Группа автоморфизмов - Automorphism group
В математике , то группа автоморфизмов из объекта X представляет собой группу , состоящую из автоморфизмов из X . Например, если Х представляет собой конечномерное векторное пространство , то группа автоморфизмов X представляет собой группу обратимых линейных преобразований из X в него ( линейная группа из X ). Если вместо X представляет собой группу, то ее группа автоморфизмов является группа , состоящая из всех групп автоморфизмов из X .
Особенно в геометрическом контексте группу автоморфизмов также называют группой симметрии . Подгруппу группы автоморфизмов иногда называют группой преобразований .
Группы автоморфизмов изучаются в общих чертах в области теории категорий .
Примеры
Если Х представляет собой набор без дополнительной структуры, то любая биекция из X к себе автоморфизм, и , следовательно , группа автоморфизмов X в этом случае является именно симметрической группой из X . Если множество X имеет дополнительную структуру, то это может быть так , что не все биекциями на множестве сохранить эту структуру, и в этом случае группа автоморфизмов будет подгруппой симметрической группы X . Вот некоторые примеры этого:
- Группа автоморфизмов расширения поля является группа , состоящая из полевых автоморфизмов L , которые фиксируют K . Если расширение поля Галуа , группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения поля.
- Группа автоморфизмов проективного n -пространства над полем k - это проективная линейная группа
- Группа автоморфизмов конечной циклической группы из порядка п является изоморфной , чтобы с изоморфизмом заданным . В частности, является абелевой группой .
- Группа автоморфизмов конечномерной вещественной алгебры Ли имеет структуру (действительной) группы Ли (фактически, это даже линейная алгебраическая группа : см. Ниже ). Если G - группа Ли с алгеброй Ли , то группа автоморфизмов группы G имеет структуру группы Ли, индуцированной из группы Ли на группе автоморфизмов .
Если G является группой действующих на множестве X , то действие сводится к групповой гомоморфизм из G в группу автоморфизмов из X сводится к действию группы на X . В самом деле, каждое левое G- действие на множестве X определяет , и, наоборот, каждый гомоморфизм определяет действие по . Это распространяется на случай, когда множество X имеет больше структуры, чем просто набор. Например, если X - векторное пространство, то групповое действие G на X - это групповое представление группы G , представляющее G как группу линейных преобразований (автоморфизмов) X ; эти представления являются основным объектом изучения в области теории представлений .
Вот еще несколько фактов о группах автоморфизмов:
- Позвольте быть два конечных множества одной и той же мощности и множество всех биекций . Тогда , которая является симметричной группой (см. Выше), действует слева свободно и транзитивно ; другими словами, это торсор для (см. # В теории категорий ).
- Пусть Р будет конечно порожденный проективный модуль над кольцом R . Тогда существует вложение , единственное с точностью до внутренних автоморфизмов .
В теории категорий
Группы автоморфизмов очень естественно появляются в теории категорий .
Если X - объект в категории, то группа автоморфизмов X - это группа, состоящая из всех обратимых морфизмов из X в себя. Это единичная группа из эндоморфизма моноида из X . (Для некоторых примеров см. PROP .)
Если объекты в том или иной категории, то множество все есть левый - торсер . На практике это говорит о том, что другой выбор базовой точки однозначно отличается на элемент или что каждый выбор базовой точки является в точности выбором тривиализации торсора.
Если и являются объектами в категориях и , а если является функтором, отображающим в , то индуцирует гомоморфизм групп , поскольку он отображает обратимые морфизмы в обратимые морфизмы.
В частности, если G - группа, рассматриваемая как категория с одним объектом * или, в более общем смысле, если G - группоид, то каждый функтор , C категория, называется действием или представлением G на объекте , или объекты . Затем эти объекты называются -объектами (поскольку они действуют ); ср. -объект . Если это категория модулей, такая как категория конечномерных векторных пространств, то -объекты также называются -модулями.
Функтор группы автоморфизмов
Пусть - конечномерное векторное пространство над полем k , наделенное некоторой алгебраической структурой (то есть M - конечномерная алгебра над k ). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или алгебра Ли .
Рассмотрим теперь K - линейные карты , которые сохраняют алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство в . Группа единиц является группой автоморфизмов . Когда выбирается базис на M , это пространство квадратных матриц и нулевой набор некоторых полиномиальных уравнений , и обратимость снова описывается полиномами. Следовательно, является линейной алгебраической группой над k .
Теперь базовые расширения, примененные к вышеизложенному обсуждению, определяют функтор: а именно, для каждого коммутативного кольца R над k рассмотрим R- линейные отображения, сохраняющие алгебраическую структуру: обозначим его через . Тогда группа единиц кольца матриц над R является группой автоморфизмов и является групповым функтором : функтором из категории коммутативных колец над k в категорию групп . Более того, она представлена схемой (поскольку группы автоморфизмов определяются многочленами): эта схема называется схемой группы автоморфизмов и обозначается .
Однако в общем случае функтор группы автоморфизмов не может быть представлен схемой.
Смотрите также
- Группа внешних автоморфизмов
- Структура уровней , техника удаления группы автоморфизмов
- Группа голономии
Примечания
Цитаты
использованная литература
- Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли . ISBN 978-0-471-43334-7.
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию . Анналы математических исследований. 72 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691081014. Руководство по ремонту 0349811 . Zbl 0237.18005 .
- Уотерхаус, Уильям К. (2012) [1979]. Введение в схемы аффинных групп . Тексты для выпускников по математике. 66 . Springer Verlag. ISBN 9781461262176.