Опора (теория меры) - Support (measure theory)

В математике , то поддержка (иногда топологическая поддержка или спектр ) из меры ц на измеримое топологическом пространстве ( X , Борель ( Х )) является точным понятием , где в пространстве X Мера «живет». Она определяется как наибольшее ( замкнутое ) подмножество в X , для которого каждая открытая окрестность каждой точки множества имеет положительную меру.

Мотивация

(Неотрицательная) мера на измеримом пространстве на самом деле является функцией . Поэтому, с точки зрения обычного определения в поддержке , поддержка является подмножеством сг-алгебры : ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle \ mu: \ Sigma \ to [0, + \ infty]}$${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu): = \ bigcap \ {A = {\ overline {A}} \ in \ Sigma \ mid \ mu (A ^ {c}) = 0 \},}$

где черта сверху означает закрытие множества . Однако это определение несколько неудовлетворительно: мы используем понятие замыкания, но у нас даже нет топологии . Что мы действительно хотим знать, так это где в пространстве мера отлична от нуля. Рассмотрим два примера: ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$

1. Мера Лебега на прямой . Кажется очевидным, что «живет» вся реальная линия.${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ lambda}$
2. В какой-то момент мера Дирака . Опять же, интуиция подсказывает, что мера «живет» в одной точке и больше нигде.${\ displaystyle \ delta _ {p}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ delta _ {p}}$${\ displaystyle p}$

В свете этих двух примеров мы можем отклонить следующие определения кандидатов в пользу того, что приведено в следующем разделе:

1. Мы могли бы удалить точки, где равно нулю, и принять опору за остаток . Это может сработать для меры Дирака , но определенно не сработает : поскольку мера Лебега любого синглтона равна нулю, это определение даст пустую поддержку.${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle X \ setminus \ {x \ in X \ mid \ mu (\ {x \}) = 0 \}}$${\ displaystyle \ delta _ {p}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$
2. По сравнению с понятием строгой положительности мер, мы могли бы принять за носитель множество всех точек с окрестностью положительной меры:

${\ displaystyle \ {x \ in X \ mid {\ text {для некоторых открытых}} N_ {x} \ ni x, \ mu (N_ {x})> 0 \}}$

(или закрытие этого). Это также слишком упрощенно: взяв за все точки , это сделало бы поддержку каждой меры, кроме нулевой, всей .${\ displaystyle N_ {x} = X}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle X}$

Однако идея «локальной строгой позитивности» не так уж далека от рабочего определения:

Определение

Пусть ( X ,  T ) - топологическое пространство ; пусть B ( T ) обозначит Борель а-алгебру на X , то есть наималейшая сигма - алгебра на X , который содержит все открытые множества U  ∈  T . Пусть μ - мера на ( X , B ( T )). Тогда поддержка (или спектр ) от ц определяется как множество всех точек х в X , для которых каждое открытое окрестность Н _х из х имеет положительную меру:

${\ displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu): = \ {x \ in X \ mid \ forall N_ {x} \ in T \, \ mu (N_ {x})> 0 \}.}$

Некоторые авторы предпочитают брать замыкание из вышеупомянутого набора. Однако в этом нет необходимости: см. «Свойства» ниже.

Эквивалентное определение носителя - это наибольшее C  ∈ B ( T ) (относительно включения) такое, что каждое открытое множество, имеющее непустое пересечение с C, имеет положительную меру, т. Е. Наибольшее C такое, что:

${\ displaystyle (\ forall U \ in T) (U \ cap C \ neq \ varnothing \ подразумевает \ mu (U \ cap C)> 0).}$

Характеристики

• ${\ displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) = \ operatorname {supp} (\ mu _ {1}) \ cup \ operatorname {supp} (\ mu _ {2 })}$
• Мера μ на X строго положительно тогда и только тогда , когда она имеет поддержку Supp ( М ) =  X . Если μ строго положительно и x  ∈  X произвольно, то любая открытая окрестность x , поскольку это открытое множество , имеет положительную меру; следовательно, х  ∈ Supp ( μ ), так что Supp ( ц ) =  X . Наоборот, если supp ( μ ) =  X , то каждое непустое открытое множество (являющееся открытой окрестностью некоторой точки внутри себя, которая также является точкой опоры) имеет положительную меру; следовательно, μ строго положительно.
• Носитель меры замкнут в X, поскольку его дополнение есть объединение открытых множеств меры 0.
• В общем случае носитель ненулевой меры может быть пустым: см. Примеры ниже. Однако, если X - топологическое хаусдорфово пространство, а μ - мера Радона , измеримое множество A вне носителя имеет нулевую меру :

${\ displaystyle A \ substeq X \ setminus \ operatorname {supp} (\ mu) \ подразумевает \ mu (A) = 0.}$

Обратное верно, если A открыто, но в целом неверно: оно неверно, если существует точка x  ∈ supp ( μ ) такая, что μ ({ x }) = 0 (например, мера Лебега).

Таким образом, нет необходимости «интегрировать за пределами поддержки»: для любой измеримой функции F  :  X  →  R или C ,

${\ Displaystyle \ int _ {X} е (х) \, \ mathrm {d} \ mu (x) = \ int _ {\ operatorname {supp} (\ mu)} f (x) \, \ mathrm {d } \ mu (x).}$

• Концепция поддержки меры и что из спектра в виде линейного самосопряженного оператора на гильбертовом пространстве тесно связаны между собой . Действительно, если - регулярная борелевская мера на прямой , то оператор умножения самосопряжен в своей естественной области определения${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (Аф) (х) = xf (x)}$

${\ Displaystyle D (A) = \ {е \ in L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu) \ mid xf (x) \ in L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu) \}}$

и его спектр совпадает с существенным диапазоном тождественной функции , которая и является опорой .${\ Displaystyle х \ mapsto х}$${\ displaystyle \ mu}$

Примеры

Мера Лебега

В случае меры Лебега Х на вещественной прямой R , рассмотрим произвольную точку х  ∈  R . Тогда любая открытая окрестность N _х из х должен содержать некоторый открытый интервал ( х  -  ε ,  х  +  ε ) для некоторого ε  > 0. Этот интервал имеет меру Лебега 2 ε  > 0, так что λ ( N _х ) ≥ 2 ε  > 0. Так как х  ∈  R было произвольным, Supp ( λ ) =  R .

Мера Дирака

В случае меры Дирака δ _p пусть x  ∈  R и рассмотрим два случая:

1. если х  =  р , то каждая открытая окрестность Н _х из й содержит р , так что δ _р ( Н _х ) = 1> 0;
2. с другой стороны, если x  ≠  p , то существует достаточно маленький открытый шар B вокруг x , не содержащий p , поэтому δ _p ( B ) = 0.

Мы заключаем, что supp ( δ _p ) - это замыкание одноэлементного множества { p }, которое само является { p }.

Фактически, мера μ на вещественной прямой является мерой Дирака δ _p для некоторой точки p тогда и только тогда, когда носитель μ является одноэлементным множеством { p }. Следовательно, мера Дирака на действительной прямой является единственной мерой с нулевой дисперсией [при условии, что эта мера вообще имеет дисперсию].

Равномерное распределение

Рассмотрим меру μ на вещественной прямой R, определенную формулой

${\ Displaystyle \ му (A): = \ лямбда (A \ cap (0,1))}$

т.е. равномерная мера на открытом интервале (0, 1). Рассуждение, аналогичное примеру меры Дирака, показывает, что supp ( μ ) = [0, 1]. Обратите внимание, что граничные точки 0 и 1 лежат в опоре: любое открытое множество, содержащее 0 (или 1), содержит открытый интервал около 0 (или 1), который должен пересекать (0, 1), и поэтому должен иметь положительную μ -меру .

Нетривиальная мера с пустым носителем

Пространство всех счетных ординалов с топологией, порожденной «открытыми интервалами», является локально компактным хаусдорфовым пространством. Мера («мера Дьедонне»), которая присваивает меру 1 борелевским множествам, содержащим неограниченное замкнутое подмножество, и присваивает 0 другим борелевским множествам, является вероятностной борелевской мерой, носитель которой пуст.

Нетривиальная мера, носитель которой имеет нулевую меру

На компактном хаусдорфовом пространстве носитель ненулевой меры всегда непуст, но может иметь меру 0. Пример этого дается добавлением первого несчетного ординала Ω к предыдущему примеру: носитель меры - это единственная точка Ω, имеющая меру 0.

Подписанные и комплексные меры

Предположим, что μ  : Σ → [−∞, + ∞] - знаковая мера . Используйте теорему о разложении Хана, чтобы написать

${\ Displaystyle \ му = \ му ^ {+} - \ му ^ {-},}$

где μ ^± - неотрицательные меры. Тогда поддержка от ц определяется как

${\ displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu): = \ operatorname {supp} (\ mu ^ {+}) \ cup \ operatorname {supp} (\ mu ^ {-}).}$

Аналогичным образом , если μ  : Σ →  C является комплексной мерой , то поддержка от ц определяется быть объединением опора его действительным и мнимых части.

использованная литература

• Амбросио, Л., Джильи, Н. и Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. ISBN 3-7643-2428-7.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Партасарати, КР (2005). Вероятностные меры на метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд. п. xii + 276. ISBN 0-8218-3889-X. Руководство по ремонту 2169627 (см. Главу 2, раздел 2.)
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шредингера . AMS.(См. Главу 3, раздел 2)