Раствор в радикалах - Solution in radicals

Решение в радикалах или алгебраическим решении является выражением замкнутой формы , а более конкретно замкнутой форма алгебраическим выражения , то есть раствор полиномиального уравнения , и опирается только на дополнении , вычитание , умножение , деление , возведение в целых степени, и извлечение корней n- й степени (квадратных корней, кубических корней и других целочисленных корней).

Известный пример - решение

из квадратного уравнения

Существуют более сложные алгебраические решения для кубических уравнений и уравнений четвертой степени . Теорема Абеля – Руффини и, в более общем смысле, теория Галуа , утверждают, что некоторые уравнения пятой степени , такие как

не имеют алгебраического решения. То же верно и для всех высших степеней. Однако для любой степени существуют полиномиальные уравнения, которые имеют алгебраические решения; например, уравнение может быть решено следующим образом . Восемь других решений являются невещественными комплексными числами , которые также являются алгебраическими и имеют форму, где r - корень пятой степени из единицы , который может быть выражен двумя вложенными квадратными корнями . См. Также функцию квинтики § Другие разрешимые квинтики для различных других примеров в степени 5.

Эварист Галуа ввел критерий, позволяющий решить, какие уравнения разрешимы в радикалах. См. В разделе « Радикальное расширение» точную формулировку его результата.

Алгебраические решения образуют подмножество выражений в замкнутой форме , поскольку последние допускают трансцендентные функции (неалгебраические функции), такие как экспоненциальная функция , логарифмическая функция , а также тригонометрические функции и их обратные.

Смотрите также

использованная литература