В математической области теории категорий и абстрактной алгебры , подфактор является фактор объект из подобъектов . Субкоторая особенно важны в абелевых категориях и в теории групп , где они также известны как разделы , хотя это противоречит другому значению в теории категорий .
В литературе, посвященной спорадическим группам, можно встретить такие формулировки, как « участвует в » с очевидным значением « является подфактурой ».
ЧАС
{\ displaystyle H}
грамм
{\ displaystyle G}
ЧАС
{\ displaystyle H}
грамм
{\ displaystyle G}
Факторное представление субпредставления представления (скажем, группы) может быть названо субфакторным представлением; например, теорема Хариш-Чандры о субфакторах.
Примеры
Из 26 спорадических групп 20 частей группы монстров называются «счастливой семьей», а остальные 6 - « группами изгоев ».
Отношение заказа
Субфактор отношения - это отношение порядка .
Позвольте быть вложенным в , кроме того, быть вложенным в и быть каноническим гомоморфизмом . Тогда все вертикальные ( ) карты
ЧАС
′
/
ЧАС
″
{\ displaystyle H '/ H' '}
ЧАС
{\ displaystyle H}
ЧАС
знак равно
грамм
′
/
грамм
″
{\ displaystyle H: = G '/ G' '}
грамм
{\ displaystyle G}
φ
:
грамм
′
→
ЧАС
{\ displaystyle \ varphi \ двоеточие G '\ to H}
↓
{\ displaystyle \ downarrow}
φ
:
Икс
→
Y
,
грамм
↦
грамм
грамм
″
{\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие X \ к Y, \; g \ mapsto g \, G ''}
грамм
{\ displaystyle G}
≥
{\ displaystyle \ geq}
грамм
′
{\ displaystyle G '}
≥
{\ displaystyle \ geq}
φ
-
1
(
ЧАС
′
)
{\ displaystyle \ varphi ^ {- 1} (H ')}
≥
{\ displaystyle \ geq}
φ
-
1
(
ЧАС
″
)
{\ displaystyle \ varphi ^ {- 1} (H '')}
⊳
{\ displaystyle \ vartriangleright}
грамм
″
{\ displaystyle G ''}
φ
:
{\ displaystyle \ varphi \ !:}
↓
{\ displaystyle {\ Big \ downarrow}}
↓
{\ displaystyle {\ Big \ downarrow}}
↓
{\ displaystyle {\ Big \ downarrow}}
↓
{\ displaystyle {\ Big \ downarrow}}
ЧАС
{\ displaystyle H}
≥
{\ displaystyle \ geq}
ЧАС
′
{\ displaystyle H '}
⊳
{\ displaystyle \ vartriangleright}
ЧАС
″
{\ displaystyle H ''}
⊳
{\ displaystyle \ vartriangleright}
{
1
}
{\ displaystyle \ {1 \}}
с подходящими являются сюръективны для соответствующих пар
грамм
∈
Икс
{\ displaystyle g \ in X}
(
Икс
,
Y
)
∈
{\ Displaystyle (X, Y) \; \; \; \ in}
{
(
грамм
′
,
ЧАС
)
{\ Displaystyle {\ Bigl \ {} {\ bigl (} G ', H {\ bigr)} {\ Bigr.}}
,
{\ displaystyle,}
(
ϕ
-
1
(
ЧАС
′
)
,
ЧАС
′
)
{\ displaystyle {\ bigl (} \ phi ^ {- 1} (H '), H' {\ bigr)}}
,
{\ displaystyle,}
(
ϕ
-
1
(
ЧАС
″
)
,
ЧАС
″
)
{\ displaystyle {\ bigl (} \ phi ^ {- 1} (H ''), H '' {\ bigr)}}
,
{\ displaystyle,}
(
грамм
″
,
{
1
}
)
}
.
{\ displaystyle {\ Bigl.} {\ bigl (} G '', \ {1 \} {\ bigr)} {\ Bigr \}}.}
Обе прообразы и являются подгруппами содержащих и есть и , потому что у каждого есть прообраз с . Более того, подгруппа нормальна в .
φ
-
1
(
ЧАС
′
)
{\ displaystyle \ varphi ^ {- 1} \ left (H '\ right)}
φ
-
1
(
ЧАС
″
)
{\ displaystyle \ varphi ^ {- 1} \ left (H '' \ right)}
грамм
′
{\ displaystyle G '}
грамм
″
,
{\ Displaystyle G '',}
φ
(
φ
-
1
(
ЧАС
′
)
)
знак равно
ЧАС
′
{\ Displaystyle \ varphi \ left (\ varphi ^ {- 1} \ left (H '\ right) \ right) = H'}
φ
(
φ
-
1
(
ЧАС
″
)
)
знак равно
ЧАС
″
{\ displaystyle \ varphi \ left (\ varphi ^ {- 1} \ left (H '' \ right) \ right) = H ''}
час
∈
ЧАС
{\ displaystyle h \ in H}
грамм
∈
грамм
′
{\ displaystyle g \ in G '}
φ
(
грамм
)
знак равно
час
{\ displaystyle \ varphi (g) = h}
φ
-
1
(
ЧАС
″
)
{\ displaystyle \ varphi ^ {- 1} \ left (H '' \ right)}
φ
-
1
(
ЧАС
′
)
.
{\ displaystyle \ varphi ^ {- 1} \ left (H '\ right).}
Как следствие, подфактор из является подфактором в форме .
ЧАС
′
/
ЧАС
″
{\ displaystyle H '/ H' '}
ЧАС
{\ displaystyle H}
грамм
{\ displaystyle G}
ЧАС
′
/
ЧАС
″
≅
φ
-
1
(
ЧАС
′
)
/
φ
-
1
(
ЧАС
″
)
{\ Displaystyle H '/ H' '\ cong \ varphi ^ {- 1} \ left (H' \ right) / \ varphi ^ {- 1} \ left (H '' \ right)}
Отношение к кардинальному порядку
В конструктивной теории множеств , где закон исключенного третьего не обязательно выполняется, можно рассматривать отношение подфактора как заменяющее обычное отношение (я) порядка на кардиналах . Когда один имеет закон исключенного третьего, то подфактор из является либо пустое множество , или есть на функции . Это отношение порядка традиционно обозначается.
Если дополнительно выполняется аксиома выбора , то он имеет взаимно однозначную функцию, и это отношение порядка является обычным для соответствующих кардиналов.
Y
{\ displaystyle Y}
Икс
{\ displaystyle X}
Икс
→
Y
{\ displaystyle X \ to Y}
≤
*
.
{\ displaystyle \ leq ^ {\ ast}.}
Y
{\ displaystyle Y}
Икс
{\ displaystyle X}
≤
{\ displaystyle \ leq}
Смотрите также
использованная литература
^
Грисс, Роберт Л. (1982), «Дружелюбный гигант» , Inventiones Mathematicae , 69 : 1-102, Bibcode : 1982InMat..69 .... 1G , doi : 10.1007 / BF01389186 , hdl : 2027.42 / 46608 , S2CID 123597150
^ Диксмье, Жак (1996) [1974], Обертывающие алгебры , Исследования в области математики , 11 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0560-2 , Руководство по ремонту 0498740 п. 310
<img src="//en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">