Этальная фундаментальная группа - Étale fundamental group

Этальна или алгебраическая фундаментальная группа является аналогом в алгебраической геометрии , для схем , обычной фундаментальной группы из топологических пространств .

Топологический аналог / неформальное обсуждение

В алгебраической топологии фундаментальная группа π ₁ ( X , x ) точечного топологического пространства ( X , x ) определяется как группа гомотопических классов петель, базирующихся в x . Это определение хорошо работает для таких пространств, как вещественные и комплексные многообразия , но дает нежелательные результаты для алгебраического многообразия с топологией Зарисского .

В классификации накрывающих показано, что фундаментальная группа именно группа скольжений в универсальной накрывающей . Это более многообещающе: конечные этальные морфизмы являются подходящим аналогом накрывающих пространств . К сожалению, алгебраическое многообразие X часто не имеет «универсальное покрытие», которое конечно над X , поэтому необходимо рассматривать всю категорию конечных этальных покрытий X . Тогда можно определить этальную фундаментальную группу как обратный предел конечных групп автоморфизмов .

Формальное определение

Пусть связной и локально нётеров схема , пусть будет геометрической точкой из и пусть буду категория пара таким образом, что является конечным этален морфизмом из схемы морфизмов в этой категории являются морфизмы , как схемы над этой категорией имеют естественный функтор в категорию множеств, а именно функтор ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle (Y, f)}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от Y \ до X}$ ${\ displaystyle Y.}$ ${\ displaystyle (Y, f) \ to (Y ', f')}$ ${\ displaystyle Y \ to Y '}$ ${\ displaystyle X.}$

{\ Displaystyle F (Y) = \ OperatorName {Hom} _ {X} (x, Y);}

геометрический это слой над и абстрактно это Йонедами функтор представлен с помощью в категории схем над . Функтор обычно не представляется в ; тем не менее, он про-представим в , фактически, кавер-версии Галуа . Это означает , что мы имеем проективную систему в , индексированной по направленному множеству , где находятся Галуа покрытия из , то есть конечные схемы Этальных над таким образом, что . Это также означает, что мы дали изоморфизм функторов ${\ displaystyle Y \ to X}$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ {X_ {j} \ to X_ {i} \ mid i <j \ in I \}}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle I,}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ # \ operatorname {Aut} _ {X} (X_ {i}) = \ operatorname {deg} (X_ {i} / X)}$

{\ Displaystyle F (Y) = \ varinjlim _ {я \ in I} \ operatorname {Hom} _ {C} (X_ {i}, Y)}

.

В частности, у нас есть отмеченная точка проективной системы. ${\ Displaystyle P \ in \ varprojlim _ {я \ in I} F (X_ {i})}$

Для двух таких отображение индуцирует групповой гомоморфизм, который порождает проективную систему групп автоморфизмов из проективной системы . Затем мы сделаем следующее определение: этальна фундаментальная группа из на есть обратный предел ${\ displaystyle X_ {i}, X_ {j}}$ ${\ displaystyle X_ {j} \ to X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} _ {X} (X_ {j}) \ to \ operatorname {Aut} _ {X} (X_ {i})}$ ${\ displaystyle \ {X_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x) = \ varprojlim _ {я \ in I} {\ operatorname {Aut}} _ {X} (X_ {i}),}

с топологией обратного предела.

Функтор теперь является функтором из категории конечных и непрерывных -множеств и устанавливает эквивалентность категорий между и категорией конечных и непрерывных -множеств. ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$

Примеры и теоремы

Самый простой пример фундаментальной группы - это π ₁ (Spec k ), фундаментальная группа поля k . По сути, по определению можно показать , что фундаментальная группа k изоморфна абсолютной группе Галуа Gal ( k _sep / k ). Точнее, выбор геометрической точки Spec ( k ) эквивалентен заданию сепарабельно замкнутого поля расширения K , а фундаментальная группа относительно этой базовой точки отождествляется с группой Галуа Gal ( K / k ). Эта интерпретация группы Галуа известна как теория Галуа Гротендика .

В более общем смысле, для любого геометрически связного многообразия X над полем k (т. Е. X таково, что X _sep : = X × _k k _sep связно) существует точная последовательность проконечных групп

1 → π ₁ ( X _sep , x ) → π ₁ ( X , x ) → Gal ( k _sep / k ) → 1.

Схемы над полем характеристики ноль

Для схемы X , который является конечным типа над С , комплексных числами, существует тесная связь между этальной фундаментальной группой X и обычной, топологической, фундаментальной группой X ( C ), в комплексном аналитическом пространстве , прикрепленном к X . Алгебраическая фундаментальная группа, как ее обычно называют в этом случае, является проконечным пополнением π ₁ ( X ). Это вытекает из теоремы существования Римана , в которой говорится , что все конечные Этальные покрытия X ( C ) вытекает из них в X . В частности, поскольку фундаментальная группа гладких кривых над C (т. Е. Открытых римановых поверхностей) хорошо изучена; это определяет алгебраическую фундаментальную группу. В более общем смысле, фундаментальная группа правильной схемы над любым алгебраически замкнутым полем характеристики нуль известна, поскольку расширение алгебраически замкнутых полей индуцирует изоморфные фундаментальные группы.

Схемы над полем положительной характеристики и ручная фундаментальная группа

Для алгебраически замкнутого поля k положительной характеристики результаты другие, поскольку в этой ситуации существуют покрытия Артина – Шрайера. Например, фундаментальная группа аффинной прямой не является топологически конечно порожденной . Ручная фундаментальная группа некоторой схемы U является фактором обычной фундаментальной группы U , которая принимает во внимание только крышки, которые слабо разветвленный вдоль D , где X является некоторой компактификацией и D является дополнением U в X . Например, ручная фундаментальная группа аффинной прямой равна нулю. ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {k} ^ {1}}$

Аффинные схемы над полем характеристики p

Оказывается, каждая аффинная схема является -пространством в том смысле, что этальный гомотопический тип схемы полностью определяется ее этальной гомотопической группой. Обратите внимание, где находится геометрическая точка. ${\ Displaystyle X \ подмножество \ mathbf {A} _ {k} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle К (\ пи, 1)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ pi = \ pi _ {1} ^ {et} (X, {\ overline {x}})}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$

Дальнейшие темы

С теоретико-категориальной точки зрения фундаментальная группа является функтором

{ Точечные алгебраические многообразия } → { Проконечные группы }.

Проблема Галуа обратного спрашивает , какие группы могут возникнуть как фундаментальные группы (или группы Галуа расширений полей). Анабелева геометрия , например гипотеза Гротендика о сечении , стремится идентифицировать классы многообразий, которые определяются своими фундаментальными группами.

Фридлендер (1982) изучает высшие этальные гомотопические группы с помощью этальных гомотопических схем.

Про-этальная фундаментальная группа

Бхатт и Шольце (2015 , §7) ввели вариант этальной фундаментальной группы, названный проэтальной фундаментальной группой . Оно строится путем рассмотрения вместо конечных этальных покрытий этальных карт, удовлетворяющих оценочному критерию правильности . Для геометрически одноразветвленных схем (например, нормальных схем) оба подхода согласуются, но в целом про-этальная фундаментальная группа является более тонким инвариантом: ее проконечное пополнение - этальная фундаментальная группа.

Смотрите также

Заметки

^ JS Milne, Лекции по этальным когомологиям , версия 2.21: 26-27
^ Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , Paris: Société Mathématique de Francei, + 327. см. Exp. V, IX, X, arXiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
^ Гротендик, Александр ; Мюрр, Джейкоб П. (1971), Ручная фундаментальная группа формальной окрестности дивизора с нормальными пересечениями на схеме , Лекционные заметки по математике, Vol. 208, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
^ Шмидт, Александр (2002), "Ручные покрытия арифметических схем", Mathematische Annalen , 322 (1): 1–18, arXiv : math / 0005310 , doi : 10.1007 / s002080100262 , S2CID 29899627
^ Achinger Петр (ноябрь 2017). «Дикое ветвление и K (пи, 1) пространства». Inventiones Mathematicae . 210 (2): 453–499. arXiv : 1701.03197 . DOI : 10.1007 / s00222-017-0733-5 . ISSN 0020-9910 . S2CID 119146164 .
^ (Тамагава 1997 )

Languages

In other projects