Косой апейроэдр - Skew apeirohedron

В геометрии , A перекос apeirohedron является бесконечной перекос полиэдр , состоящей из неплоских граней или неплоских фигур вершин , что позволяет расширить фигуру неопределенно долго без складывания круглого, образуя замкнутую поверхность.

Косые апейроэдры также получили название многогранных губок .

Многие из них напрямую связаны с выпуклой однородной сотой , представляющей собой многоугольную поверхность соты с удаленными некоторыми ячейками . Характерно, что бесконечный косой многогранник делит трехмерное пространство на две половины. Если одна половина считается твердой, фигуру иногда называют частичными сотами .

Правильные косые апейроэдры

Согласно Кокстеру , в 1926 году Джон Флиндерс Петри обобщил понятие правильных косых многоугольников (неплоских многоугольников) на правильные косые многогранники (апейроэдры).

Коксетер и Петри нашли три из них, которые заполнили 3-пространство:

Правильные косые апейроэдры
{4,6 \| 4} слизистая оболочка	{6,4 \| 4} муоктаэдр	{6,6 \| 3} мутетраэдр

Также существуют киральные косые апейроэдры типов {4,6}, {6,4} и {6,6}. Эти косые апейроэдры являются вершинно-транзитивными , реберно-транзитивными и гранно -транзитивными , но не зеркально-симметричными ( Schulte 2004 ).

Помимо евклидова трехмерного пространства, в 1967 году К.В.Л. Гарнер опубликовал набор из 31 правильного косого многогранника в трехмерном гиперболическом пространстве.

Правильные псевдополиэдры Готта

Дж. Ричард Готт в 1967 г. опубликовал более крупный набор из семи бесконечных косых многогранников, которые он назвал правильными псевдополиэдрами , включая три из Кокстера как {4,6}, {6,4} и {6,6} и четыре новых: {5,5}, {4,5}, {3,8}, {3,10}.

Готт смягчил определение регулярности, чтобы допустить его новые цифры. Если Кокстер и Петри требовали, чтобы вершины были симметричными, Готт требовал только, чтобы они были конгруэнтными. Таким образом, новые примеры Готта не являются регулярными по определению Кокстера и Петри.

Готт называется полным набор правильных многогранников , регулярных разбиений и регулярного pseudopolyhedra как регулярные обобщенных многогранники , представимых {р, д} символ Шлефл , с помощью р-угольных граней, кв вокруг каждой вершины. Однако ни термин «псевдополиэдр», ни определение регулярности Готта не получили широкого распространения.

Кристаллограф А. Ф. Уэллс в 1960-х также опубликовал список косых апейроэдров. Мелинда Грин опубликовала еще много в 1998 году.

{p, q}	Ячейки вокруг вершины	Вершинные грани	Более крупный узор	Космическая группа			Связанные обозначения орбифолда H ²
{p, q}	Ячейки вокруг вершины	Вершинные грани	Более крупный узор	Кубическая пространственная группа	Обозначение Кокстера	Обозначение фибрифолда	Связанные обозначения орбифолда H ²
{4,5}	3 кубика			Я 3 м	[[4,3,4]]	8 °: 2	* 4222
{4,5}	1 усеченный октаэдр 2 гексагональные призмы			Я 3	[[4,3 ⁺ , 4]]	8 °: 2	2 * 42
{3,7}	1 октаэдр 1 икосаэдр			Fd 3	[[3 ^[4] ]] ⁺	2 ° ^-	3222
{3,8}	2 плоских кубика			FM 3 м	[4, (3,4) ⁺ ]	2 ⁻⁻	32 *
{3,9}	1 тетраэдр 3 октаэдра			Ж / д 3 м	[[3 ^[4] ]]	2 ⁺ : 2	2 * 32
{3,9}	1 икосаэдр 2 октаэдра			Я 3	[[4,3 ⁺ , 4]]	8 °: 2	22 * 2
{3,12}	5 октаэдров			Я 3 м	[[4,3,4]]	8 °: 2	2 * 32

Призматические формы

Призматическая форма: {4,5}

Есть две призматические формы:

{4,5}: 5 квадратов на вершине (две параллельные квадратные мозаики, соединенные кубическими отверстиями).
{3,8}: 8 треугольников на вершине (два параллельных треугольника, соединенных октаэдрическими отверстиями).

Другие формы

{3,10} также образован из параллельных плоскостей треугольных плиток с чередующимися октаэдрическими отверстиями в обоих направлениях.

{5,5} состоит из 3-х копланарных пятиугольников вокруг вершины и двух перпендикулярных пятиугольников, заполняющих зазор.

Готт также признал, что существуют и другие периодические формы регулярных плоских мозаик. И квадратная мозаика {4,4}, и треугольная мозаика {3,6} могут быть изогнуты, приближаясь к бесконечным цилиндрам в трехмерном пространстве.

Теоремы

Он написал несколько теорем:

Для любого правильного многогранника {p, q}: (p-2) * (q-2) <4. Для каждой регулярной мозаики: (p-2) * (q-2) = 4. Для каждого правильного псевдополиэдра: (p-2) * (q-2)> 4.
Количество граней, окружающих данную грань, равно p * (q-2) в любом правильном обобщенном многограннике.
Каждый правильный псевдополиэдр аппроксимирует отрицательно искривленную поверхность.
Семь правильных псевдополиэдров представляют собой повторяющиеся структуры.

Однородные косые апейроэдры

Есть много других однородных ( вершинно-транзитивных ) косых апейроэдров. Вахманн, Берт и Кляйнманн (1974) обнаружили множество примеров, но неизвестно, является ли их список полным.

Некоторые из них показаны здесь. Их можно назвать по конфигурации вершин , хотя это не уникальное обозначение для перекосов.

Однородные косые апейроэдры, относящиеся к однородным сотам
4.4.6.6		6.6.8.8

Относится к усеченным кубическим сотам ,		Относится к руническим кубическим сотам ,
4.4.4.6	4.8.4.8	3.3.3.3.3.3.3

Относительно усеченных кубических сот :
4.4.4.6	4.4.4.8	3.4.4.4.4
		Относится к усеченным кубическим сотам .