Методы симметризации - Symmetrization methods

В математике на методах симметризационных являются алгоритмами преобразования набора к шару с равным объемом и с центром в начале координат. B называется симметризованной версией A , обычно обозначается . Эти алгоритмы используются при решении классической задачи изопериметрического неравенства , которая задает следующие вопросы: Для всех двумерных форм данной области какая из них имеет минимальный периметр (подробнее см. Изопериметрическое неравенство ). Предполагаемым ответом был диск, и Штайнер в 1838 году показал, что это так, используя метод симметризации Штейнера (описанный ниже). Из этого возникло множество других изопериметрических задач и других алгоритмов симметризации. Например, гипотеза Рэлея является то , что первое собственное значение в задаче Дирихле минимизируется для шара (см неравенство Рэлея-Faber-Krahn для деталей). Другая проблема заключается в том, что ньютоновская емкость множества A минимизируется с помощью, и это было доказано Поля и Дж. Сего (1951) с использованием круговой симметризации (описанной ниже). ${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle B \ подмножество \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {vol} (B) = \ operatorname {vol} (A)}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$

Симметризация

Если измеримо, то оно обозначается симметризованной версией, то есть шаром, таким что . Обозначим в симметричном убывающей перестановкой неотрицательной измеримой функции F и определить его как , где это симметризованная версия прообраза множества . Методы , описанные ниже, были доказаны , чтобы преобразовать к т.е. задана последовательность преобразований симметризационных есть , где это расстояние Хаусдорфа (для обсуждения и доказательства см Бурхард (2009) ) ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {*}: = B_ {r} (0) \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {vol} (\ Omega ^ {*}) = \ operatorname {vol} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle f ^ {*}}$ ${\ displaystyle f ^ {*} (x): = \ int _ {0} ^ {\ infty} 1 _ {\ {y: f (y)> t \} ^ {*}} (x) \, dt}$ ${\ Displaystyle \ {у: е (у)> т \} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ {у: е (у)> т \}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ {T_ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ lim \ limits _ {k \ to \ infty} d_ {Ha} (\ Omega ^ {*}, T_ {k} (K)) = 0}$ ${\ displaystyle d_ {Ha}}$

Симметризация Штейнера

Симметризация Штейнера множества

{\ displaystyle \ Omega}

Симметризация Штейнера была введена Штейнером (1838) для решения изопериметрической теоремы, сформулированной выше. Позвольте быть гиперплоскостью через начало координат. Вращая пространство так , что это ( является п - й координаты в ) гиперплоскость. Для каждого пусть перпендикуляр через ВЕ . Затем, заменяя каждую прямую с центром в H и длиной, мы получаем симметризованную по Штейнеру версию. ${\ Displaystyle H \ подмножество \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle x_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle x \ in H}$ ${\ displaystyle x \ in H}$ ${\ displaystyle L_ {x} = \ {x + ye_ {n}: y \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ cap L_ {x}}$ ${\ displaystyle | \ Omega \ cap L_ {x} |}$

{\ displaystyle \ operatorname {St} (\ Omega): = \ {x + ye_ {n}: x + ze_ {n} \ in \ Omega {\ text {для некоторых}} z {\ text {and}} | y | \ leq {\ frac {1} {2}} | \ Omega \ cap L_ {x} | \}.}

Он обозначается симметризацией Штейнера относительно гиперплоскости неотрицательной измеримой функции и при фиксированном определим его как ${\ displaystyle \ operatorname {St} (f)}$ ${\ displaystyle x_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n-1}}$

{\ Displaystyle St: е (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-1}, \ cdot) \ mapsto (f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-1}, \ cdot)) ^ {*}.}

Свойства

Он сохраняет выпуклость: если выпуклый, то и выпуклый. ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle St (\ Omega)}$
Он является линейным: . ${\ Displaystyle St (х + \ lambda \ Omega) = St (x) + \ lambda St (\ Omega)}$
Супер-добавка: . ${\ Displaystyle St (К) + St (U) \ подмножество St (K + U)}$

Круговая симметризация

Круговая симметризация множества

{\ displaystyle \ Omega}

Популярным методом симметризации на плоскости является круговая симметризация Пойа. После этого будет описано его обобщение до более высоких измерений. Позвольте быть доменом; то его круговая симметризация относительно положительной действительной оси определяется следующим образом: Пусть ${\ Displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Circ} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {t}: = \ {\ theta \ in [0,2 \ pi]: te ^ {i \ theta} \ in \ Omega \}}$

т.е. содержат дуги радиуса t, содержащиеся в . Так определяется ${\ displaystyle \ Omega}$

Если это полный круг, то . ${\ displaystyle \ Omega _ {t}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Circ} (\ Omega) \ cap \ {| z | = t \}: = \ {| z | = t \}}$
Если длина , то . ${\ Displaystyle м (\ Омега _ {т}) = \ альфа}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Circ} (\ Omega) \ cap \ {| z | = t \}: = \ {te ^ {i \ theta}: | \ theta | <{\ frac {\ alpha} {2} } \}}$
${\ displaystyle 0, \ infty \ in \ operatorname {Circ} (\ Omega)}$ если и только тогда . ${\ displaystyle 0, \ infty \ in \ Omega}$

В более высоких измерениях его сферическая симметризация относительно положительной оси определяется следующим образом: Пусть, т.е. содержит крышки радиуса r, содержащиеся в . Также для первой координаты пусть if . Так как выше ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle Sp ^ {п} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {r}: = \ {x \ in \ mathbb {S} ^ {n-1}: rx \ in \ Omega \}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ operatorname {angle} (x_ {1}): = \ theta}$ ${\ displaystyle x_ {1} = rcos \ theta}$

Если это полная шапка, то . ${\ displaystyle \ Omega _ {r}}$ ${\ Displaystyle Sp ^ {n} (\ Omega) \ cap \ {| z | = r \}: = \ {| z | = r \}}$
Если площадь поверхности равна , то и где подбирается так, чтобы площадь ее поверхности была . Проще говоря, это крышка, симметричная относительно положительной оси с той же площадью, что и пересечение . ${\ displaystyle m_ {s} (\ Omega _ {t}) = \ alpha}$ ${\ Displaystyle Sp ^ {n} (\ Omega) \ cap \ {| z | = r \}: = \ {x: | x | = r}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ operatorname {angle} (x_ {1}) \ leq \ theta _ {\ alpha} \} =: C (\ theta _ {\ alpha})}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ alpha}}$ ${\ Displaystyle м_ {s} (С (\ theta _ {\ alpha}) = \ альфа}$ ${\ Displaystyle С (\ тета _ {\ альфа})}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ Omega \ cap \ {| z | = r \}}$
${\ displaystyle 0, \ infty \ in Sp ^ {n} (\ Omega)}$ если и только тогда . ${\ displaystyle 0, \ infty \ in \ Omega}$

Поляризация

Поляризация набора

{\ displaystyle \ Omega}

Позвольте быть областью и быть гиперплоскостью через начало координат. Обозначим через отражение этой плоскости в положительном полупространстве , как или просто , когда это ясно из контекста. Кроме того, отражение от гиперплоскости H определяется как . Тогда поляризованный обозначается и определяется следующим образом ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle Н ^ {п-1} \ подмножество \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {H}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ sigma \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {\ sigma}}$

Если , то . ${\ Displaystyle х \ в \ Omega \ cap \ mathbb {H} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle х \ в \ Omega ^ {\ sigma}}$
Если , то . ${\ Displaystyle х \ в \ Omega \ cap \ sigma (\ Omega) \ cap \ mathbb {H} ^ {-}}$ ${\ Displaystyle х \ в \ Omega ^ {\ sigma}}$
Если , то . ${\ Displaystyle х \ в (\ Omega \ setminus \ sigma (\ Omega)) \ cap \ mathbb {H} ^ {-}}$ ${\ displaystyle \ sigma x \ in \ Omega ^ {\ sigma}}$

На словах просто отражается в полупространство . Оказывается, что это преобразование может аппроксимировать вышеупомянутые преобразования (на расстоянии Хаусдорфа ) (см. Brock & Solynin (2000) ). ${\ Displaystyle (\ Omega \ setminus \ sigma (\ Omega)) \ cap \ mathbb {H} ^ {-}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {+}}$

Languages

In other projects