Разложение Шура - Schur decomposition

В математической дисциплине линейной алгебры , то разложение Щур или Щур триангуляции , названный в честь Исай Шур , является разложение матрицы . Это позволяет записать произвольную комплексную квадратную матрицу как унитарно эквивалентно к верхней треугольной матрице , диагональные элементы которой являются собственными значениями исходной матрицы.

Заявление

Разложение Шура читается следующим образом: если A является квадратной матрицей n × n с комплексными элементами, то A может быть выражено как

где Q является унитарной матрицей (так , чтобы его обратный Q -1 также является сопряженной транспозицией Q * из Q ), и U представляет собой верхняя треугольная матрица , которая называется Шура формы из A . Так как U является похож на А , он имеет тот же спектр , и , поскольку она является треугольной, его собственными значениями являются диагональными элементами U .

Разложение Шура следует , что существует последовательность вложенных A инвариантных подпространств {0} = V 0 ⊂ V 1 ⊂ ⋯ ⊂ V п = С п , и что существует упорядоченная ортогональный базис (для стандартной эрмитовой формы из C п ), так что первые i базисных векторов охватывают V i для каждого i, встречающегося во вложенной последовательности. Выражаясь несколько иначе, первая часть говорит, что линейный оператор J в комплексном конечномерном векторном пространстве стабилизирует полный флаг ( V 1 ,…, V n ) .

Доказательство

Конструктивное доказательство разложения Шура состоит в следующем: каждый оператор A в комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение λ , соответствующее некоторому собственному подпространству V λ . Пусть V λ ⊥ - его ортогональное дополнение. Ясно, что относительно этого ортогонального разложения A имеет матричное представление (здесь можно выбрать любые ортонормированные базисы Z 1 и Z 2, покрывающие V λ и V λ ⊥ соответственно)

где I λ - тождественный оператор на V λ . Вышеупомянутая матрица будет верхнетреугольной, за исключением блока A 22 . Но точно такая же процедура может быть применена к подматрице A 22 , рассматриваемой как оператор на V λ ⊥ , и ее подматрицам. Продолжайте так, пока матрица не станет верхней треугольной. Поскольку каждое сопряжение увеличивает размер верхнетреугольного блока по крайней мере на один, этот процесс занимает не более n шагов. Таким образом, пространство C n будет исчерпано, и процедура дала желаемый результат.

Приведенное выше рассуждение можно слегка переформулировать следующим образом: пусть λ - собственное значение оператора A , соответствующее некоторому собственному подпространству V λ . A индуцирует оператор T на фактор-пространстве C n / V λ . Этот оператор и есть подматрица A 22 сверху. Как и раньше, T будет иметь собственное подпространство, скажем, W µ ⊂ C n по модулю V λ . Обратите внимание , что прообразом W ц при отображении фактора является инвариантным подпространством в A , содержащий V Л . Продолжайте так до тех пор, пока результирующее фактор-пространство не будет иметь размерность 0. Затем последовательные прообразы собственных подпространств, найденные на каждом шаге, образуют флаг, который стабилизируется A.

Примечания

Хотя каждая квадратная матрица имеет разложение Шура, в общем случае это разложение не уникально. Например, собственное подпространство V λ может иметь размерность> 1, и в этом случае любой ортонормированный базис для V λ приведет к желаемому результату.

Запишем треугольную матрицу U как U = D + N , где D диагональная, а N строго верхнетреугольная (и, следовательно, нильпотентная матрица ). Диагональная матрица D содержит собственные значения А в произвольном порядке (отсюда его фробениусову норму, квадрат, является суммой квадратов модулей собственных значений А , в то время как фробениусова норма А , квадрат, является суммой квадратов сингулярных значений из А ). Нильпотентная часть N, как правило, также не единственна, но ее норма Фробениуса однозначно определяется A (просто потому, что норма Фробениуса A равна норме Фробениуса U = D + N ).

Понятно , что если является нормальная матрица , то U от его разложения Шура должен быть диагональной матрицей , а векторы - столбцы Q являются собственными векторами из A . Следовательно, разложение Шура расширяет спектральное разложение . В частности, если является положительно определенным , разложение Шура А , его спектральное разложение, и его разложение по сингулярным значениям совпадают.

Коммутирующих семейство { я } матриц могут быть одновременно triangularized, т.е. существует унитарной матрицы Q таким образом, что, для каждого А я в данном семействе, QA я Q * является верхней треугольной. Это легко вывести из приведенного выше доказательства. Возьмем элемент А из { А я } и снова рассмотрим собственное подпространство V A . Тогда V A инвариантно относительно всех матриц из { A i }. Таким образом, все матрицы { А я } должны совместно использовать один общий собственный вектор в V A . Затем индукция доказывает утверждение. Как следствие, мы получаем, что любое коммутирующее семейство нормальных матриц можно одновременно диагонализовать .

В бесконечномерной ситуации не каждый ограниченный оператор в банаховом пространстве имеет инвариантное подпространство. Однако верхняя треугольная форма произвольной квадратной матрицы действительно обобщается на компактные операторы . Каждый компактный оператор на комплексном банаховом пространстве имеет гнездо замкнутых инвариантных подпространств.

Вычисление

Разложение Шура данной матрицы численно вычисляется с помощью алгоритма QR или его вариантов. Другими словами, корни характеристического полинома, соответствующего матрице, не обязательно вычисляются заранее, чтобы получить его разложение Шура. И наоборот, QR-алгоритм может использоваться для вычисления корней любого заданного характеристического полинома путем нахождения разложения Шура его сопутствующей матрицы . Точно так же алгоритм QR используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхней треугольной матрицы разложения Шура. Хотя QR-алгоритм формально представляет собой бесконечную последовательность операций, сходимость к машинной точности практически достигается в операциях. См. Раздел «Проблемы несимметричных собственных значений» в Руководстве пользователя LAPACK .

Приложения

Приложения теории лжи включают:

Обобщенное разложение Шура

Указанные квадратные матрицы и Б , то обобщенное разложение Шуру дофакторизовываются обе матрицы , как и , где Q и Z являются унитарными и S и Т является верхними треугольным . Обобщенное разложение Шура также иногда называют QZ-разложением .

Обобщенные собственные значения , которые решают задачу на собственные значения обобщенного (где х представляет собой неизвестный вектор отличен от нуля) может быть вычислена как отношение диагональных элементов S к таковым из T . То есть при использовании индексов для обозначения матричных элементов i- е обобщенное собственное значение удовлетворяет .

использованная литература

  1. Перейти ↑ Horn, RA & Johnson, CR (1985). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38632-2.(Раздел 2.3 и далее на стр. 79 )
  2. ^ a b Голуб, Г. Х. и Ван Лоан, CF (1996). Матричные вычисления (3-е изд.). Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 0-8018-5414-8.(Раздел 7.7 на стр. 313 )
  3. ^ Schott, Джеймс Р. (2016). Матричный анализ для статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 175–178. ISBN 978-1-119-09247-6.
  4. ^ Trefethen, Lloyd N .; Бау, Дэвид (1997). Числовая линейная алгебра . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. С. 193–194. ISBN 0-89871-361-7. OCLC  36084666 .CS1 maint: дата и год ( ссылка )
  5. ^ Андерсон, E; Bai, Z; Бишоф, К; Блэкфорд, S; Demmel, J; Донгарра, Дж; Дю Кроз, Дж; Гринбаум, А; Hammarling, S; Маккенни, А; Соренсен, Д. (1995). LAPACK Руководство пользователя . Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-447-8.