Группа автоморфизмов - Automorphism group

В математике , то группа автоморфизмов из объекта X представляет собой группу , состоящую из автоморфизмов из X . Например, если Х представляет собой конечномерное векторное пространство , то группа автоморфизмов X представляет собой группу обратимых линейных преобразований из X в него ( линейная группа из X ). Если вместо X представляет собой группу, то ее группа автоморфизмов является группа , состоящая из всех групп автоморфизмов из X .

Особенно в геометрическом контексте группу автоморфизмов также называют группой симметрии . Подгруппу группы автоморфизмов иногда называют группой преобразований .

Группы автоморфизмов изучаются в общих чертах в области теории категорий .

Примеры

Если Х представляет собой набор без дополнительной структуры, то любая биекция из X к себе автоморфизм, и , следовательно , группа автоморфизмов X в этом случае является именно симметрической группой из X . Если множество X имеет дополнительную структуру, то это может быть так , что не все биекциями на множестве сохранить эту структуру, и в этом случае группа автоморфизмов будет подгруппой симметрической группы X . Вот некоторые примеры этого:

  • Группа автоморфизмов расширения поля является группа , состоящая из полевых автоморфизмов L , которые фиксируют K . Если расширение поля Галуа , группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения поля.
  • Группа автоморфизмов проективного n -пространства над полем k - это проективная линейная группа
  • Группа автоморфизмов конечной циклической группы из порядка п является изоморфной , чтобы с изоморфизмом заданным . В частности, является абелевой группой .
  • Группа автоморфизмов конечномерной вещественной алгебры Ли имеет структуру (действительной) группы Ли (фактически, это даже линейная алгебраическая группа : см. Ниже ). Если G - группа Ли с алгеброй Ли , то группа автоморфизмов группы G имеет структуру группы Ли, индуцированной из группы Ли на группе автоморфизмов .

Если G является группой действующих на множестве X , то действие сводится к групповой гомоморфизм из G в группу автоморфизмов из X сводится к действию группы на X . В самом деле, каждое левое G- действие на множестве X определяет , и, наоборот, каждый гомоморфизм определяет действие по . Это распространяется на случай, когда множество X имеет больше структуры, чем просто набор. Например, если X - векторное пространство, то групповое действие G на X - это групповое представление группы G , представляющее G как группу линейных преобразований (автоморфизмов) X ; эти представления являются основным объектом изучения в области теории представлений .

Вот еще несколько фактов о группах автоморфизмов:

В теории категорий

Группы автоморфизмов очень естественно появляются в теории категорий .

Если X - объект в категории, то группа автоморфизмов X - это группа, состоящая из всех обратимых морфизмов из X в себя. Это единичная группа из эндоморфизма моноида из X . (Для некоторых примеров см. PROP .)

Если объекты в том или иной категории, то множество все есть левый - торсер . На практике это говорит о том, что другой выбор базовой точки однозначно отличается на элемент или что каждый выбор базовой точки является в точности выбором тривиализации торсора.

Если и являются объектами в категориях и , а если является функтором, отображающим в , то индуцирует гомоморфизм групп , поскольку он отображает обратимые морфизмы в обратимые морфизмы.

В частности, если G - группа, рассматриваемая как категория с одним объектом * или, в более общем смысле, если G - группоид, то каждый функтор , C категория, называется действием или представлением G на объекте , или объекты . Затем эти объекты называются -объектами (поскольку они действуют ); ср. -объект . Если это категория модулей, такая как категория конечномерных векторных пространств, то -объекты также называются -модулями.

Функтор группы автоморфизмов

Пусть - конечномерное векторное пространство над полем k , наделенное некоторой алгебраической структурой (то есть M - конечномерная алгебра над k ). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или алгебра Ли .

Рассмотрим теперь K - линейные карты , которые сохраняют алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство в . Группа единиц является группой автоморфизмов . Когда выбирается базис на M , это пространство квадратных матриц и нулевой набор некоторых полиномиальных уравнений , и обратимость снова описывается полиномами. Следовательно, является линейной алгебраической группой над k .

Теперь базовые расширения, примененные к вышеизложенному обсуждению, определяют функтор: а именно, для каждого коммутативного кольца R над k рассмотрим R- линейные отображения, сохраняющие алгебраическую структуру: обозначим его через . Тогда группа единиц кольца матриц над R является группой автоморфизмов и является групповым функтором : функтором из категории коммутативных колец над k в категорию групп . Более того, она представлена ​​схемой (поскольку группы автоморфизмов определяются многочленами): эта схема называется схемой группы автоморфизмов и обозначается .

Однако в общем случае функтор группы автоморфизмов не может быть представлен схемой.

Смотрите также

Примечания

Цитаты

использованная литература

внешние ссылки