Связка спиноров - Spinor bundle

В дифференциальной геометрии , учитывая спинорную структуру на -мерном ориентируемом римановом многообразии, можно определить спинорное расслоение как комплексное векторное расслоение, ассоциированное с соответствующим главным расслоением спиновых систем отсчета над и спинорным представлением его структурной группы в пространстве спиноров . ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle (М, г), \,}$ ${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {S}} \ двоеточие {\ mathbf {S}} \ to M \,}$ ${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {P}} \ двоеточие {\ mathbf {P}} \ to M \,}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle {\ mathrm {Spin}} (п) \,}$ ${\ Displaystyle \ Delta _ {п}. \,}$

Участок спинорного пучка называется спинорным полем . ${\ Displaystyle {\ mathbf {S}} \,}$

Формальное определение

Пусть быть спиновой структура на риманов многообразия , что есть, эквивариантный подъем ориентированных ортонормированного расслоения реперов относительно двойного покрытия из специальной ортогональной группы по спиновой группе . ${\ displaystyle ({\ mathbf {P}}, F _ {\ mathbf {P}})}$ ${\ Displaystyle (М, г), \,}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ to M}$ ${\ displaystyle \ rho \ двоеточие {\ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {SO}} (n)}$

Спинорное расслоение определяется быть комплексным векторным расслоением ${\ Displaystyle {\ mathbf {S}} \,}$

{\ displaystyle {\ mathbf {S}} = {\ mathbf {P}} \ times _ {\ kappa} \ Delta _ {n} \,}

связанный с спиновой структурой с помощью спинового представления , где обозначает группу из унитарных операторов , действующих на гильбертовом пространстве Стоит отметить , что спин представление является верным и унитарным представлением группы . ${\ displaystyle {\ mathbf {P}}}$ ${\ Displaystyle \ каппа \ двоеточие {\ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {U}} (\ Delta _ {n}), \,}$ ${\ Displaystyle {\ mathrm {U}} ({\ mathbf {W}}) \,}$ ${\ Displaystyle {\ mathbf {W}}. \,}$ ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle {\ mathrm {Spin}} (п)}$