Оперативный расчет - Operational calculus

Операционное исчисление , также известное как операционный анализ , представляет собой метод, с помощью которого задачи анализа , в частности дифференциальные уравнения , преобразуются в алгебраические задачи, обычно в задачу решения полиномиального уравнения .

История

Идея представления процессов исчисления, дифференцирования и интегрирования в виде операторов имеет долгую историю, восходящую к Готфриду Вильгельму Лейбницу . Математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст был одним из первых, кто манипулировал этими символами независимо от функции, к которой они были применены.

Этот подход был развит Франсуа-Жозефом Сервуа, который разработал удобные обозначения. За Сервуа последовала школа британских и ирландских математиков, включая Чарльза Джеймса Харгрива , Джорджа Буля , Боунина, Кармайкла, Дукина, Грейвса, Мерфи, Уильяма Споттисвуда и Сильвестра.

Трактаты, описывающие применение операторных методов к обыкновенным и дифференциальным уравнениям в частных производных, были написаны Робертом Беллом Кармайклом в 1855 году и Булем в 1859 году.

Этот метод был полностью разработан физиком Оливером Хевисайдом в 1893 году в связи с его работой в телеграфии .

В значительной степени руководствуясь интуицией и своими обширными познаниями в области физики, лежащими в основе его исследований схем, [Хевисайд] разработал операционное исчисление, которое теперь приписывается его имени.

В то время методы Хевисайда не были строгими, и его работа не получила дальнейшего развития математиками. Операционное исчисление впервые нашло применение в задачах электротехники для расчета переходных процессов в линейных цепях после 1910 года под влиянием Эрнста Джулиуса Берга , Джона Реншоу Карсона и Ванневара Буша .

Строгое математическое обоснование операционных методов Хевисайда было получено только после работы Бромвича, который связал операционное исчисление с методами преобразования Лапласа (подробное изложение см. В книгах Джеффриса, Карслоу или Маклахлана). Другие способы обоснования операционных методов Хевисайда были введены в середине 1920-х годов с использованием методов интегральных уравнений (как это сделал Карсон) или преобразования Фурье (как это сделал Норберт Винер ).

Другой подход к операционному исчислению был разработан в 1930-х годах польским математиком Яном Микусиньским с использованием алгебраических рассуждений.

Норберт Винер заложил основы теории операторов в своем обзоре экзистенциального статуса операционного исчисления в 1926 году:

Блестящая работа Хевисайда является чисто эвристической, лишенной даже претензии на математическую строгость. Его операторы применяются к электрическим напряжениям и токам, которые могут быть прерывистыми и, конечно, не обязательно должны быть аналитическими. Например, любимый корпус vile, на котором он пробует свои операторы, - это функция, которая исчезает слева от начала координат и равна 1 справа. Это исключает прямое применение методов Пинчерле…

Хотя разработки Хевисайда не были оправданы нынешним состоянием чисто математической теории операторов, существует много того, что мы можем назвать экспериментальным доказательством их достоверности, и они очень ценны для инженеров-электриков . Однако бывают случаи, когда они приводят к неоднозначным или противоречивым результатам.

Принцип

Ключевым элементом операционного исчисления является рассмотрение дифференцирования как оператора p =d/д тдействуя на функции . Затем линейные дифференциальные уравнения можно преобразовать в форму «функций» $F (p)$ оператора p, действующего на неизвестную функцию, равную известной функции. Здесь $F$ определяет что-то, что принимает оператор p и возвращает другой оператор $F (p)$ . Затем решения получаются, если обратный оператор $F$ действует на известную функцию. Операционное исчисление обычно обозначается двумя символами: оператором p и единичной функцией 1 . Используемый оператор, вероятно, больше математический, чем физический, а функция единицы измерения больше физическая, чем математическая. Оператор p в исчислении Хевисайда изначально должен представлять дифференциатор времениd/д т. Кроме того, желательно, чтобы этот оператор имел взаимное отношение, такое, что p ^-1 обозначает операцию интегрирования.

В теории электрических цепей пытаются определить реакцию электрической цепи на импульс. В силу линейности достаточно рассматривать единичный шаг :

Шаговая функция Хевисайда :

H (t)

такая, что H ( t ) = 0, если t <0, и H ( t ) = 1, если t > 0.

Простейшим примером применения операционного исчисления является решение: $p y = H (t)$ , что дает

{\ displaystyle y = \ operatorname {p} ^ {- 1} H = \ int _ {0} ^ {t} H (u) \ operatorname {d} u = t \ H (t)}

.

Из этого примера видно, что представляет собой интеграцию . Кроме того, $n$ повторных интеграций представлены так, что ${\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- n},}$

{\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- n} H (t) = {\ frac {t ^ {n}} {n!}} H (t).}

Продолжая рассматривать p как переменную,

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {p}} {\ \ operatorname {p} -a \}} H (t) = {\ frac {1} {\ 1 - {\ frac {a} {\ operatorname { p}}} \}} \ H (t),}

который можно переписать, используя расширение геометрического ряда ,

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 - {\ frac {a} {\ operatorname {p}}}}} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n } \ operatorname {p} ^ {- n} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a ^ {n} t ^ {n}} {n!}} H (t) = e ^ {at} H (t)}

.

Используя разложение на частичную дробь , можно определить любую дробь в операторе p и вычислить ее действие на $H (t)$ . Более того, если функция 1 / F (p) имеет разложение в ряд вида

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ F (\ operatorname {p}) \}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ operatorname {p} ^ {- n} }

,

легко найти

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ F (\ operatorname {p}) \}} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} H (t)}

.

Применяя это правило, решение любого линейного дифференциального уравнения сводится к чисто алгебраической задаче.

Хевисайд пошел дальше и определил дробную степень p, тем самым установив связь между операционным исчислением и дробным исчислением .

Используя разложение Тейлора , можно также проверить формулу трансляции Лагранжа-Буля , $e a p f (t) = f (t + a)$ , поэтому операционное исчисление также применимо к конечно- разностным уравнениям и к задачам электротехники с запаздывающими сигналами. .

Внешние ссылки

IV ПРАВИЛА ЭКСПЛУАТАЦИИ Lindell HEAVISIDE, ПРИМЕНИМЫЕ К ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ЗАДАЧАМ
Расчет Рона Дёрфлера Хевисайда
Эссе Джека Креншоу, показывающее использование операторов Подробнее о Розеттском камне

Languages

In other projects

Оперативный расчет - Operational calculus

СОДЕРЖАНИЕ

История

Принцип

Рекомендации

Внешние ссылки