Закрытая моноидальная категория - Closed monoidal category

В математике , особенно в теории категорий , замкнутая моноидальная категория (или моноидальная замкнутая категория ) - это категория, которая одновременно является моноидальной категорией и замкнутой категорией таким образом, что структуры совместимы.

Классический примером является категорией множеств , Set , где моноидальное произведение множеств и является обычным декартовым произведением , а внутренние Хомы есть множество функций от до . Не- декартова примером является категория векторных пространств , К -Vect , над полем . Здесь моноидальный продукт обычное тензорное произведение из векторных пространств , а внутренние Хомы векторного пространства линейных отображений из одного векторного пространства в другой. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A \ times B}$ ${\ displaystyle B ^ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle K}$

Внутренний язык замкнутых симметричных моноидальных категорий линейная логика и типа система является линейной системой типа . Многие примеры замкнутых моноидальных категорий симметричны . Однако это не всегда так, поскольку несимметричные моноидальные категории можно встретить в теоретико-категориальных формулировках лингвистики ; грубо говоря, это потому, что порядок слов в естественном языке имеет значение.

Определение

Закрытая моноидальная категория является моноидальными категориями , такой , что для каждого объекта функтор задается правыми тензорным${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A \ mapsto A \ otimes B}$

имеет правое сопряжение , написано

${\ Displaystyle A \ mapsto (B \ Rightarrow A).}$

Это означает, что существует биекция, называемая каррированием , между Hom-множествами

${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ mathcal {C}} (A \ otimes B, C) \ cong {\ text {Hom}} _ {\ mathcal {C}} (A, B \ Rightarrow C )}$

Естественно , что в обоих A и C . В других, но общих обозначениях можно было бы сказать, что функтор

${\ displaystyle - \ otimes B: {\ mathcal {C}} \ to {\ mathcal {C}}}$

имеет право сопряженный

${\ displaystyle [B, -]: {\ mathcal {C}} \ to {\ mathcal {C}}}$

Эквивалентная закрытая моноидальная категория категория оборудована для каждых двух объектов A и B , с ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

• объект ,${\ Displaystyle A \ Rightarrow B}$
• морфизм ,${\ displaystyle \ mathrm {eval} _ {A, B} :( A \ Rightarrow B) \ otimes A \ to B}$

удовлетворяющее следующему универсальному свойству: для любого морфизма

${\ displaystyle f: X \ время от A \ до B}$

существует уникальный морфизм

${\ displaystyle h: X \ to A \ Rightarrow B}$

такой, что

${\ displaystyle f = \ mathrm {eval} _ {A, B} \ circ (h \ otimes \ mathrm {id} _ {A}).}$

Можно показать, что эта конструкция определяет функтор . Этот функтор называется внутренним функтором Hom , а объект называется внутренним Hom функции и . Многие другие обозначения обычно используются для внутреннего Hom. Когда тензорное произведение на является декартовым произведением, обычно используется обозначение, и этот объект называется экспоненциальным объектом . ${\ displaystyle \ Rightarrow: {\ mathcal {C}} ^ {op} \ times {\ mathcal {C}} \ to {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle A \ Rightarrow B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle B ^ {A}}$

Биклостные и симметричные категории

Строго говоря, мы определили правую замкнутую моноидальную категорию, поскольку мы требовали, чтобы правое тензорное сопротивление с любым объектом имело правое сопряжение. В левой закрытой моноидальной категории, вместо этого мы требуем , чтобы функтор левого тензорным с любым объектом${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle B \ mapsto A \ otimes B}$

иметь право сопрягать

${\ Displaystyle B \ mapsto (B \ Leftarrow A)}$

Biclosed моноидальной категория моноидальная категория , которая является одновременно слева и справа закрыто.

Симметричная моноидальная категория остается закрытым , если и только если оно верно закрыто. Таким образом, мы можем смело говорить о «симметричной моноидальной замкнутой категории», не уточняя, является ли она замкнутой вправо или влево. Фактически, то же самое в более общем смысле справедливо для моноидальных категорий с плетением: поскольку плетение естественным образом изоморфно , различие между тензорированием слева и натяжением справа становится несущественным, поэтому каждая правая замкнутая плетеная моноидальная категория становится закрытой слева в канонической Кстати, и наоборот. ${\ displaystyle A \ otimes B}$${\ displaystyle B \ otimes A}$

Мы описали замкнутые моноидальные категории как моноидальные категории с дополнительным свойством. Эквивалентно замкнутую моноидальную категорию можно определить как закрытую категорию с дополнительным свойством. А именно, мы можем потребовать существование тензорного произведения , который сопряжен слева к внутренним Hom функтора . В этом подходе замкнутые моноидальные категории также называют моноидальными замкнутыми категориями .

Примеры

• Каждая декартова замкнутая категория является симметричной моноидальной замкнутой категорией, когда моноидальная структура является декартовой структурой произведения. Внутренний функтор Hom задается экспоненциальным объектом . ${\ displaystyle B ^ {A}}$
  • В частности, категория множеств , набор , симметричная, закрытые моноидальные категории. Здесь внутренний Hom - это просто набор функций от до .${\ Displaystyle A \ Rightarrow B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$
• Категория модулей , R -Mod над коммутативным кольцом R не является декартовым, симметричной, моноидальной замкнутой категорией. Моноидальное произведение задается тензорным произведением модулей, а внутреннее Hom задается пространством R -линейных отображений с его естественной R -модульной структурой. ${\ Displaystyle M \ Rightarrow N}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N)}$
  • В частности, категория векторных пространств над полем является симметричной замкнутой моноидальной категорией.${\ displaystyle K}$
  • Абелевы группы можно рассматривать как Z -модули, поэтому категория абелевых групп также является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
• Компактная замкнутая категория является симметричной, моноидальной замкнутой категорией, в которой внутренние Хомах функтор задаются . Канонический пример - категория конечномерных векторных пространств FdVect .${\ Displaystyle A \ Rightarrow B}$${\ displaystyle A ^ {*} \ otimes B}$

Контрпримеры

• Категория колец является симметричной, моноидальной категорией под тензорным произведением колец , с выступающими в качестве единичного объекта. Эта категория не закрыта. Если бы это было, было бы ровно один гомоморфизм между любой парой колец: . То же самое справедливо и для категории R - алгебры над в коммутативном кольце R .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (R, S) \ cong \ operatorname {Hom} (\ mathbb {Z} \ otimes R, S) \ cong \ operatorname {Hom} (\ mathbb {Z}, R \ Rightarrow S ) \ cong \ {\ bullet \}}$

Смотрите также

• Сопряжение Исбелла

Ссылки

• Келли, GM «Основные концепции теории расширенных категорий» , Серия лекций Лондонского математического общества № 64 (CUP, 1982)
• Поль-Андре Мельес, "Категориальная семантика линейной логики" , Panoramas et Synthèses 27, Société Mathématique de France, 2009
• Замкнутая моноидальная категория в nLab