Автономная система (математика) - Autonomous system (mathematics)

Диаграмма устойчивости, классифицирующая отображения Пуанкаре линейной автономной системы как стабильные или неустойчивые в соответствии с их особенностями. Стабильность обычно увеличивается слева от диаграммы. Некоторые приемники, источники или узлы являются точками равновесия . ${\ displaystyle x '= Ax,}$

Двухмерный случай относится к фазовой плоскости .

В математике , автономная система или автономное дифференциальное уравнение представляет собой систему из обыкновенных дифференциальных уравнений , которые явно не зависит от независимой переменной . Когда переменной является время, их также называют системами, не зависящими от времени .

Многие законы физики , где независимой переменной обычно считается время , выражаются как автономные системы, потому что предполагается, что законы природы, действующие сейчас, идентичны законам для любой точки в прошлом или будущем.

Автономные системы тесно связаны с динамическими системами . Любая автономная система может быть преобразована в динамическую систему, и, используя очень слабые предположения, динамическая система может быть преобразована в автономную систему.

Определение

Автономная система представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {dt}} х (т) = е (х (т))}$

где x принимает значения в n -мерном евклидовом пространстве ; t часто интерпретируется как время.

Он отличается от систем дифференциальных уравнений вида

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {dt}} х (т) = г (х (т), т)}$

в котором закон, регулирующий эволюцию системы, зависит не только от текущего состояния системы, но и от параметра t , который также часто интерпретируется как время; такие системы по определению не являются автономными.

Характеристики

Решения инвариантны относительно горизонтальных перемещений:

Пусть - единственное решение начальной задачи для автономной системы ${\ Displaystyle x_ {1} (т)}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x (t) = f (x (t)) \ ,, \ quad x (0) = x_ {0}.}$

Затем решает ${\ Displaystyle х_ {2} (т) = х_ {1} (т-т_ {0})}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x (t) = f (x (t)) \ ,, \ quad x (t_ {0}) = x_ {0}.}$

Действительно, обозначая у нас и , таким образом, ${\ displaystyle s = t-t_ {0}}$${\ displaystyle x_ {1} (s) = x_ {2} (t)}$${\ displaystyle ds = dt}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x_ {2} (t) = {\ frac {d} {dt}} x_ {1} (t-t_ {0}) = {\ frac {d} {ds}} x_ {1} (s) = f (x_ {1} (s)) = f (x_ {2} (t)).}$

Для начального условия проверка тривиальна,

${\ displaystyle x_ {2} (t_ {0}) = x_ {1} (t_ {0} -t_ {0}) = x_ {1} (0) = x_ {0}.}$

Пример

Уравнение является автономным, поскольку независимая переменная, назовем ее , явно не фигурирует в уравнении. Чтобы построить поле уклона и изоклину для этого уравнения, можно использовать следующий код в GNU Octave / MATLAB${\ Displaystyle у '= \ влево (2-у \ вправо) у}$${\ displaystyle x}$

Ffun = @(X, Y)(2 - Y) .* Y; % function f(x,y)=(2-y)y
[X, Y] = meshgrid(0:.2:6, -1:.2:3); % choose the plot sizes
DY = Ffun(X, Y); DX = ones(size(DY)); % generate the plot values
quiver(X, Y, DX, DY, 'k'); % plot the direction field in black
hold on;
contour(X, Y, DY, [0 1 2], 'g'); % add the isoclines(0 1 2) in green
title('Slope field and isoclines for f(x,y)=(2-y)y')

Можно заметить из графика , что функция является инвариантно, так это форма решения, т.е. для любого сдвига . ${\ Displaystyle \ влево (2-у \ вправо) у}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle у (х) = у (х-х_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Символьное решение уравнения в MATLAB , запустив

syms y(x);
equation = (diff(y) == (2 - y) * y);
% solve the equation for a general solution symbolically
y_general = dsolve(equation);

получают два равновесных решений, и , и третий раствор с участием неизвестной константы , . ${\ displaystyle y = 0}$${\ displaystyle y = 2}$${\ displaystyle C_ {3}}$-2 / (exp(C3 - 2 * x) - 1)

Подбирая некоторые конкретные значения для начального условия , мы можем добавить график нескольких решений

Поле откосов с изоклинами и решениями

% solve the initial value problem symbolically
% for different initial conditions
y1 = dsolve(equation, y(1) == 1); y2 = dsolve(equation, y(2) == 1);
y3 = dsolve(equation, y(3) == 1); y4 = dsolve(equation, y(1) == 3);
y5 = dsolve(equation, y(2) == 3); y6 = dsolve(equation, y(3) == 3);
% plot the solutions
ezplot(y1, [0 6]); ezplot(y2, [0 6]); ezplot(y3, [0 6]);
ezplot(y4, [0 6]); ezplot(y5, [0 6]); ezplot(y6, [0 6]);
title('Slope field, isoclines and solutions for f(x,y)=(2-y)y')
legend('Slope field', 'Isoclines', 'Solutions y_{1..6}');
text([1 2 3], [1 1 1], strcat('\leftarrow', {'y_1', 'y_2', 'y_3'}));
text([1 2 3], [3 3 3], strcat('\leftarrow', {'y_4', 'y_5', 'y_6'}));
grid on;

Качественный анализ

Автономные системы можно анализировать качественно, используя фазовое пространство ; в случае одной переменной это фазовая линия .

Методы решения

Следующие методы применяются к одномерным автономным дифференциальным уравнениям. Любое одномерное уравнение порядка эквивалентно -мерной системе первого порядка (как описано в приведении к системе первого порядка ), но не обязательно наоборот. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Первый заказ

Автономное уравнение первого порядка

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = f (x)}$

как разъемные , так что он может быть легко решена путем перестановки его в интегральной форме

${\ Displaystyle т + С = \ int {\ гидроразрыва {dx} {е (х)}}}$

Второго порядка

Автономное уравнение второго порядка

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = f (x, x ')}$

сложнее, но ее можно решить, введя новую переменную

${\ displaystyle v = {\ frac {dx} {dt}}}$

и выражая вторую производную от через правило цепи , как ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = {\ frac {dv} {dt}} = {\ frac {dx} {dt}} {\ frac {dv} {dx}} = v {\ frac {dv} {dx}}}$

так что исходное уравнение становится

${\ displaystyle v {\ frac {dv} {dx}} = f (x, v)}$

которое является уравнением первого порядка, не содержащим ссылки на независимую переменную . Решение предоставляет как функцию от . Затем, вспоминая определение : ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {dx} {dt}} = v (x) \ quad \ Rightarrow \ quad t + C = \ int {\ frac {dx} {v (x)}}}$

что является неявным решением.

Частный случай: x '' = f ( x )

Частный случай, когда не зависит от ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x '}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = f (x)}$

выгоды от раздельного лечения. Эти типы уравнений очень распространены в классической механике, потому что они всегда являются гамильтоновыми системами .

Идея состоит в том, чтобы использовать идентичность

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 1}}$

которое следует из цепного правила , исключающего любые проблемы, связанные с делением на ноль .

Инвертируя обе стороны автономной системы первого порядка, можно немедленно интегрировать в отношении : ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = f (x) \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {dt} {dx}} = {\ frac {1} {f (x)}} \ quad \ Rightarrow \ quad t + C = \ int {\ frac {dx} {f (x)}}}$

это еще один способ взглянуть на технику разделения переменных. Можем ли мы сделать что-то подобное с уравнениями более высокого порядка? Ответ положительный для уравнений второго порядка, но есть над чем поработать. Вторая производная должна быть выражена как производная по отношению, а не по : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} & = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {dx} { dt}} \ right) = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) {\ frac {dx} {dt}} \\ [4pt] & = {\ frac {d} {dx}} \ left (\ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 1} \ right) \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 1} \\ [4pt] & = - \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 2} {\ frac {d ^ {2} t} {dx ^ {2}}} \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 1} = - \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 3} {\ frac {d ^ {2} t} {dx ^ {2}}} \\ [4pt] & = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 2} \ right) \ end {align}}}$

Еще раз подчеркнем: что было достигнуто, так это то, что вторая производная по отношению к была выражена как производная от . Исходное уравнение второго порядка теперь можно интегрировать: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} & = f (x) \\ {\ frac {d} {dx}} \ left ({ \ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 2} \ right) & = f (x) \\\ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 2} & = 2 \ int f (x) dx + C_ {1} \\ {\ frac {dt} {dx}} & = \ pm {\ frac {1} { \ sqrt {2 \ int f (x) dx + C_ {1}}}} \\ t + C_ {2} & = \ pm \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {2 \ int f (x) dx + C_ {1}}}} \ end {align}}}$

Это неявное решение. Самая большая потенциальная проблема - это невозможность упростить интегралы, что подразумевает трудность или невозможность вычисления констант интегрирования.

Частный случай: x '' = x ' ⁿ f ( x )

Используя описанный выше подход, мы можем распространить эту технику на более общее уравнение

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = \ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {n} f (x)}$

где - некоторый параметр, не равный двум. Это будет работать, поскольку вторая производная может быть записана в форме, включающей степень . Переписываем вторую производную, переставляем и выражаем левую часть как производную: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x '}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & - \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 3} {\ frac {d ^ {2} t} {dx ^ {2}} } = \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- n} f (x) \\ [4pt] & - \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {n-3} {\ frac {d ^ {2} t} {dx ^ {2}}} = f (x) \\ [4pt] & {\ frac {d} {dx}} \ left ({ \ frac {1} {2-n}} \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {n-2} \ right) = f (x) \\ [4pt] & \ left ( {\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {n-2} = (2-n) \ int f (x) dx + C_ {1} \\ [2pt] & t + C_ {2} = \ int \ left ((2-n) \ int f (x) dx + C_ {1} \ right) ^ {\ frac {1} {n-2}} dx \ end {выровнено}}}$

Право будет носить +/−, если будет четно. Лечение должно быть другим, если : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2}$

${\ displaystyle {\ begin {align} - \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 1} {\ frac {d ^ {2} t} {dx ^ {2}}} & = f (x) \\ - {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) \ right) & = f (x) \ \ {\ frac {dt} {dx}} & = C_ {1} e ^ {- \ int f (x) dx} \\ t + C_ {2} & = C_ {1} \ int e ^ {- \ int f (x) dx} dx \ end {выровненный}}}$

Высшие порядки

Аналогичного метода решения автономных уравнений третьего и более высокого порядка не существует. Такие уравнения могут быть решены точно только в том случае, если они обладают каким-либо другим упрощающим свойством, например линейностью или зависимостью правой части уравнения только от зависимой переменной (т. Е. Не от ее производных). Это не должно быть удивительно, учитывая , что нелинейные автономные системы в трех измерениях могут производить действительно хаотическое поведение , такие как аттрактор Лоренца и аттрактор Рёсслер .

При таком менталитете также неудивительно, что общие неавтономные уравнения второго порядка не могут быть решены явно, поскольку они также могут быть хаотичными (примером этого является периодически принудительный маятник).

Многомерный случай

Теперь у нас есть , где есть мерный вектор столбец зависит . ${\ Displaystyle \ mathbf {x} '(t) = A \ mathbf {x} (t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {х} (т)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle t}$

Решение: где - постоянный вектор. ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = e ^ {At} \ mathbf {c}}$${\ displaystyle \ mathbf {c}}$${\ Displaystyle п \ раз 1}$

Смотрите также

• Инвариантная во времени система
• Неавтономная система (математика)

использованная литература