle {\ tilde {C}} \ to {\ tilde {D}}}$

Частный случай этого случается, когда непрерывный функтор допускает левый сопряженный. Предположим, что u  : C → D и v  : D → C - функторы с u, сопряженным справа к v . Тогда u непрерывно тогда и только тогда, когда v коконепрерывно, и когда это происходит, u ^s естественно изоморфен v ^*, а u _s естественно изоморфен v _* . В частности, u - это морфизм сайтов.

Смотрите также

• Категория волокон
• Топология Ловера-Тирни

Примечания

использованная литература

• Артин, Майкл (1962). Топологии Гротендика . Кембридж, Массачусетс: Гарвардский университет, факультет математики. Zbl  0208.48701 .
• Демазюр, Мишель ; Гротендик, Александр , ред. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 . Конспект лекций по математике (на французском языке). 151 . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. xv + 564. Zbl  0212.52810 .
• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Конспект лекций по математике 269 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . XIX + 525.
• Жиро, Жан (1964), "Analysis situs", Séminaire Bourbaki, 1962/63. Fasc. 3 , Париж: Secrétariat mathématique, MR  0193122
• Шац, Стивен С. (1972). Проконечные группы, арифметика и геометрия . Анналы математических исследований. 67 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08017-8. Руководство по ремонту  0347778 . Zbl  0236.12002 .
• Нисневич, Евсей А. (1989). «Полностью разложенная топология на схемах и связанных спектральных последовательностях спуска в алгебраической K-теории» . В Жардин, JF; Снайт, В. П. (ред.). Алгебраическая K-теория: связи с геометрией и топологией. Труды Института перспективных исследований НАТО, проходившие в Лейк-Луизе, Альберта, 7-11 декабря 1987 г. Институты перспективных исследований НАТО, серия C: математические и физические науки, 279 . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. С. 241–342. Zbl  0715.14009 .

внешние ссылки

• День рождения топологий Гротендика
• День рождения топологий Гротендика (неархивированная версия)