Нильпотентная матрица - Nilpotent matrix

В линейной алгебре , А нильпотентна матрица является квадратной матрицей N такое , что

${\ Displaystyle N ^ {k} = 0 \,}$

для некоторого положительного целого числа . Самые маленькие такие , называется индексом из , иногда степень в . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$

В более общем смысле нильпотентное преобразования является линейным преобразованием из векторного пространства таким образом, что для некоторого положительного целого числа (и , таким образом, для всех ). Оба эти понятия являются частными случаями более общего понятия нильпотентности, которое применяется к элементам колец . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L ^ {k} = 0}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle L ^ {j} = 0}$${\ displaystyle j \ geq k}$

Примеры

Пример 1

Матрица

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

нильпотентна с индексом 2, так как . ${\ displaystyle A ^ {2} = 0}$

Пример 2

В более общем смысле, любая -мерная треугольная матрица с нулями вдоль главной диагонали нильпотентна с индексом . Например, матрица ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ leq n}$

${\ displaystyle B = {\ begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

нильпотентен, с

${\ displaystyle B ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}; \ B ^ {3} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}; \ B ^ {4} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Таким образом, индекс равен 4. ${\ displaystyle B}$

Пример 3

Хотя приведенные выше примеры имеют большое количество нулевых элементов, типичная нильпотентная матрица этого не делает. Например,

${\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ 15 & -9 & 6 \\ 10 & -6 & 4 \ end {bmatrix}} \ qquad C ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

хотя в матрице нет нулевых записей.

Пример 4

Кроме того, любые матрицы вида

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {1} & \ cdots & a_ {1} \\ a_ {2} & a_ {2} & \ cdots & a_ {2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ - a_ {1} -a_ {2} - \ ldots -a_ {n-1} & - a_ {1} -a_ {2} - \ ldots -a_ {n-1} & \ ldots & -a_ {1} -a_ {2} - \ ldots -a_ {n-1} \ end {bmatrix}}}$

Такие как

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 5 & 5 & 5 \\ 6 & 6 & 6 \\ - 11 & -11 & -11 \ end {bmatrix}}}$

или

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ - 7 & -7 & -7 & -7 \ end {bmatrix}}}$

квадрат к нулю.

Пример 5

Пожалуй, одними из самых ярких примеров нильпотентных матриц являются квадратные матрицы вида: ${\ Displaystyle п \ раз п}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 & \ cdots & 1-n \\ n + 2 & 1 & 1 & \ cdots & -n \\ 1 & n + 2 & 1 & \ cdots & -n \\ 1 & 1 & n + 2 & \ cdots & -n \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ end {bmatrix}}}$

Первые из них:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 5 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & -3 \ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & 1 & -4 \\ 1 & 6 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 6 & -4 \ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 & -4 \\ 7 & 1 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & 7 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & 1 & 7 & 1 & -5 \\ 1 & 1 & 1 & 7 & -5 \ end {bmatrix}} \ qquad \ ldots}$

Эти матрицы нильпотентны, но в любых их степенях, меньших индекса, нет нулевых элементов.

Характеристика

Для квадратной матрицы с действительными (или комплексными ) элементами следующее эквивалентно: ${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle N}$

• ${\ displaystyle N}$ нильпотентен.
• Характеристический полином для это .${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ det \ left (xI-N \ right) = x ^ {n}}$
• Минимальный многочлен для является для некоторого положительного целого числа .${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x ^ {k}}$${\ Displaystyle к \ Leq п}$
• Единственное комплексное собственное значение для - 0.${\ displaystyle N}$

Последняя теорема верна для матриц над любым полем характеристики 0 или достаточно большой характеристики. (ср . тождества Ньютона )

Эта теорема имеет несколько следствий, в том числе:

• Индекс нильпотентной матрицы всегда меньше или равен . Например, каждая нильпотентная матрица равняется нулю.${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$
• Определитель и след нилъпотентной матрицы всегда равны нулю. Следовательно, нильпотентная матрица не может быть обратимой .
• Единственная нильпотентная диагонализуемая матрица - это нулевая матрица.

Классификация

Рассмотрим матрицу сдвига : ${\ Displaystyle п \ раз п}$

${\ displaystyle S = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 0 \ конец {bmatrix}}.}$

Эта матрица имеет единицы вдоль наддиагонали и нули во всех остальных областях. В качестве линейного преобразования матрица сдвига "сдвигает" компоненты вектора на одну позицию влево, при этом ноль появляется в последней позиции:

${\ Displaystyle S (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = (x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, 0).}$

Эта матрица нильпотентна со степенью и является канонической нильпотентной матрицей. ${\ displaystyle n}$

В частности, если любая нильпотентная матрица, то это похоже на блочно - диагональную матрицу вида ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} S_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & S_ {2} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & S_ {r} \ конец {bmatrix}}}$

где каждый из блоков представляет собой матрицу сдвига (возможно, разного размера). Эта форма является частным случаем канонической формы Жордана для матриц. ${\ Displaystyle S_ {1}, S_ {2}, \ ldots, S_ {r}}$

Например, любая ненулевая нильпотентная матрица 2 × 2 аналогична матрице

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}.}$

То есть, если является любой ненулевой нильпотентной матрицей 2 × 2, то существует базис b ₁ ,  b ₂ такой, что N b ₁  = 0 и N b ₂  =  b ₁ . ${\ displaystyle N}$

Эта классификационная теорема верна для матриц над любым полем . (Необязательно, чтобы поле было алгебраически замкнутым.)

Флаг подпространств

Нильпотентное преобразование на естественным образом определяет флаг подпространств ${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle \ {0 \} \ subset \ ker L \ subset \ ker L ^ {2} \ subset \ ldots \ subset \ ker L ^ {q-1} \ subset \ ker L ^ {q} = \ mathbb { R} ^ {n}}$

и подпись

${\ displaystyle 0 = n_ {0} <n_ {1} <n_ {2} <\ ldots <n_ {q-1} <n_ {q} = n, \ qquad n_ {i} = \ dim \ ker L ^ {я}.}$

Сигнатура характеризует с точностью до обратимого линейного преобразования . Кроме того, он удовлетворяет неравенствам ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle n_ {j + 1} -n_ {j} \ leq n_ {j} -n_ {j-1}, \ qquad {\ mbox {для всех}} j = 1, \ ldots, q-1.}$

И наоборот, любая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая этим неравенствам, является сигнатурой нильпотентного преобразования.

Дополнительные свойства

Обобщения

Линейный оператор является локально нильпотентным , если для любого вектора , существует такое , что ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle Т ^ {к} (v) = 0. \! \,}$

Для операторов в конечномерном векторном пространстве локальная нильпотентность эквивалентна нильпотентности.

Примечания

использованная литература

• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Herstein, IN (1975), Topics In Algebra (2-е изд.), John Wiley & Sons
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646

внешние ссылки

• Нильпотентная матрица и нильпотентное преобразование на PlanetMath .