Сопутствующая матрица - Companion matrix

В линейной алгебре , то Фробениус компаньон матрица из унитарного многочлена

${\ displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + \ cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} ~,}$

это квадратная матрица определяется как

${\ displaystyle C (p) = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & \ dots & 0 & -c_ {0} \\ 1 & 0 & \ dots & 0 & -c_ {1} \\ 0 & 1 & \ dots & 0 & -c_ {2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 & -c_ {n-1} \ end {bmatrix}}.}$

Некоторые авторы используют транспонирование этой матрицы, которое (двойственно) циклически перемещает координаты и более удобно для некоторых целей, например для линейных рекуррентных отношений .

Характеристика

Характеристический полином , а также минимальный многочлен из С ( р ) равен р .

В этом смысле матрица C ( p ) является «спутником» многочлена p .

Если является н матрицей с размерностью п матрица с элементами из некоторого поля К , то следующие утверждения эквивалентны:

• Является похожа на матрицу компаньона над К ее характеристического полинома
• характеристический многочлен A совпадает с минимальным многочленом A , эквивалентно минимальный многочлен имеет степень n
• существует циклический вектор V в течение A , а это означает , что { V , A V , ² v , ..., ^{п -1} v } является основой из V . Эквивалентно, таким образом, что V является циклическим как - модуль (и ); один говорит, что A не является уничижительным . ${\ displaystyle V = K ^ {n}}$${\ displaystyle K [A]}$${\ Displaystyle В = К [А] / (п (А))}$

Не всякая квадратная матрица похожа на сопутствующую матрицу. Но каждая матрица похожа на матрицу, составленную из блоков сопутствующих матриц. Кроме того, эти сопутствующие матрицы можно выбрать так, чтобы их многочлены делили друг друга; то они однозначно определяются A . Это рациональный канонический вид из A .

Диагонализуемость

Если р ( т ) имеет различные корни Х ₁ , ...,  λ _п (то собственные значения из С ( р )), то С ( р ) является диагонализируемы следующим образом :

${\ displaystyle VC (p) V ^ {- 1} = \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n})}$

где V - матрица Вандермонда, соответствующая λ .

В этом случае, следы степеней т из C легко получить суммы при одинаковых степенях т всех корней р ( т ),

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} C ^ {m} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} ^ {m} ~.}$

Если p ( t ) имеет непростой корень, то C ( p ) не диагонализуема (его жорданова каноническая форма содержит по одному блоку для каждого отдельного корня).

Линейные рекурсивные последовательности

Для линейной рекурсивной последовательности с характеристическим многочленом

${\ displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + \ cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} \,}$

(транспонировать) сопутствующую матрицу

${\ displaystyle C ^ {T} (p) = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\ - c_ {0} & - c_ {1} & - c_ {2} & \ cdots & -c_ {n-1} \ end {bmatrix}}}$

генерирует последовательность в том смысле, что

${\ Displaystyle C ^ {T} {\ begin {bmatrix} a_ {k} \\ a_ {k + 1} \\\ vdots \\ a_ {k + n-1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {k + 1} \\ a_ {k + 2} \\\ vdots \\ a_ {k + n} \ end {bmatrix}}.}$

увеличивает серию на 1.

Вектор (1, t , t ² , ..., t ^{n -1} ) является собственным вектором этой матрицы для собственного значения t , когда t является корнем характеристического полинома p ( t ) .

Для c ₀ = −1 и всех остальных c _i = 0 , т. Е. P ( t ) = t ⁿ −1 , эта матрица сводится к матрице циклического сдвига Сильвестра или циркулянтной матрице .

Смотрите также

• Эндоморфизм Фробениуса
• Теорема Кэли – Гамильтона
• Крыловское подпространство

Ноты