Спуск (математика) - Descent (mathematics)

В математике идея спуска расширяет интуитивную идею «склейки» топологии . Поскольку связующим звеном топологов является использование отношений эквивалентности в топологических пространствах , теория начинается с некоторых идей по идентификации.

Спуск векторных расслоений

Случай построения векторных расслоений из данных на несвязное объединение из топологических пространств является простым местом для начала.

Предположим, что X - топологическое пространство, покрытое открытыми множествами X _i . Пусть Y будет несвязная в X _я , так что существует естественное отображение

${\ displaystyle p: Y \ rightarrow X.}$

Мы считаем , Y , как «выше» X , с X _я проекцией «вниз» на X . В этом языке спуск подразумевает векторное расслоение на Y (то есть расслоение, заданное на каждом X _i ), и наша задача состоит в том, чтобы «склеить» эти расслоения V _i , чтобы создать единственное расслоение V на X. Мы имеем в виду, что V следует, при ограничении на X _я , вернуть V _я , до расслоения изоморфизма.

Необходимые данные следующие: на каждом перекрытии

${\ displaystyle X_ {ij},}$

пересечение X _i и X _j , нам потребуются отображения

${\ displaystyle f_ {ij}: V_ {i} \ rightarrow V_ {j}}$

использовать для идентификации там V _i и V _j , волокно за волокном. Кроме того, f _ij должен удовлетворять условиям, основанным на рефлексивных, симметричных и транзитивных свойствах отношения эквивалентности (условия склейки). Например, состав

${\ displaystyle f_ {jk} \ circ f_ {ij} = f_ {ik}}$

для транзитивности (и выбор подходящей записи). Е _II должен быть тождественными и , следовательно , симметрия становится (так , чтобы она послойно изоморфизм). ${\ displaystyle f_ {ij} = f_ {ji} ^ {- 1}}$

Это действительно стандартные условия в теории расслоений (см. Карту переходов ). Одно важное применение, которое следует отметить, - это изменение волокна : если f _ij - это все, что вам нужно для создания связки, то есть много способов сделать связанную связку . То есть мы можем взять по существу одни и те же f _ij , действующие на разные волокна.

Другим важным моментом является связь с правилом цепочки : обсуждение способа построения тензорных полей можно резюмировать следующим образом: «как только вы научитесь спускаться по касательному пучку , для которого транзитивность является правилом цепочки Якоби , все остальное просто». естественность тензорных построений ».

Чтобы приблизиться к абстрактной теории, нам нужно интерпретировать несвязный союз

${\ displaystyle X_ {ij}}$

теперь как

${\ displaystyle Y \ times _ {X} Y,}$

изделие из волокнистого материала (здесь эквалайзер ) двух копий проекции р. Пучки на X _Ij , что мы должны контролировать это V 'и V », прообразы к волокну V через две различные проекции отображается на X .

Следовательно, переходя на более абстрактный уровень, можно устранить комбинаторную сторону (то есть исключить индексы) и получить что-то, что имеет смысл для p, а не той специальной формы покрытия, с которой мы начали. Это позволяет использовать теоретико-категориальный подход: остается только переформулировать условия склейки.

История

Идеи были развиты в период 1955–1965 гг. (Примерно в то время, когда требования алгебраической топологии удовлетворялись, а требования алгебраической геометрии - нет). С точки зрения абстрактной теории категорий работа комонад Бека была суммированием этих идей; см . теорему Бека об монадичности .

Острые трудности алгебраической геометрии с переходом к факторному. Актуальность ( выражаясь таким образом) проблемы для геометров объясняет название семинара Гротендика ( TDTE 1959 г.) по теоремам спуска и техники существования (см. FGA ), связавшего вопрос о происхождении с вопросом о представимых функторах в алгебраической геометрии в вообще, и проблема модулей в частности.

Полностью верный спуск

Пусть . Каждая связка F на X дает данные о спуске: ${\ displaystyle p: X '\ to X}$

${\ displaystyle (F '= p ^ {*} F, \ alpha: p_ {0} ^ {*} F' \ simeq p_ {1} ^ {*} F '), \, p_ {i}: X' '= X' \ times _ {X} X '\ to X'}$

где удовлетворяет условию коцикла: ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle p_ {02} ^ {*} \ alpha = p_ {12} ^ {*} \ alpha \ circ p_ {01} ^ {*} \ alpha, \, p_ {ij}: X '' \ times _ {X '} X' '\ times _ {X'} X '' \ to X '' \ times _ {X '} X' '}$.

Полностью верный спуск говорит: полностью верен. Теория спуска указывает условия, при которых существует полностью верный спуск. ${\ Displaystyle F \ mapsto (F ', \ альфа)}$

Смотрите также

• Связь Гротендика
• Стек (математика)
• Спуск Галуа
• Топология Гротендика
• Категория волокон
• Теорема Бека монадичности
• Когомологический спуск

использованная литература

• SGA 1 , Ch VIII - это основная ссылка
• Зигфрид Бош; Вернер Люткебохмерт; Мишель Рейно (1990). Модели Нерона . Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 21 . Springer-Verlag . ISBN 3540505873. Глава по теории спуска более доступна, чем SGA.
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные разделы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001 .

дальнейшее чтение

Другие возможные источники включают:

• Анджело Вистоли, Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска arXiv : math.AG/0412512
• Маттью Романьи, Прямой путь к алгебраическим стекам

внешние ссылки

• Что такое теория происхождения?