Семимартингейл - Semimartingale

В теории вероятностей вещественнозначный случайный процесс X называется семимартингалом, если он может быть разложен на сумму локального мартингала и адаптированного процесса конечной вариации. Семимартингалы «хорошие интеграторы», образующие самый большой класс процессов , по отношению к которой интеграл Ито и интеграл Стратоновича может быть определена.

Класс семимартингалов довольно велик (включая, например, все непрерывно дифференцируемые процессы, броуновское движение и пуассоновские процессы ). Субмартингалы и супермартингалы вместе представляют собой подмножество семимартингалов.

Определение

Вещественный процесс X, определенный на фильтрованном вероятностном пространстве (Ω, F , ( F _t ) _{t  ≥ 0} , P), называется семимартингалом, если его можно разложить как

${\ Displaystyle X_ {t} = M_ {t} + A_ {t}}$

где M - локальный мартингал, а A - адаптированный к кадлагу процесс локально ограниченной вариации .

R ^п - значный процесс Х = ( Х ¹ , ..., Х ^п ) является семимартингалом , если каждый из его компонентов X ^я являюсь семимартингалом.

Альтернативное определение

Во- первых, простые предсказуемые процессы определяются как линейные комбинации процессов вида Н _т = А 1 _{{ т > Т }} для моментов остановки Т и Р _Т -измеримые случайных величин А . Интеграл H · X для любого такого простого предсказуемого процесса H и вещественнозначного процесса X равен

${\ Displaystyle H \ cdot X_ {t} \ Equiv 1 _ {\ {t> T \}} A (X_ {t} -X_ {T}).}$

Это распространяется на все простые предсказуемые процессы в силе линейности Н · X в Н .

Вещественнозначный процесс X является семимартингалом, если он càdlàg адаптирован и для любого t ≥ 0

${\ displaystyle \ left \ {H \ cdot X_ {t}: H {\ rm {\ is \ simple \ predable \ and \}} | H | \ leq 1 \ right \}}$

ограничена по вероятности. Теорема Бихтелера-Деллахери утверждает, что эти два определения эквивалентны ( Protter 2004 , p. 144).

Примеры

• Адаптированные и непрерывно дифференцируемые процессы являются процессами с конечными вариациями и, следовательно, являются семимартингалами.
• Броуновское движение - это семимартингал.
• Все càdlàg мартингалов , субмартингалы и супермартингалы являются семимартингалами.
• Itō-процессы , удовлетворяющие стохастическому дифференциальному уравнению вида dX = σdW + μdt, являются семимартингалами. Здесь W - броуновское движение, а σ, μ - адаптированные процессы.
• Каждый процесс Леви является семимартингалом.

Хотя большинство непрерывных и адаптированных процессов, изучаемых в литературе, являются семимартингалами, это не всегда так.

• Дробное броуновское движение с параметром Херста H ≠ 1/2 не является семимартингалом.

Свойства

• Семимартингалы составляют самый большой класс процессов, для которых можно определить интеграл Ито .
• Линейные комбинации семимартингалов - это семимартингалы.
• Произведения семимартингалов являются семимартингалами, что является следствием формулы интегрирования по частям для интеграла Itō .
• Квадратичная вариация существует для каждого семимартингала.
• Класс семимартингалов закрыт под произвольную остановку , локализацию , изменение времени и абсолютно непрерывное изменение меры .
• Если X - семимартингал со значениями R ^m и f - дважды непрерывно дифференцируемая функция из R ^m в R ⁿ , то f ( X ) - семимартингал. Это следствие леммы Ито .
• Свойство быть семимартингалом сохраняется при уменьшении фильтрации. Точнее, если X является семимартингалом относительно фильтрации F _t и адаптирован относительно подфильтрации G _t , то X является G _t -семимартингалом.
• (Счетное расширение Жакода) Свойство быть семимартингалом сохраняется при расширении фильтрации счетным множеством непересекающихся множеств. Предположим, что F _t - фильтрация, а G _t - фильтрация, порожденная F _t и счетным множеством непересекающихся измеримых множеств. Тогда каждый F _t -семимартингал также является G _t -семимартингалом. ( Проттер 2004 , стр. 53)

Семимартингальные разложения

По определению каждый семимартингал представляет собой сумму локального мартингала и процесса конечной вариации. Однако это разложение не уникально.

Непрерывные семимартингалы

Непрерывный семимартингал однозначно распадается как X = M + A, где M - непрерывный локальный мартингал, а A - непрерывный процесс конечной вариации, начинающийся с нуля. ( Роджерс и Уильямс, 1987 , стр. 358).

Например, если X - процесс Itō, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению d X _t = σ _t d W _t + b _t dt, то

${\ displaystyle M_ {t} = X_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma _ {s} \, dW_ {s}, \ A_ {t} = \ int _ {0} ^ { t} b_ {s} \, ds.}$

Специальные семимартингалы

Специальный семимартингал - это вещественнозначный процесс X с разложением X = M + A , где M - локальный мартингал, а A - предсказуемый процесс конечной вариации, начинающийся с нуля. Если это разложение существует, то оно уникально с точностью до множества P-null.

Каждый специальный семимартингал является семимартингалом. Наоборот, семимартингал является специальным семимартингалом тогда и только тогда, когда процесс X _t ^*  ≡ sup _{s  ≤  t}  | X _s | является локально интегрируемой ( Проттера 2004 , стр. 130).

Например, каждый непрерывный семимартингал является специальным семимартингалом, и в этом случае M и A являются непрерывными процессами.

Чисто разрывные семимартингалы

Семимартингал называется чисто разрывным, если его квадратичная вариация [ X ] является чисто скачкообразным процессом,

${\ displaystyle [X] _ {t} = \ sum _ {s \ leq t} \ Delta X_ {s} ^ {2}}$.

Любой адаптированный процесс конечной вариации является чисто разрывным семимартингалом. Непрерывный процесс является чисто разрывным семимартингалом тогда и только тогда, когда он является адаптированным процессом конечных вариаций.

Тогда каждый семимартингал имеет единственное разложение X = M + A, где M - непрерывный локальный мартингал, а A - чисто разрывный семимартингал, начинающийся с нуля. Локальный мартингал M - M ₀ называется непрерывной мартингальной частью X и записывается как X ^c ( He, Wang & Yan 1992 , p. 209; Kallenberg 2002 , p. 527).

В частности, если X непрерывно, то M и A непрерывны.

Семимартингалы на многообразии

Понятие семимартингалов и связанная с ним теория стохастического исчисления распространяется на процессы, принимающие значения в дифференцируемом многообразии . Процесс X на многообразии М является семимартингалом , если F ( X ) является семимартингалом для каждой гладкой функции F от M до R . ( Rogers 1987 , стр. 24) Стохастическое исчисление семимартингалов на общих многообразиях требует использования интеграла Стратоновича . ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFRogers1987 ( справка )

Смотрите также

• Сигма-мартингейл

Ссылки

• Он, Шэн-ву; Ван, Цзя-ган; Ян, Цзя- ань (1992), Теория семимартингалов и стохастическое исчисление , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 0-8493-7715-3
• Калленберг, Олав (2002), Основы современной вероятности (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-95313-2
• Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
• Роджерс, LCG; Уильямс, Дэвид (1987), диффузии, марковские процессы и мартингалы , 2 , John Wiley & Sons Ltd, ISBN 0-471-91482-7
• Karandikar, Rajeeva L .; Рао, Б.В. (2018), Введение в стохастическое исчисление , Springer Ltd, ISBN 978-981-10-8317-4