Гамильтонова система - Hamiltonian system

Гамильтонова система является динамическая система определяется уравнениями Гамильтона . В физике эта динамическая система описывает эволюцию физической системы, такой как планетная система или электрон в электромагнитном поле . Эти системы можно изучать как в гамильтоновой механике, так и в теории динамических систем .

Обзор

Неформально гамильтонова система - это математический аппарат, разработанный Гамильтоном для описания уравнений эволюции физической системы. Преимущество этого описания состоит в том, что оно дает важное представление о динамике, даже если проблема начального значения не может быть решена аналитически. Одним из примеров является планетное движение трех тел: даже если нет простого решения общей проблемы, Пуанкаре впервые показал, что оно демонстрирует детерминированный хаос .

Формально гамильтонова система - это динамическая система, полностью описываемая скалярной функцией , гамильтонианом. Состояние системы, , описываются обобщенные координаты «импульс» и «положение» , где оба и являются векторами с теми же размерностями  N . Итак, система полностью описывается 2 N -мерным вектором

а уравнение эволюции задается уравнениями Гамильтона:

Траектория - это решение начальной задачи, определяемой уравнениями Гамильтона и начальным условием .

Независимая от времени гамильтонова система

Если гамильтониан явно не зависит от времени, т. Е. Если , то гамильтониан вообще не меняется со временем:

происхождение

и, таким образом, гамильтониан - это постоянная движения , постоянная которой равна полной энергии системы . Примерами таких систем являются маятник , гармонический осциллятор или динамический бильярд .

пример

Одним из примеров не зависящей от времени гамильтоновой системы является гармонический осциллятор. Рассмотрим систему, определяемую координатами и гамильтониан которой задается формулой

Гамильтониан этой системы не зависит от времени, и, следовательно, энергия системы сохраняется.

Симплектическая структура

Одним из важных свойств гамильтоновой динамической системы является то, что она имеет симплектическую структуру . Письмо

уравнение эволюции динамической системы можно записать как

где

и я Н N × N единичная матрица .

Одним из важных следствий этого свойства является сохранение бесконечно малого объема фазового пространства. Следствием этого является теорема Лиувилля , которая утверждает, что в гамильтоновой системе объем фазового пространства замкнутой поверхности сохраняется при временной эволюции.

где третье равенство следует из теоремы о расходимости .

Примеры

Смотрите также

Ссылки

дальнейшее чтение

  • Алмейда, AM (1992). Гамильтоновы системы: хаос и квантование . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж (укр .: Cambridge Univ. Press )
  • Аудин, М. (2008). Гамильтоновы системы и их интегрируемость . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-4413-7
  • Дики, Лос-Анджелес (2003). Солитонные уравнения и гамильтоновы системы . Продвинутая серия по математической физике, т. 26. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific .
  • Трещев Д., Зубелевич О. (2010). Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем . Гейдельберг: Springer
  • Заславский, GM (2007). Физика хаоса в гамильтоновых системах . Лондон: Imperial College Press .

внешние ссылки