Суперсингулярное простое число (теория самогона) - Supersingular prime (moonshine theory)

В математической ветви теории самогона , суперсингулярен премьером является простым числом , что делит порядка на Монстр группы М , который является самой крупной спорадической простой группой . Всего существует пятнадцать суперсингулярных простых чисел: первые одиннадцать простых чисел ( 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 и 31 ), а также 41 , 47 , 59 и 71 . (последовательность A002267 в OEIS )

Несуперсингулярные простые числа - это 37 , 43 , 53 , 61 , 67 и любое простое число, большее или равное 73 .

Суперсингулярные простые числа связаны с понятием суперсингулярных эллиптических кривых следующим образом. Для простого числа p следующие утверждения эквивалентны:

  1. Модульная кривая Х 0 + ( р ) = Х 0 ( р ) / ш р , где ш р является Фрике инволюции из X 0 ( р ), имеет род нуль.
  2. Каждую суперсингулярную эллиптическую кривую в характеристике p можно определить над простым подполем F p .
  3. Порядок группы Монстров делится на p .

Эквивалентность принадлежит Эндрю Оггу . Точнее, в 1975 году Ogg показал, что простые числа, удовлетворяющие первому условию, - это в точности 15 суперсингулярных простых чисел, перечисленных выше, и вскоре после этого узнал о (тогда предположительном ) существовании спорадической простой группы, имеющей именно эти простые числа в качестве простых делителей. Это странное совпадение положило начало теории чудовищного самогона .

Три несуперсингулярных простых числа встречаются в порядках двух других спорадических простых групп: 37 и 67 делят порядок группы Лиона , а 37 и 43 делят порядок четвертой группы Янко . Отсюда сразу следует, что эти двое не являются частями группы Монстров (это две из шести групп изгоев ). Остальные спорадические группы (включая остальных четырех изгоев, а также группу Титса , если ее считать среди спорадических групп ) имеют порядки только с суперсингулярными простыми делителями. Фактически, за исключением группы Baby Monster , все они имеют порядки, делящиеся только на простые числа, меньшие или равные 31, хотя ни одна спорадическая группа, кроме самого Monster, не имеет их всех в качестве простых делителей. Суперсингулярное простое число 47 также делит порядок группы Baby Monster, а три других суперсингулярных числа (41, 59 и 71) не делят порядок какой-либо спорадической группы, кроме самого Monster.

Все суперсингулярные простые числа являются простыми числами Чена , но 37, 53 и 67 также являются простыми числами Чена, и существует бесконечно много простых чисел Чена, больших 73.

использованная литература

  • Вайсштейн, Эрик В. «Суперсингулярное простое число» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Спорадическая группа» . MathWorld .
  • Огг, AP (1980). «Модульные функции». В Куперштейне, Брюс; Мейсон, Джеффри (ред.). Конференция Санта-Крус по конечным группам. Held в Университете Калифорнии, Санта - Круз, Калифорния. 25-июля 20 июня 1979 . Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. С. 521–532. ISBN   0-8218-1440-0 .