Формально реальное поле - Formally real field

В математике , в частности в теории поля и реальной алгебре , формально реальное поле - это поле, которое может быть оснащено (не обязательно уникальным) порядком, который делает его упорядоченным полем .

Альтернативные определения

Приведенное выше определение не является определением первого порядка , так как оно требует кванторов над множествами . Однако следующие критерии могут быть закодированы как (бесконечное число) первого порядка предложений на языке полей и эквивалентны приведенному выше определению.

Формально вещественное поле F - это поле, которое также удовлетворяет одному из следующих эквивалентных свойств:

• -1 не является суммой квадратов в F . Другими словами, Stufe из F бесконечна. (В частности, такое поле должно иметь характеристику 0, поскольку в поле характеристики p элемент -1 представляет собой сумму единиц.) Это может быть выражено в логике первого порядка с помощью , и т. Д., С одним предложением для каждого количество переменных.${\ Displaystyle \ forall x_ {1} (- 1 \ neq x_ {1} ^ {2})}$${\ displaystyle \ forall x_ {1} x_ {2} (- 1 \ neq x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2})}$
• Существует элемент F, который не является суммой квадратов в F , и характеристика F не равна 2.
• Если любая сумма квадратов элементов F равна нулю, то каждый из этих элементов должен быть равен нулю.

Легко видеть, что эти три свойства эквивалентны. Также легко видеть, что поле, допускающее упорядочение, должно удовлетворять этим трем свойствам.

Доказательство того, что если F удовлетворяет этим трем свойствам, то F допускает упорядочение, использует понятие преположительных конусов и положительных конусов. Пусть -1 не является суммой квадратов, то леммы Цорна рассуждение показывает , что препозиционный конус суммы квадратов может быть расширена до положительного конуса P ⊂ F . Один использует этот положительный конус , чтобы определить порядок: ≤ б тогда и только тогда , когда Ь  -  принадлежит P .

Реальные закрытые поля

Формально реальное поле без формально вещественного собственного алгебраического расширения является вещественным замкнутым полем . Если K формально реальный и Ω является алгебраически замкнутым полем , содержащим K , то есть реальный замкнутый подпол в Q , содержащий K . Настоящее замкнутое поле можно упорядочить уникальным образом, а неотрицательные элементы - это именно квадраты.

Ноты

Ссылки

• Милнор, Джон ; Хусемоллер, Дейл (1973). Симметричные билинейные формы . Springer. ISBN 3-540-06009-Х.
• Раджваде, АР (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. 171 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022 .