Цоколь (математика) - Socle (mathematics)

В математике термин « цоколь» имеет несколько связанных значений.

Цоколь группы

В контексте теории групп , то цоколь из группы G , обозначаются Soc ( G ), является подгруппой , порожденной минимальными нормальными подгруппами из G . Может случиться так, что группа не имеет минимальной нетривиальной нормальной подгруппы (то есть каждая нетривиальная нормальная подгруппа должным образом содержит другую такую ​​подгруппу), и в этом случае цоколь определяется как подгруппа, порожденная единицей. Цоколь является прямым продуктом минимальных нормальных подгрупп.

В качестве примера рассмотрим циклическую группу Z ₁₂ с образующей u , у которой есть две минимальные нормальные подгруппы: одна порождается u ⁴ (что дает нормальную подгруппу с 3 элементами), а другая - u ⁶ (которая дает нормальную подгруппу с 2 элементы). Таким образом, цоколь Z ₁₂ - это группа, порожденная u ⁴ и u ⁶ , а это просто группа, порожденная u ² .

Цоколь - характеристическая подгруппа , а значит, нормальная подгруппа. Однако это не обязательно транзитивно нормально .

Если группа G является конечной разрешимой группой , то цоколь можно выразить как произведение элементарных абелевых p -групп . Таким образом, в данном случае это просто произведение копий Z / p Z для различных p , где одно и то же p может встречаться в продукте несколько раз.

Цоколь модуля

В контексте теории модулей и теории колец цоколь модуля M над кольцом R определяется как сумма минимальных ненулевых подмодулей М . Его можно рассматривать как двойное понятие к этому из Радикал модуля . В обозначениях набора

${\ displaystyle \ mathrm {soc} (M) = \ sum \ {N \ mid N {\ text {- простой подмодуль}} M \}.}$

Эквивалентно,

${\ displaystyle \ mathrm {soc} (M) = \ bigcap \ {E \ mid E {\ text {является важным подмодулем}} M \}.}$

Цоколь кольца R может относиться к одному из двух множеств в кольце. Рассматривая R как правый R- модуль, определяется soc ( R _R ), а рассматривая R как левый R- модуль, определяется soc ( _R R ). Оба этих цоколя являются кольцевыми идеалами и, как известно, не обязательно равны.

• Если M является артинами модуля , SOC ( M ) сам по себе является существенным подмодулем в M .
• Модуль представляет полупрост тогда и только тогда , когда SOC ( М ) =  М . Кольца, для которых soc ( M ) =  M для всех M, являются в точности полупростыми кольцами .
• soc (soc ( M )) = soc ( M ).
• М является конечно копорожденным модулем тогда и только тогда , когда SOC ( М ) конечно порождены и Soc (М) представляют собой существенный подмодуль из М .
• Поскольку сумма полупростых модулей полупроста, цоколь модуля также может быть определен как единственный максимальный полупростой подмодуль.
• Из определения rad ( R ) легко видеть, что rad ( R ) аннулирует soc ( R ). Если R является конечномерен унитальной алгеброй и М конечно порожденный R - модуль , то цоколь состоит именно из элементов аннулируемых в Jacobson радикала из R .

Цоколь алгебры Ли

В контексте алгебр Ли , А цоколь симметричной алгебры Ли является подпространством его структурной автоморфизме , что соответствует собственному значению -1. (Симметричная алгебра Ли разлагается на прямую сумму своего цоколя и косокла .)

Смотрите также

• Инъективный корпус
• Радикальный модуль
• Cosocle

Рекомендации

• Альперин, JL ; Белл, Роуэн Б. (1995). Группы и представления . Springer-Verlag . п. 136 . ISBN 0-387-94526-1.
• Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992). Кольца и категории модулей . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97845-1.
• Робинсон, Дерек Дж. С. (1996), курс теории групп , Graduate Texts in Mathematics , 80 (2 ed.), New York: Springer-Verlag , pp. Xviii + 499, doi : 10.1007 / 978-1-4419 -8594-1 , ISBN 0-387-94461-3, MR  1357169

Указатель статей, связанных с тем же именем

Эта статья включает список связанных элементов с одинаковыми (или похожими именами).
Если внутренняя ссылка привела вас сюда неправильно, вы можете изменить ссылку, чтобы она указывала прямо на предполагаемую статью.