Функция Швингера - Schwinger function

В квантовой теории поля , то распределение вайтмановские может быть аналитически продолжена в аналитических функций в евклидовом пространстве с доменом ограничивается упорядоченного множества точек в евклидовом пространстве с не совпадающими точками. Эти функции называются функциями Швингера (названы в честь Джулиана Швингера ), и они являются вещественно-аналитическими, симметричными относительно перестановки аргументов (антисимметричными для фермионных полей ), евклидовыми ковариантными и обладают свойством, известным как положительность отражения . Свойства функций Швингера известны как аксиомы Остервальдера-Шрадера (названные в честь Конрада Остервальдера и Роберта Шрадера ). Функции Швингера также называют евклидовыми корреляционными функциями .

Аксиомы Остервальдера-Шрадера

Здесь мы опишем Остервальдер-Schrader (OS) аксиомы евклидовой квантовой теории поля эрмитов скалярного поля , . Обратите внимание, что типичная квантовая теория поля будет содержать бесконечно много локальных операторов, включая также составные операторы , и их корреляторы также должны удовлетворять аксиомам ОС, подобным тем, которые описаны ниже. ${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {d}}$

Функции Швингера обозначаются как ${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle S_ {n} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ Equiv \ langle \ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ ldots \ phi (x_ {n} ) \ rangle, \ quad x_ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {d}.}$

Аксиомы ОС из пронумерованы (E0) - (E4) и имеют следующее значение:

• (E0) Умеренность
• (E1) Евклидова ковариация
• (E2) Положительность
• (E3) Симметрия
• (E4) Кластерное свойство

Сдержанность

Аксиома умеренности (E0) гласит, что функции Швингера - это умеренные распределения вдали от совпадающих точек. Это означает, что они могут быть интегрированы с тестовыми функциями Шварца, которые обращаются в нуль вместе со всеми их производными в конфигурациях, где две или более точек совпадают. Из этой аксиомы и других аксиом ОС (но не из условия линейного роста) можно показать, что функции Швингера фактически аналитичны вдали от совпадающих точек.

Евклидова ковариация

Аксиома евклидовой ковариации (E1) утверждает, что функции Швингера преобразуются ковариантно при поворотах и ​​сдвигах, а именно:

${\ Displaystyle S_ {n} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = S_ {n} (Rx_ {1} + b, \ ldots, Rx_ {n} + b)}$

для произвольной матрицы вращения и произвольного вектора сдвига . Аксиомы ОС могут быть сформулированы для функций Швингера от полей, преобразующихся в произвольные представления группы вращений. ${\ Displaystyle R \ в SO (d)}$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

Симметрия

Аксиома симметрии (E3) говорит, что функции Швингера инвариантны относительно перестановок точек:

${\ Displaystyle S_ {n} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = S_ {n} (x _ {\ pi (1)}, \ ldots, x _ {\ pi (n)})}$,

где - произвольная перестановка . Вместо этого функции Швингера фермионных полей антисимметричны; для них это уравнение будет иметь знак ±, равный сигнатуре перестановки. ${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle \ {1, \ ldots, п \}}$

Кластерное свойство

Кластерное свойство (E4) говорит, что функция Швингера сводится к произведению, если две группы точек отделены друг от друга большим постоянным сдвигом: ${\ displaystyle S_ {p + q}}$${\ Displaystyle S_ {p} S_ {q}}$

${\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} S_ {p + q} (x_ {1}, \ ldots, x_ {p}, x_ {p + 1} + b, \ ldots, x_ {p + q) } + b) = S_ {p} (x_ {1}, \ ldots, x_ {p}) S_ {q} (x_ {p + 1}, \ ldots, x_ {p + q})}$.

Предел понимается в смысле распределений. Также существует техническое предположение, что две группы точек лежат по две стороны от гиперплоскости, а вектор параллелен ей: ${\ displaystyle x ^ {0} = 0}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle x_ {1} ^ {0}, \ ldots, x_ {p} ^ {0}> 0, \ quad x_ {p + 1} ^ {0}, \ ldots, x_ {p + q} ^ { 0} <0, \ quad b ^ {0} = 0.}$

Позитивное отражение

Аксиома положительности (E2) утверждает следующее свойство, называемое положительностью отражения (Остервальдера-Шредера). Выберите любую произвольную координату τ и выберите пробную функцию f _N с N точками в качестве аргументов. Пусть F _N имеет свою поддержку в «хронологического» подмножество N точек с 0 <τ ₁ <... <т _N . Выберите один такой п _N для каждого положительного N , причем F ' S равна нулю для всех N больше , чем некоторого целого числа М . Для данной точки позвольте быть отраженной точкой относительно гиперплоскости τ = 0 . Потом, ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х ^ {\ theta}}$

${\ displaystyle \ sum _ {m, n} \ int d ^ {d} x_ {1} \ cdots d ^ {d} x_ {m} \, d ^ {d} y_ {1} \ cdots d ^ {d } y_ {n} S_ {m + n} (x_ {1}, \ dots, x_ {m}, y_ {1}, \ dots, y_ {n}) f_ {m} (x_ {1} ^ {\ theta}, \ dots, x_ {m} ^ {\ theta}) ^ {*} f_ {n} (y_ {1}, \ dots, y_ {n}) \ geq 0}$

где * представляет комплексное сопряжение .

Иногда в литературе по теоретической физике позитивность отражения формулируется как требование, чтобы функция Швингера произвольного четного порядка была неотрицательной, если точки вставлены симметрично относительно гиперплоскости: ${\ Displaystyle \ тау = 0}$

${\ displaystyle S_ {2n} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n} ^ {\ theta}, \ dots, x_ {1} ^ {\ theta}) \ geq 0}$.

Это свойство действительно следует из положительности отражения, но оно слабее, чем положительность полного отражения.

Интуитивное понимание

Одним из способов (формально) построения функций Швингера, удовлетворяющих указанным выше свойствам, является евклидов интеграл по путям . В частности, евклидовы интегралы по траекториям (формально) удовлетворяют положительности отражения. Пусть F - любой полиномиальный функционал поля φ , не зависящий от значения φ ( x ) для тех точек x , координаты τ которых неположительны. потом

${\ displaystyle \ int {\ mathcal {D}} \ phi F [\ phi (x)] F [\ phi ({\ bar {x}})] ^ {*} e ^ {- S [\ phi]} = \ int {\ mathcal {D}} \ phi _ {0} \ int _ {\ phi _ {+} (\ tau = 0) = \ phi _ {0}} {\ mathcal {D}} \ phi _ {+} F [\ phi _ {+}] e ^ {- S _ {+} [\ phi _ {+}]} \ int _ {\ phi _ {-} (\ tau = 0) = \ phi _ { 0}} {\ mathcal {D}} \ phi _ {-} F [{\ bar {\ phi}} _ {-}] ^ {*} e ^ {- S _ {-} [\ phi _ {-} ]}.}$

Поскольку действие S вещественно и может быть разделено на S +, которое зависит только от φ на положительном полупространстве, и S - которое зависит только от φ на отрицательном полупространстве, и если S также оказывается инвариантным относительно комбинированное действие отражения и комплексного сопряжения всех полей, тогда предыдущая величина должна быть неотрицательной.

Теорема Остервальдера – Шредера

Теорема Остервальдера-Шредера утверждает, что евклидовы функции Швингера, которые удовлетворяют указанным выше аксиомам (E0) - (E4) и дополнительному свойству (E0 '), называемому условием линейного роста, могут быть аналитически продолжены до лоренцевых распределений Вайтмана, которые удовлетворяют аксиомам Вайтмана и, таким образом, определяют квантовая теория поля .

Условие линейного роста

Это условие, называемое (E0 ') in, утверждает, что когда функция порядка Швингера сочетается с произвольной пробной функцией Шварца, которая обращается в нуль в совпадающих точках, мы имеем следующую оценку: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle | S_ {n} (е) | \ leq \ sigma _ {n} | f | _ {C \ cdot n},}$

где - целая константа, - полунорма пространства Шварца порядка , т. е. ${\ displaystyle C \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle | f | _ {C \ cdot n}}$${\ displaystyle N = C \ cdot n}$

${\ Displaystyle | е | _ {N} = \ sup _ {| \ альфа | \ leq N, x \ in \ mathbb {R} ^ {d}} | (1+ | x |) ^ {N} D ^ {\ alpha} f (x) |,}$

и последовательность констант факторного роста , т.е. с некоторыми константами . ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$${\ Displaystyle \ сигма _ {п} \ leq A (п!) ^ {B}}$${\ displaystyle A, B}$

Условие линейного грота является тонким, поскольку оно должно выполняться для всех функций Швингера одновременно. Он также не был выведен из аксиом Вайтмана , так что система аксиом ОС (E0) - (E4) плюс условие линейного роста (E0 ') оказывается сильнее, чем аксиомы Вайтмана .

История

Сначала Остервальдер и Шредер заявили более сильную теорему о том, что аксиомы (E0) - (E4) сами по себе подразумевают аксиомы Вайтмана , однако их доказательство содержало ошибку, которую нельзя было исправить без добавления дополнительных предположений. Два года спустя они опубликовали новую теорему с добавлением условия линейного роста в качестве предположения и правильного доказательства. Доказательство основано на сложном индуктивном аргументе (предложенном также Владимиром Глэзером ), с помощью которого область аналитичности функций Швингера постепенно расширяется в сторону пространства Минковского, а распределения Вайтмана восстанавливаются как предел. Условие линейного роста (E0 ') критически используется, чтобы показать, что предел существует и является умеренным распределением.

Ref. также содержит другую теорему, заменяющую (E0 ') еще одним предположением, называемым . Эта другая теорема используется редко, поскольку ее трудно проверить на практике. См., Например, обзор этих фактов. ${\ displaystyle {\ check {\ text {(E0)}}}}$${\ displaystyle {\ check {\ text {(E0)}}}}$

Другие аксиомы для функций Швингера

Аксиомы Глимма и Яффе

Альтернативный подход к аксиоматизации евклидовых корреляторов описан Глиммом и Яффе в их книге. В этом подходе предполагается, что дана мера на пространстве распределений . Затем рассматривается производящий функционал ${\ displaystyle d \ mu}$${\ Displaystyle \ phi \ in D '(\ mathbb {R} ^ {d})}$

${\ Displaystyle S (е) = \ int e ^ {\ phi (f)} d \ mu, \ quad f \ in D (\ mathbb {R} ^ {d})}$

который, как предполагается, удовлетворяет свойствам OS0-OS4:

• (OS0) Аналитичность. Это утверждает, что

${\ displaystyle z = (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) \ mapsto S \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} f_ {i} \ right)}$

является целиком аналитической функцией для любого набора тестовых функций с компактным носителем . Интуитивно это означает, что мера затухает быстрее любой экспоненты. ${\ Displaystyle г \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle е_ {я} \ в D (\ mathbb {R} ^ {d})}$${\ displaystyle d \ mu}$

• (OS1) Регулярность . Это требует роста направляющийся с точки зрения , например . См. Точное состояние.${\ Displaystyle S (е)}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle | S (е) | \ Leq \ ехр \ влево (С \ int d ^ {d} х | е (х) | \ справа)}$
• (OS2) Евклидова инвариантность. Это говорит об инвариантности функционала относительно евклидовых преобразований .${\ Displaystyle S (е)}$${\ Displaystyle f (x) \ mapsto f (Rx + b)}$
• (OS3) Позитивное отражение. Возьмет конечную последовательность тестовых функций , которые все поддерживаемые в верхнем полупространстве , т.е. в . Обозначим где - операция отражения, определенная выше. Эта аксиома гласит, что матрица должна быть положительно полуопределенной.${\ Displaystyle е_ {я} \ в D (\ mathbb {R} ^ {d})}$${\ displaystyle x ^ {0}> 0}$${\ Displaystyle \ тета е_ {я} (х) = е_ {я} (\ тета х)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle M_ {ij} = S (f_ {i} + \ theta f_ {j})}$
• (OS4) Эргодичность. Полугруппа сдвигов времени действует эргодически на пространстве с мерой . См. Точное состояние.${\ displaystyle (D '(\ mathbb {R} ^ {d}), d \ mu)}$

Связь с аксиомами Остервальдера-Шрадера

Хотя приведенные выше аксиомы были названы Глиммом и Яффе (OS0) - (OS4) в честь Остервальдера и Шредера, они не эквивалентны аксиомам Остервальдера-Шрадера.

Учитывая (OS0) - (OS4), можно определить функции Швингера как моменты меры и показать, что эти моменты удовлетворяют аксиомам Остервальдера-Шрадера (E0) - (E4), а также условиям линейного роста (E0 '). Затем можно обратиться к теореме Остервальдера-Шрадера, чтобы показать, что функции Вайтмана являются умеренными распределениями. В качестве альтернативы, что намного проще, можно вывести аксиомы Вайтмана непосредственно из (OS0) - (OS4). ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle d \ mu}$

Однако обратите внимание, что полная квантовая теория поля будет содержать бесконечно много других локальных операторов, помимо , таких как , и других составных операторов, построенных из и его производных. Нелегко извлечь эти функции Швингера из меры и показать, что они удовлетворяют аксиомам ОС, как это и должно быть. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi ^ {2}}$${\ displaystyle \ phi ^ {4}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle d \ mu}$

Подводя итог, можно сказать, что аксиомы, названные (OS0) - (OS4) Глиммом и Яффе, сильнее аксиом ОС в том, что касается корреляторов поля , но слабее, чем полный набор аксиом ОС, поскольку они не говорят много о корреляторах составных операторов. ${\ displaystyle \ phi}$

Аксиомы Нельсона

Эти аксиомы были предложены Эдвардом Нельсоном . См. Также их описание в книге Барри Саймона. Как и в приведенных выше аксиомах Глимма и Яффе, предполагается, что поле является случайным распределением с мерой . Эта мера достаточно регулярна, так что поле имеет регулярность соболевского пространства отрицательного производного порядка. Ключевой особенностью этих аксиом является рассмотрение поля, ограниченного поверхностью. Одной из аксиом является марковское свойство , которое формализует интуитивное представление о том, что состояние поля внутри замкнутой поверхности зависит только от состояния поля на поверхности. ${\ Displaystyle \ phi \ in D '(\ mathbb {R} ^ {d})}$${\ displaystyle d \ mu}$${\ displaystyle \ phi}$

Смотрите также

• Вращение фитиля
• Аксиоматическая квантовая теория поля
• Аксиомы Вайтмана

Рекомендации