Существенное расширение - Essential extension

В математике , в частности , модуль теории , дано кольцо R и R - модули M с подмодуля N , модуль М называется быть существенным расширением из N (или N называется собой существенный подмодуль или большой подмодуль из М ) , если для каждого подмодуля H из M ,

${\ Displaystyle H \ cap N = \ {0 \} \,}$ подразумевает, что ${\ Displaystyle Н = \ {0 \} \,}$

Как специальный случай, существенный левый идеал из R является левым идеалом , который имеет важное значение как подмодуль левого модуля _R R . Левый идеал имеет ненулевое пересечение с любым ненулевым левым идеалом R . Аналогично, и существенный правый идеал именно существенный подмодуль правого R модуль R _R .

Обычные обозначения для существенных расширений включают следующие два выражения:

${\ Displaystyle N \ substeq _ {е} M \,}$( Лам 1999 ) и ( Андерсон и Фуллер 1992 )${\ Displaystyle N \ треугольникlefteq M}$

Двойное понятие существенного подмодуля является то , что лишним субмодулем (или небольшого субмодуля ). Подмодуль Н является излишним , если для любого другого подмодуль H ,

${\ Displaystyle N + H = M \,}$подразумевает это .${\ Displaystyle Н = М \,}$

Обычные обозначения для лишних подмодулей включают:

${\ Displaystyle N \ substeq _ {s} M \,}$( Лам 1999 ) и ( Андерсон и Фуллер 1992 )${\ Displaystyle N \ ll M}$

Характеристики

Вот некоторые элементарные свойства существенных расширений, указанные в введенных выше обозначениях. Пусть M - модуль, а K , N и H - подмодули в M с K N${\ displaystyle \ substeq}$

• Ясно, что M является существенным подмодулем в M , и нулевой подмодуль ненулевого модуля никогда не является существенным.
• ${\ displaystyle K \ substeq _ {e} M}$тогда и только тогда, когда и${\ displaystyle K \ substeq _ {e} N}$${\ displaystyle N \ substeq _ {e} M}$
• ${\ displaystyle K \ cap H \ substeq _ {e} M}$тогда и только тогда, когда и${\ displaystyle K \ substeq _ {e} M}$${\ displaystyle H \ substeq _ {e} M}$

Используя лемму Цорна, то можно доказать еще один полезный факт: Для любого подмодуля N из M , существует подмодуль С такой , что

${\ displaystyle N \ oplus C \ substeq _ {e} M}$.

Кроме того, модуль без надлежащего существенного расширения (то есть, если модуль существенен в другом модуле, то он равен этому модулю) является инъективным модулем . Тогда можно доказать , что каждый модуль M имеет максимальный существенное расширение E ( M ), называется инъективная оболочкой из М . Инъективная оболочка обязательно является инъективным модулем и единственна с точностью до изоморфизма. Инъективная оболочка также минимальна в том смысле, что любой другой инъективный модуль, содержащий M, содержит копию E ( M ).

Многие свойства сводятся к лишним подмодулям, но не все. Пусть снова М быть модулем и К , Н и Н подмодули M с K N . ${\ displaystyle \ substeq}$

• Нулевой подмодуль всегда является лишним, а ненулевой модуль M никогда не бывает лишним сам по себе.
• ${\ Displaystyle N \ substeq _ {s} M}$тогда и только тогда, когда и${\ displaystyle K \ substeq _ {s} M}$${\ displaystyle N / K \ substeq _ {s} M / K}$
• ${\ Displaystyle К + Н \ substeq _ {s} M}$тогда и только тогда, когда и .${\ displaystyle K \ substeq _ {s} M}$${\ displaystyle H \ substeq _ {s} M}$

Поскольку каждый модуль может быть отображен через мономорфизм , образ которого существенен в инъективном модуле (его инъективной оболочке), можно спросить, верно ли двойственное утверждение, т.е. для каждого модуля M существует проективный модуль P и эпиморфизм из P на M, чье ядро лишнее? (Такое P называется проективным покрытием ). Ответ « Нет » в целом, а также специальный класс колец, правые модули имеют все проективные покрытия является классом правых совершенных колец .

Одна из форм леммы Накаяма является то , что J ( R ) М является излишним подмодуль М , когда М является конечно-порожденный модуль над R .

Обобщение

Это определение можно обобщить на произвольное абелевой категории С . Существенное расширение является мономорфизмом у  : М → Е такое , что для любого ненулевого подобъектом сек  : N → E , на волокна продукта N × _Е M ≠ 0.

В общей категории морфизм f  : X → Y существенен, если любой морфизм g  : Y → Z является мономорфизмом тогда и только тогда, когда g ° f является мономорфизмом ( Порст, 1981 , Введение). Если взять g за тождественный морфизм Y, значит, существенный морфизм f должен быть мономорфизмом.

Если X имеет инъективную оболочку Y , то Y является наибольшим существенным расширением X ( Порст, 1981 , Введение ( v )). Но самое большое существенное расширение не может быть инъективной оболочкой. Действительно, в категории пространств T ₁ и непрерывных отображений каждый объект имеет единственное наибольшее существенное расширение, но ни одно пространство с более чем одним элементом не имеет инъективной оболочки ( Hoffmann, 1981 ).

Смотрите также

• Плотные подмодули - это особый тип существенных подмодулей.

использованная литература

• Андерсон, ФВ; Фуллер, KR (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , 13 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97845-3
• Дэвид Эйзенбуд , коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии ISBN  0-387-94269-6
• Хоффманн, Рудольф-Э. (1981), "существенные расширения Т ₁ -пространствах", Канадский математический вестник , 24 (2): 237-240, DOI : 10,4153 / КМФ-1981-037-1
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту  1653294
• Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. 17 . Академическая пресса. ISBN 978-0-124-99250-4. Руководство по ремонту  0202787 . Раздел III.2
• Порст, Ганс-Э. (1981), "Характеристика инъективных оболочек", Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 22 (4): 399–406