Изопериметрическое неравенство - Isoperimetric inequality


Из Википедии, свободной энциклопедии

В математике изопериметрическая неравенство является геометрическим неравенство включая площадь поверхности множества и его объема. В n - мерном пространстве неравенство нижняя ограничивающая поверхность набора по его объему ,

,

где это единичный шар . Равенство имеет место , когда шар в .

На плоскости, то есть , когда , изопериметрическое неравенство относится квадрат окружность в виде замкнутой кривой и площади плоской области она окружает. Изопериметрическое буквально означает «имеющие один и тот же периметр ». В частности , в , изопериметрических состояния неравенства, для длины L замкнутых кривых и площадь А в плоской области , что она окружает, что

и что равенство имеет место тогда и только тогда, когда кривая представляет собой круг.

Изопериметрическая задача заключается в определении плоской фигуры из наибольшей возможной площади которого граница имеет определенную длину. Тесно связанной с проблемой Дидоны просит область максимальной площади , ограниченной прямой и криволинейной дуги , концы которого принадлежат к этой линии. Она названа в честь Дидоны , легендарный основателя и первой царицы Карфагена . Решение изопериметрической задачи дается кругом и было известно уже в Древней Греции . Тем не менее, первое математически строгое доказательство этого факта было получено лишь в 19 веке. С тех пор многие другие доказательства были найдены.

Изопериметрическая проблема была расширена несколько способов, например, для кривых на поверхности и области в многомерных пространствах. Возможно , наиболее известное физическое проявление 3-мерного изопериметрического неравенства является формой капли воды. А именно, падение, как правило , предполагает симметричную круглую форму. Поскольку количество воды в капле фиксируются, поверхностное натяжение заставляет капли в форму , которая сводит к минимуму площади поверхности капли, а именно круглой сфера.

Изопериметрическая проблема в плоскости

Если область не является выпуклой, «вмятина» в его границе можно «перевернуть», чтобы увеличить площадь региона, сохраняя периметр без изменений.
Вытянутая форма может быть сделана более круглым, сохраняя при этом его периметр фиксированной и увеличивая его площадь.

Классическая изопериметрическая проблема восходит к глубокой древности. Проблема может быть сформулирована следующим образом : Из всех замкнутых кривых в плоскости фиксированного периметра, что кривой (если таковой имеется ) максимизирует площадь его закрытой области? Этот вопрос может быть показано, что эквивалентно следующей задаче: Среди всех замкнутых кривых на плоскости ограждающих фиксированную область, которая кривая (если таковая имеется ) сводит к минимуму периметр?

Эта проблема является концептуально связан с принципом наименьшего действия в физике , в том , что она может быть пересчитана: что принцип действия , который охватывает наибольшую площадь, с наибольшей экономией сил? Философ 15-го века и ученый, кардинал Николай Кузанский , считал вращательное действие, процесс , посредством которого круг генерируется, чтобы быть наиболее прямым отражением, в области сенсорных впечатлений, процесса , с помощью которого создается Вселенной. Немецкий астроном и астролог Иоганн Кеплер применит изопериметрический принцип при обсуждении морфологии Солнечной системы, в Тайне мироздании ( Священной тайна космоса , 1596).

Хотя круг , как представляется очевидным решением проблемы, доказывающие этот факт довольно сложно. Первый прогресс в решении был сделан швейцарским геометра Якоба Штайнера в 1838 году, используя геометрический метод позже названный Steiner симметризации . Штайнер показал , что если существует решение, то оно должно быть кругом. Доказательство Штайнера было завершено спустя несколько других математиков.

Штайнер начинается с некоторыми геометрическими конструкциями , которые легко понять; например, можно показать , что любая замкнутая кривая ограждающих область , которая не полностью выпуклую может быть изменен , чтобы вложить больше площади, с помощью «листать» вогнутые участки так , что они становятся выпуклыми. Далее можно показать , что любая замкнутая кривая , которая не является полностью симметричным может быть «наклонить» , так что он охватывает большую площадь. Одна форма , которая является абсолютно выпуклой и симметричной является круг, хотя это само по себе не представляет собой строгое доказательство теоремы изопериметрической (см внешние ссылки).

На плоскости

Решение изопериметрической задачи, как правило , выражается в виде неравенства , что имеет отношение длины L замкнутой кривой и площади А в плоской области , что она окружает. Изопериметрическая неравенство утверждает , что

и что равенство имеет место тогда и только тогда , когда кривая представляет собой круг. Область диска радиуса R является πR 2 , а длина окружности круга 2 πR , так что обе стороны неравенства равны 4 π 2 R 2 в этом случае.

Десятки доказательств изопериметрического неравенства были найдены. В 1902 годе Гурвица опубликовала краткое доказательство , используя ряд Фурье , который относится к произвольным спрямляемым кривым (не предполагается гладким). Элегантное прямое доказательство основано на сравнении гладкой простой замкнутой кривой с соответствующим кругом было дано Е. Шмидтом в 1938 г. Он использует только длину дуги формулу, выражение для площади области плоскости из теоремы Грина , и Коши Schwarz неравенство .

Для данной замкнутой кривой, то изопериметрическая фактор определяется как отношение его площади и что окружности , имеющей тот же периметр. Это равно

и изопериметрическое неравенство говорит , что Q ≤ 1. Эквивалентно, то изопериметрическая отношение L 2 / составляет по меньшей мере 4 π для каждой кривой.

Изопериметрическая фактор регулярного п -угольник

Пусть гладкая регулярная выпуклая замкнутая кривая. Тогда улучшилось изопериметрическая неравенство заявляет следующее

где обозначает длину , площадь области , ограниченной и ориентированной области Вигнера каустика из , соответственно, а равенство имеет место тогда и только тогда , является кривой постоянной ширины .

На сфере

Пусть С простая замкнутая кривая на сфере радиуса 1. Обозначим через L длина C и A области , окруженной C . Сферическая изопериметрическая неравенство утверждает , что

и что равенство имеет место тогда и только тогда, когда кривая представляет собой круг. Есть, по сути, два способа измерения сферическую область, заключенную простой замкнутой кривой, но неравенство симметрично с относительно взятия дополнения.

Это неравенство было открыто Полем Леви (1919) , который также расширил его до более высоких размеров и общих поверхностей.

В более общем случае произвольного радиуса R , известно , что

В

Изопериметрическая неравенство утверждает , что сфера имеет наименьшую площадь поверхности на заданном объеме. Учитывая набор с площадью поверхности и объемом , Изопериметрическими состояниями неравенства

,

где это единичный шар . Равенство имеет место , когда шар в .

Доказательство на неравенстве непосредственно следует из неравенства Бруна-Минковского между набором и шаром с радиусом , то есть . Принимая неравенство Брун-Минковского к власти , вычитая с обеих сторон, разделяя их , и переходя к пределу ( Оссермана (1978) ; Федерером (1969 , §3.2.43)).

В полной общности ( Федерер 1969 , §3.2.43), изопериметрическое неравенство утверждает , что для любого множества которого замыкание имеет конечную меру Лебега

где есть ( п - 1) -мерное содержание Минковского , л п является п мерной меры Лебега, а ω п является объемом единичного шара в . Если граница S является спрямляема , тем содержанием Минковского является ( п - 1) -мерная мера Хаусдорфа .

П - мерное изопериметрическая неравенство эквивалентно (при достаточно гладких областей) к неравенству Соболева на с оптимальной константой:

для всех .

В метрическом пространстве с мерой

Большая часть работы по изопериметрической проблеме было сделано в контексте гладких областей в евклидовых пространствах , или в более общем смысле , в римановых многообразиях . Однако изопериметрическая задача может быть сформулирована в гораздо большей общности, используя понятие содержания Минковского . Пусть быть метрикой пространства с мерой : Х представляет собой метрическое пространство с метрикой г , а μ является мерой Борель на X . Граничная мера , или содержание Минковского , из измеримого подмножества A из X определяется как Нт инф

где

является ε- расширение из A .

Изопериметрическая проблема в X спрашивает , как мал может быть для заданного ц ( А ). Если X является евклидовой плоскостью с обычным расстоянием и мерой Лебега , то этот вопрос обобщает классическую изопериметрическую задачу в плоские областях, граница не обязательно гладкие, хотя ответ оказывается таким же.

Функция

называется изопериметрическая профиль метрики пространства с мерой . Изопериметрические профили были изучены для графов Кэли из дискретных групп и специальных классов римановых многообразий (где обычно только регионы с регулярной границей считаются).

Для графиков

В теории графов , изопериметрические неравенства лежат в основе изучения экспандера , которые разреженные графы , которые имеют сильные свойства подключения. Расширяющиеся конструкции породили исследования в области чистой и прикладной математики, с несколькими приложениями к теории сложности , разработка надежных компьютерных сетей и теории кодов , исправляющих ошибки .

Изопериметрические неравенства для графов относятся размер подмножества вершин до размера их границы, которая обычно измеряется по количеству ребер , выходящим из подмножества (расширение краев) или по количеству соседних вершин (вершина) расширение. Для графа и числа , следующие два стандартных изопериметрические параметры для графиков.

  • Край изопериметрическая параметр:
  • Вершина изопериметрическая параметр:

Здесь обозначает множество ребер , выходящих и обозначает множество вершин, имеющие сосед . Изопериметрическая проблема заключается в том понимании , каким образом параметров и ведут себя естественные семейств графов.

Пример: Изопериметрические неравенства для гиперкубов

- Мерный гиперкуб является граф, вершинами которого являются все булевы векторы длины , то есть множество . Два таких векторов соединяются ребром в , если они равны с точностью до одного битного флипа, то есть, их расстояние Хэмминга ровно один. Ниже приведены изопериметрические неравенства для гиперкуба булева.

Край изопериметрическая неравенство

Кромка изопериметрического неравенство гиперкуба является . Эта оценка является жесткой, как засвидетельствована каждым набором , который является множеством вершин любого подкуба из .

Vertex изопериметрическая неравенство

Теорема Harper говорит , что Хемминга шары имеют наименьшую границу вершин среди всех множеств заданного размера. Хемминг шарики наборы , которые содержат все точки Хэмминга вес не более и никаких точек Хэмминга веса больше , чем для некоторого целого . Из этой теоремы следует , что любой набор с

удовлетворяет

В частном случае, рассмотрим набор размеров вида

для некоторого целого . Тогда выше следует , что точная вершинная изопериметрическая параметр

Изопериметрическое неравенство треугольников

Изопериметрическая неравенство для треугольников в терминах периметра р и области Т утверждает , что

с равенством для равностороннего треугольника . Это вытекает, с помощью неравенства AM-GM , более сильным неравенством , которое также называется изопериметрическая неравенство треугольников:

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

внешняя ссылка