Полурефлексивное пространство - Semi-reflexive space

В области математики, известной как функциональный анализ , полурефлексивное пространство - это локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS) X, такое что каноническая оценка отображает X в его двузначное (которое является сильным двойственным сильным двойственным к X ) биективен. Если это отображение также является изоморфизмом TVS, то оно называется рефлексивным .

Полурефлексивные пространства играют важную роль в общей теории локально выпуклых ТВП. Поскольку нормализуемая TVS является полурефлексивной тогда и только тогда, когда она является рефлексивной, концепция полурефлексивности в основном используется с ненормируемыми TVS.

Определение и обозначения

Краткое определение

Предположим , что $X$ является топологическое векторное пространство (TVS) над полем (это либо действительные или комплексные числа) , чье непрерывное двойственное пространство , , разделяет точки на $X$ (т.е. для любого существует некоторая такая , что ). Пусть и как Обозначим сильное сопряженное из $X$ , что векторное пространство непрерывных линейных функционалов на $X$ , наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножеств из $X$ ; эту топологию также называют сильной двойственной топологией, и это топология «по умолчанию», размещенная в непрерывном двойном пространстве (если не указана другая топология). Если $X$ - нормированное пространство, то сильное двойственное к $X$ - непрерывное сопряженное пространство с его обычной топологией нормы. Бидуальный из $X$ , обозначается , является сильным сопряженным ; то есть это пространство . ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle х ^ {\ прайм} \ в х ^ {\ прайм}}$ ${\ Displaystyle х ^ {\ прайм} (х) \ neq 0}$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X _ {\ beta} ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle Х ^ {\ прайм \ прайм}}$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$

Для любого let быть определенным , где называется оценочной картой в $x$ ; так как обязательно непрерывно, отсюда следует, что . Поскольку точки на $X$ разделяются , карта, определяемая с помощью , инъективна, где эта карта называется оценочной картой или канонической картой . Эта карта была представлена Гансом Ханом в 1927 году. ${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ Displaystyle J_ {x}: X ^ {\ prime} \ to \ mathbb {F}}$ ${\ displaystyle J_ {x} \ left (x ^ {\ prime} \ right) = x ^ {\ prime} (x)}$ ${\ displaystyle J_ {x}}$ ${\ Displaystyle J_ {x}: X_ {b} ^ {\ prime} \ to \ mathbb {F}}$ ${\ Displaystyle J_ {x} \ in \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle J: X \ to \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle J (x): = J_ {x}}$

Мы называем $X$ полурефлексивным, если оно биективно (или, что эквивалентно, сюръективно ), и называем $X$ рефлексивным, если вдобавок является изоморфизмом TVS. Если $X$ - нормированное пространство, то $J$ является TVS-вложением, а также изометрией в свой образ; кроме того, по теореме Голдстайна (доказанной в 1938 г.) диапазон значений $J$ является плотным подмножеством бидуала . Нормируемое пространство рефлексивно тогда и только тогда , когда она является пол-рефлексивным. Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда , когда замкнутый единичный шар -compact. ${\ displaystyle J: X \ to \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle J: X \ to X ^ {\ prime \ prime} = \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ prime \ prime}, \ sigma \ left (X ^ {\ prime \ prime}, X ^ {\ prime} \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$

Подробное определение

Пусть $X$ - топологическое векторное пространство над числовым полем ( действительных или комплексных чисел ). Рассмотрим его сильное сопряженное пространство , состоящее из всех непрерывных линейных функционалов и оборудуют с сильной топологией , то есть топология равномерной сходимости на ограниченных подмножеств в $X$ . Пространство является топологическим векторным пространством (точнее, локально выпуклым пространство), поэтому можно считать его сильное сопряженное пространство , которое называется сильным бидуальным пространство для $X$ . Он состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжен сильной топологией . Каждый вектор генерирует карту по следующей формуле: ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {F}}$ ${\ Displaystyle б \ влево (Х ^ {\ прайм}, Х \ вправо)}$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle h: X_ {b} ^ {\ prime} \ to {\ mathbb {F}}}$ ${\ displaystyle b \ left (\ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime}, X_ {b} ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle J (x): X_ {b} ^ {\ prime} \ to \ mathbb {F}}$

{\ Displaystyle J (x) (f) = f (x), \ qquad f \ in X '.}

Это непрерывный линейный функционал на , т. Е .. Получается карта, называемая оценочной картой или канонической инъекцией : ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle J (x) \ in \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$

{\ displaystyle J: X \ to \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}.}

которое является линейным отображением. Если $X$ локально выпукло, из Хана-Банаха следует , что $J$ инъективна и открыта (то есть, для каждой окрестности нуля в $X$ существует окрестность нуля $V$ в таким образом, что ). Но он может быть несюръективным и / или прерывистым. ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle J (U) \ supseteq V \ cap J (X)}$

Локально выпуклое пространство называется полурефлексивным, если оценочное отображение сюръективно (следовательно, биективно); он называется рефлексивным, если оценочная карта сюръективна и непрерывна, и в этом случае $J$ будет изоморфизмом TVS ). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle J: X \ to \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle J: X \ to \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$

Характеризации полурефлексивных пространств

Если $X$ - хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие утверждения эквивалентны:

$X$ полурефлексивен;
слабая топология на $X$ обладала свойством Гейне-Бореля (то есть для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество в является слабо компактным). ${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle X _ {\ sigma}}$
Если линейная форма на той непрерывной, когда имеет сильную двойственную топологию, то она непрерывна, когда имеет слабую топологию; ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$
${\ Displaystyle X _ {\ тау} ^ {\ prime}}$ является стволом , где указывает Макки топологию на ; ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$
$X$ слабая слабая топология является квази-полной . ${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$

Теорема - Локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно тогда и только тогда, когда с -топологией обладает свойством Гейне – Бореля (т. Е. Слабо замкнутые и ограниченные подмножества являются слабо компактными). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle X}$

Достаточные условия

Каждое полумонтельское пространство полурефлексивно, и каждое пространство Монтел рефлексивно.

Характеристики

Если является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то каноническая инъекция из в его двумерное пространство является топологическим вложением тогда и только тогда, когда оно является неузданным. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Сильный дуал полурефлексивного пространства является бочкообразным . Каждое полурефлексивное пространство квазиполно . Каждое полурефлексивное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством. Сильный дуал полурефлексивного пространства является бочкообразным.

Рефлексивные пространства

Если $X$ - хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие утверждения эквивалентны:

$Х$ является рефлексивный ;
$Х$ является полурефлексивным и стволом ;
$X$ является бочкообразным, а слабая топология на $X$ обладает свойством Гейне-Бореля (что означает, что для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество является слабо компактным). ${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle X _ {\ sigma}}$
$X$ является полурефлексивным и квазибаррелевым .

Если $X$ - нормированное пространство, то следующие утверждения эквивалентны:

$X$ рефлексивен;
замкнутый единичный шар компактен, когда $X$ имеет слабую топологию . ${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$
$X$ - банахово пространство и рефлексивно. ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$

Примеры

Всякое нерефлексивное бесконечномерное банахово пространство - это выделенное пространство , не являющееся полурефлексивным. Если - плотное собственное векторное подпространство рефлексивного банахова пространства, то это нормированное пространство, которое не полурефлексивно, но его сильно сопряженное пространство является рефлексивным банаховым пространством. Существует полурафлексивное пространство со счетными стволами , которое не является стволом . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Смотрите также

Пространство Гротендика - обобщение, которое обладает некоторыми свойствами рефлексивных пространств и включает много пространств, имеющих практическое значение.
Рефлексивная операторная алгебра
Рефлексивное пространство

Цитаты

Список используемой литературы

Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.
Джон Б. Конвей , Курс функционального анализа , Springer, 1985.
Джеймс, Роберт К. (1972), Некоторые самодвойственные свойства линейных нормированных пространств. Симпозиум по бесконечномерной топологии (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, штат Луизиана, 1967) , Ann. математики. Исследования, 69 , Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Press, стр. 159–175..
Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
Колмогоров, АН; Фомин, С.В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, Том 1: Метрические и нормированные пространства . Рочестер: Graylock Press.
Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Тексты для выпускников по математике, 183 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 596, ISBN 0-387-98431-3.
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

Languages

In other projects