Сильное двойное пространство - Strong dual space

В функциональном анализе и смежных областях математики , то сильное сопряженное пространство из топологических векторного пространства (ТВС) является непрерывным сопряженным пространством из оснащены сильной ( двойной ) топологии или топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах , где обозначаются эта топология by or Самая грубая полярная топология называется слабой топологией . Сильно дуальное пространство играет такую ​​важную роль в современном функциональном анализе, что обычно предполагается, что непрерывное двойственное пространство имеет сильную дуальную топологию, если не указано иное. Чтобы подчеркнуть, что непрерывное двойственное пространство имеет сильную двойственную топологию или может быть записано. ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle б \ влево (Х ^ {\ прайм}, Х \ вправо)}$${\ displaystyle \ beta \ left (X ^ {\ prime}, X \ right).}$${\ displaystyle X ^ {\ prime},}$${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X _ {\ beta} ^ {\ prime}}$

Сильная двойная топология

Всюду, все векторные пространства будут считаться над полем либо на действительных чисел или комплексных чисел${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

Определение из дуальной системы

Пусть будет дуальная пара векторных пространств над полем из действительных чисел или комплексных чисел для любого и любого определения ${\ Displaystyle (Х, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ Displaystyle B \ substeq X}$${\ displaystyle y \ in Y,}$

Ни и не имеет топологии, так сказать, подмножество называется ограниченным подмножеством, если для всех Итак, подмножество называется ограниченным тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle B \ substeq X}$${\ displaystyle C \ substeq Y}$${\ displaystyle | y | _ {B} <\ infty}$${\ displaystyle y \ in C.}$${\ Displaystyle B \ substeq X}$

Это эквивалентно обычному понятию ограниченных подмножеств, когда задана слабая топология, индуцированная которой является локально выпуклой топологией Хаусдорфа . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y,}$

Обозначим через

семейство всех подмножеств, ограниченных элементами из ; то есть, это набор всех подмножеств таких, что для каждого${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle B \ substeq X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle B \ substeq X}$${\ displaystyle y \ in Y,}$

$${\ displaystyle | y | _ {B} = \ sup _ {x \ in B} | \ langle x, y \ rangle | <\ infty.}$$

Тогда сильная топология на, также обозначаемая или просто, или, если понимается спаривание , определяется как локально выпуклая топология на, порожденная полунормами вида ${\ Displaystyle \ бета (Y, X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ displaystyle Y,}$${\ Displaystyle b (Y, X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ Displaystyle \ бета (Y, X)}$${\ displaystyle b (Y, X)}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle Y}$

$${\ displaystyle | y | _ {B} = \ sup _ {x \ in B} | \ langle x, y \ rangle |, \ qquad y \ in Y, \ qquad B \ in {\ mathcal {B}}. }$$

Теперь определение сильной дуальной топологии происходит так же, как и в случае TVS. Обратите внимание, что if - TVS, чье непрерывное двойственное пространство

разделяет точку на then, является частью канонической дуальной системы, где в частном случае, когда является локально выпуклым пространством , сильная топология на (непрерывном) сопряженном пространстве (то есть на пространстве всех непрерывных линейных функционалов ) определяется как сильная топология и совпадает с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в, т. е. с топологией на, порожденной полунормами вида ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ left (X, X ^ {\ prime}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ right)}$${\ displaystyle \ left \ langle x, x ^ {\ prime} \ right \ rangle: = x ^ {\ prime} (x).}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ бета \ влево (Х ^ {\ прайм}, Х \ вправо),}$${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

$${\ Displaystyle | е | _ {B} = \ sup _ {x \ in B} | f (x) |, \ qquad {\ text {где}} f \ in X ^ {\ prime},}$$

где пробегает семейство всех ограниченных множеств в Пространстве с такой топологией называется сильно дуальным пространством пространства и обозначается${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X.}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X _ {\ beta} ^ {\ prime}.}$

Определение на TVS

Предположим, что это

топологическое векторное пространство (TVS) над полем. Позвольте быть любой фундаментальной системой ограниченных множеств из ; то есть, это семейство ограниченных подмножеств таких, что каждое ограниченное подмножество является подмножеством некоторого ; множество всех ограниченных подмножеств образует фундаментальную систему ограниченных множеств базис замкнутых окрестностей нуля в задается полярам : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {F}.}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

$${\ Displaystyle B ^ {\ circ}: = \ left \ {x ^ {\ prime} \ in X ^ {\ prime}: \ sup _ {x \ in B} \ left | x ^ {\ prime} (x ) \ right | \ leq 1 \ right \}}$$

как колеблется ). Это локально выпуклая топология, которая задается множеством полунорм на : as пробегает${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ left | x ^ {\ prime} \ right | _ {B}: = \ sup _ {x \ in B} \ left | x ^ {\ prime} (x) \ right |}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$

Если это

нормируемым то так и будет на самом деле быть банахово пространство . Если - нормированное пространство с нормой, то имеет каноническую норму ( операторную норму ), задаваемую формулой ; топология, которую индуцирует эта норма , идентична сильной дуальной топологии. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ left \ | x ^ {\ prime} \ right \ |: = \ sup _ {\ | x \ | \ leq 1} \ left | x ^ {\ prime} (x) \ right |}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

Двунаправленный

Смотрите также: Банахово пространство § Двустороннее , рефлексивное пространство и полурефлексивное пространство

Бидуальный или второй сопряженные из ТВС часто обозначаемого является сильным сопряженным сильным сопряженным : ${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle Х ^ {\ прайм \ прайм},}$${\ displaystyle X}$

$${\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime} \,: = \, \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime}}$$

где обозначает наделен сильной двойной топологии Если не указано иное, векторное пространство , как правило , предполагается, что наделены сильной двойной топологией , индуцированной на нее и в этом случае ее называют сильным бидуальный из ; это, ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle b \ left (X ^ {\ prime}, X \ right).}$${\ Displaystyle Х ^ {\ прайм \ прайм}}$${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime},}$${\ displaystyle X}$

$${\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime} \,: = \, \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$$

где векторное пространство наделено сильной дуальной топологией${\ Displaystyle Х ^ {\ прайм \ прайм}}$${\ displaystyle b \ left (X ^ {\ prime \ prime}, X_ {b} ^ {\ prime} \ right).}$

Характеристики

Позвольте быть

локально выпуклой TVS. ${\ displaystyle X}$

• Выпуклое сбалансированное слабо компактное подмножество ограничено в${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}.}$
• Каждое слабо ограниченное подмножество сильно ограничено.${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$
• Если это

бочкообразное пространство, то топология идентична сильной дуальной топологии и топологии Макки на${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle б \ влево (X, X ^ {\ prime} \ right)}$${\ displaystyle X.}$

Если является метризуемым локально выпуклым пространством, то сильное двойственное к нему является

борнологическим пространством тогда и только тогда, когда оно является инфраузловым пространством , тогда и только тогда, когда оно является бочкообразным пространством .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Если отделимо локально выпуклое ТВС , то есть

метризуемый тогда и только тогда , когда существует счетное множество ограниченных подмножеств таким образом, что каждое ограниченное подмножество содержится в некотором элементе${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ влево (X, б \ влево (X, X ^ {\ prime} \ вправо) \ вправо)}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$

Если является локально выпуклым, то эта топология тоньше, чем все другие

-топологии на, если рассматривать только 's, множества которых являются подмножествами${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle X.}$

Если -

борнологическое пространство (например, метризуемое или LF-пространство ), то является полным .${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle X_ {б (X ^ {\ prime}, X)} ^ {\ prime}}$

Если -

бочкообразное пространство , то его топология совпадает с сильной топологией на и с топологией Макки на, порожденной спариванием${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ бета \ влево (X, X ^ {\ prime} \ right)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ left (X, X ^ {\ prime} \ right).}$

Примеры

Если -

нормированное векторное пространство , то его (непрерывное) сопряженное пространство с сильной топологией совпадает с двойственным банаховым пространством ; то есть с пространством с топологией, индуцированной операторной нормой . Наоборот, -топология на идентична топологии, индуцированной нормой на${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ left (X, X ^ {\ prime} \ right).}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

Смотрите также

• Двойная топология
• Двойная система
• Список топологий  - Список конкретных топологий и топологических пространств
• Полярная топология  -

топология двойного пространства с равномерной сходимостью на некотором поднаборе ограниченных подмножеств.

Рефлексивное пространство

Полурефлексивное пространство

Сильная топология

Топологии на пространствах линейных отображений

использованная литература

Список используемой литературы

• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158 .