Задача начального значения - Initial value problem

В многофакторном исчислении , начальная задача ( ИВП ) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение вместе с начальным условием , которое определяет значение неизвестной функции в заданной точке в домене . Моделирование системы в физике или других науках часто сводится к решению проблемы начального значения. В этом контексте дифференциальное начальное значение - это уравнение, которое определяет, как система развивается с течением времени с учетом начальных условий проблемы.

Определение

Начальная задача является дифференциальным уравнением

с , где есть открытое множество ,

вместе с точкой в ​​области

называется начальным условием .

Решением для начальной задачи является функцией , которая является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет

В более высоких измерениях дифференциальное уравнение заменяется семейством уравнений и рассматривается как вектор , чаще всего связанный с положением в пространстве. В более общем смысле неизвестная функция может принимать значения в бесконечномерных пространствах, таких как банаховы пространства или пространства распределений .

Задачи начального значения расширяются до более высоких порядков, обрабатывая производные таким же образом как независимую функцию, например .

Существование и уникальность решений

Теорема Пикара – Линделёфа гарантирует единственное решение на некотором интервале, содержащем t 0, если f непрерывна на области, содержащей t 0 и y 0, и удовлетворяет условию Липшица для переменной y . Доказательство этой теоремы проводится путем переформулирования задачи в виде эквивалентного интегрального уравнения . Интеграл можно рассматривать как оператор, который отображает одну функцию в другую, так что решение является фиксированной точкой оператора. Фиксированная точка Банаха Затем вызывается , чтобы показать , что существует единственное неподвижную точку, которая является решением начальной задачи.

Более старое доказательство теоремы Пикара – Линделёфа строит последовательность функций, которые сходятся к решению интегрального уравнения и, таким образом, к решению задачи начального значения. Такую конструкцию иногда называют «методом Пикара» или «методом последовательных приближений». Эта версия по сути является частным случаем теоремы Банаха о неподвижной точке.

Хироши Окамура получил необходимое и достаточное условие единственности решения начальной задачи. Это условие связано с существованием у системы функции Ляпунова .

В некоторых ситуациях функция f не принадлежит классу C 1 или даже не липшицевой , поэтому обычный результат, гарантирующий локальное существование единственного решения, неприменим. Однако теорема существования Пеано доказывает, что даже для простого непрерывного f решения гарантированно существуют локально во времени; проблема в том, что нет гарантии уникальности. Результат можно найти у Коддингтона и Левинсона (1955, теорема 1.3) или Робинсона (2001, теорема 2.6). Еще более общий результат - теорема существования Каратеодори , доказывающая существование некоторых разрывных функций f .

Примеры

Простой пример - решить и . Мы пытаемся найти формулу , удовлетворяющую этим двум уравнениям.

Переставьте уравнение так, чтобы оно было слева.

Теперь проинтегрируем обе части по (это вводит неизвестную константу ).

Устранить логарифм с возведением в степень с обеих сторон

Позвольте быть новой неизвестной постоянной , так что

Теперь нам нужно найти значение для . Используйте, как указано в начале, и замените 0 на и 19 на

это дает окончательное решение .

Второй пример

Решение

можно найти

Действительно,

Примечания

Смотрите также

использованная литература

  • Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк-Торонто-Лондон: McGraw-Hill Book Company, Inc.
  • Хирш, Моррис В. и Смейл, Стивен (1974). Дифференциальные уравнения, динамические системы и линейная алгебра . Нью-Йорк-Лондон: Academic Press.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  • Окамура, Хироси (1942). "Условие nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano". Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. А. (на французском). 24 : 21–28. Руководство по ремонту  0031614 .
  • Agarwal, Ravi P .; Лакшмикантам В. (1993). Критерии единственности и неединственности обыкновенных дифференциальных уравнений . Серия в реальном анализе. 6 . World Scientific. ISBN 978-981-02-1357-2.
  • Полянин, Андрей Д .; Зайцев, Валентин Ф. (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC. ISBN 1-58488-297-2.
  • Робинсон, Джеймс С. (2001). Бесконечномерные динамические системы: введение в диссипативные параболические уравнения в частных производных и теорию глобальных аттракторов . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-63204-8.