Формула суммирования Пуассона - Poisson summation formula

В математике , то формула суммирования Пуассона представляет собой уравнение , которое связывает ряд Фурье коэффициенты периодического суммирования в виде функции к значениям функции в непрерывном преобразовании Фурье . Следовательно, периодическое суммирование функции полностью определяется дискретными выборками преобразования Фурье исходной функции. И наоборот, периодическое суммирование преобразования Фурье функции полностью определяется дискретными выборками исходной функции. Формула суммирования Пуассона была открыта Симеоном Дени Пуассоном и иногда называется пересуммированием Пуассона .

Формы уравнения

Рассмотрим апериодическую функцию с преобразованием Фурье, которую можно обозначать как и ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ Displaystyle S (е) \ треугольник q \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (x) \ e ^ {- i2 \ pi fx} \, dx,}$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (е)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {s \} (f).}$

Основная формула суммирования Пуассона :

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (n) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} S (k).}

( Уравнение 1 )

Также рассмотрите периодические функции, где параметры и находятся в тех же единицах, что и : ${\ displaystyle T> 0}$ ${\ displaystyle P> 0}$ ${\ displaystyle x}$

{\ Displaystyle s _ {_ {P}} (х) \ треугольник \ сумма _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (x \ pm nP) \ quad {\ text {и}} \ quad S_ { 1 / T} (f) \ треугольникq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} S (f \ pm k / T).}

Тогда уравнение 1 является частным случаем (P = 1, x = 0) этого обобщения :

{\ displaystyle s _ {_ {P}} (x) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {{\ frac {1} {P}} \ cdot S \ left ({\ гидроразрыв {k} {P}} \ right)} _ {S [k]} \ e ^ {i2 \ pi {\ frac {k} {P}} x},}

.

( Уравнение 2 )

который представляет собой разложение в ряд Фурье с коэффициентами, которые являются выборками функции Аналогично : ${\ displaystyle S (f).}$

{\ Displaystyle S_ {1 / T} (е) = \ сумма _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {T \ cdot s (nT)} _ {s [n]} \ e ^ { -i2 \ pi nTf},}

( Уравнение 3 )

также известный как важное дискретное преобразование Фурье .

Производные

Доказательство можно найти либо у Пинского, либо у Зигмунда. Уравнение 2 , например, выполняется в том смысле, что если , то правая часть представляет собой (возможно, расходящийся) ряд Фурье левой части. Это следует из теоремы о мажорируемой сходимости, которая существует и конечна почти для всех . Кроме того, отсюда следует, что интегрируемо на любом интервале длины. Поэтому достаточно показать, что коэффициенты ряда Фурье равны. Исходя из определения коэффициентов Фурье, мы имеем : ${\ Displaystyle s (х) \ в L_ {1} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle s _ {_ {P}} (х)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle s _ {_ {P}}}$ ${\ displaystyle P.}$ ${\ displaystyle s _ {_ {P}} (х)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {P}} S \ left ({\ frac {k} {P}} \ right).}$

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} S [к] \ & \ треугольник \ {\ гидроразрыва {1} {P}} \ int _ {0} ^ {P} s _ {_ {P}} (x) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} x} \, dx \\ & = \ {\ frac {1} {P}} \ int _ {0} ^ {P} \ left ( \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (x \ pm nP) \ right) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} x} \, dx \ \ & = \ {\ frac {1} {P}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {P} s (x \ pm nP) \ cdot e ^ {-i2 \ pi {\ frac {k} {P}} x} \, dx, \ end {align}}}

где замена суммирования интегрированием еще раз оправдана преобладающей сходимостью. При замене переменных ( ) это становится : ${\ Displaystyle \ тау = х + нП}$

{\ displaystyle {\ begin {align} S [k] = {\ frac {1} {P}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {nP} ^ {nP + P } s (\ tau) \ e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} \ tau} \ \ underbrace {e ^ {i2 \ pi kn}} _ {1} \, d \ tau \ = \ {\ frac {1} {P}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (\ tau) \ e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} \ tau } d \ tau \ треугольник {\ frac {1} {P}} \ cdot S \ left ({\ frac {k} {P}} \ right) \ end {выравнивается}}}

Распределительная формулировка

Эти уравнения можно интерпретировать на языке распределений для функции , все производные которой быстро убывают (см. Функцию Шварца ). Формула суммирования Пуассона возникает как частный случай теоремы о свертке для умеренных распределений , использующей гребенчатое распределение Дирака и его ряд Фурье : ${\ displaystyle s}$

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x \ pm nT) \ Equiv \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} { T}} \ cdot e ^ {\ pm i2 \ pi {\ frac {k} {T}} x} \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {1} {T}} \ cdot \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (f \ pm k / T).}

Другими словами, периодизация дельты Дирака, приводящая к гребенке Дирака , соответствует дискретизации ее спектра, который постоянно равен единице. Следовательно, это снова гребенка Дирака, но с обратными приращениями. ${\ displaystyle \ delta,}$

Для случая ( 1) легко следует : ${\ displaystyle T = 1,}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} S (k) & = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (x) \ e ^ {- i2 \ pi kx} dx \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (x) \ underbrace { \ left (\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi kx} \ right)} _ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (xn)} dx \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (x) \ \ delta (xn) \ dx \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (n). \ end {align}}}

Аналогично :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} S (f + k / T) & = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} { \ mathcal {F}} \ left \ {s (x) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {T}} x} \ right \} \\ & = {\ mathcal {F}} {\ bigg \ {} s (x) \ underbrace {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {T}} x}} _ { T \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x-nT)} {\ bigg \}} = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot \ delta (x-nT) \ right \} \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot {\ mathcal {F}} \ left \ {\ delta (x-nT) \ right \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi nTf}. \ end {align}}}

Или :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} S (fk / T) & = S (f) * \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (fk / T) \\ & = S (f) * {\ mathcal {F}} \ left \ {T \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x- nT) \ right \} \\ & = {\ mathcal {F}} \ left \ {s (x) \ cdot T \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x-nT) \ right \} = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot \ delta (x-nT) \ right \ } \ quad {\ text {как указано выше}}. \ end {align}}}

Формула суммирования Пуассона также может быть доказана довольно концептуально, используя совместимость двойственности Понтрягина с короткими точными последовательностями, такими как

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} / \ mathbb {Z} \ to 0.}

Применимость

Уравнение 2 выполняется при условии, что непрерывная интегрируемая функция удовлетворяет ${\ displaystyle s (x)}$

{\ Displaystyle | s (x) | + | S (x) | \ Leq C (1+ | x |) ^ {- 1- \ delta}}

для некоторых и каждый Обратите внимание , что такие является равномерно непрерывной , это вместе с предположением распада на , показывают , что ряд , определяющий равномерно сходится к непрерывной функции. Уравнение 2 выполняется в сильном смысле, что обе стороны сходятся равномерно и абсолютно к одному и тому же пределу. ${\ displaystyle C> 0, \ delta> 0}$ ${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle s _ {_ {P}}}$

Уравнение 2 выполняется в поточечном смысле при строго более слабом предположении, котороеимеет ограниченную вариацию и ${\ displaystyle s}$

{\ Displaystyle 2 \ cdot s (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} s (x + \ varepsilon) + \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} s (x- \ varepsilon).}

Тогда ряд Фурье в правой части уравнения 2 понимается как (условно сходящийся) предел симметричных частичных сумм.

Как показано выше, уравнение 2 выполняется при гораздо менее ограничительном предположении, которое есть в , но тогда необходимо интерпретировать его в том смысле, что правая часть представляет собой (возможно расходящийся) ряд Фурье. В этом случае можно расширить область, в которой выполняется равенство, путем рассмотрения методов суммирования, таких как суммируемость по Чезаро . При интерпретации сходимости таким образом ( 2) случай имеет место при менее ограничительных условиях, которые являются интегрируемыми, и 0 является точкой непрерывности . Однако Eq.2 может не выполняться , даже если оба и являются интегрируемой и непрерывными, а суммы сходятся абсолютно. ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle s _ {_ {P}} (x).}$ ${\ displaystyle x = 0,}$ ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ displaystyle s _ {_ {P}} (х)}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle S}$

Приложения

Метод изображений

В дифференциальных уравнениях , формула суммирования Пуассона обеспечивает строгое обоснование для фундаментального решения этого уравнения теплопроводности с поглощающим прямоугольной границей по методе изображений . Здесь тепло ядро на известно, и что прямоугольник определяются с периодизацией. Формула суммирования Пуассона аналогичным образом обеспечивает связь между анализом Фурье на евклидовых пространствах и на торах соответствующих размерностей. В одном измерении полученное решение называется тета-функцией . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Отбор проб

В статистическом исследовании временных рядов, если это функция времени, то рассмотрение только его значений в равноотстоящие моменты времени называется «выборкой». В приложениях, как правило , функция является ограниченной полосой , а это означает , что существует некоторая частота среза таким образом, что равен нулю при частотах , превышающих частоту среза : для полосковых ограниченных функций, выбирая частоту дискретизации гарантирует , что никакая информация не теряется: так как может быть восстановлен из этих значений выборки. Затем, посредством обращения Фурье, это может привести к теореме выборки Найквиста – Шеннона . ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle f_ {o}}$ ${\ Displaystyle S (е)}$ ${\ Displaystyle S (е) = 0}$ ${\ displaystyle | f |> f_ {o}.}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {T}}> 2f_ {o}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle s.}$

Суммирование Эвальда

В вычислительном отношении формула суммирования Пуассона полезна, поскольку медленно сходящееся суммирование в реальном пространстве гарантированно преобразуется в быстро сходящееся эквивалентное суммирование в пространстве Фурье. (Широкая функция в реальном пространстве становится узкой функцией в пространстве Фурье и наоборот.) Это основная идея суммирования Эвальда .

Аппроксимации интегралов

Формула суммирования Пуассона также полезна для ограничения ошибок, получаемых при аппроксимации интеграла суммой (римановой). Рассмотрим примерное значение as , где - размер корзины. Тогда согласно ( 2) это приближение совпадает с . Тогда погрешность аппроксимации может быть ограничена как . Это особенно полезно, когда преобразование Фурье быстро затухает, если . ${\ Displaystyle S (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dxs (x)}$ ${\ Displaystyle \ дельта \ сумма _ {п = - \ infty} ^ {\ infty} s (п \ дельта)}$ ${\ displaystyle \ delta \ ll 1}$ ${\ Displaystyle \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} S (к / \ дельта)}$ ${\ Displaystyle | \ сумма _ {к \ neq 0} S (к / \ дельта) | \ leq \ сумма _ {к \ neq 0} | S (к / \ дельта) |}$ ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ displaystyle 1 / \ delta \ gg 1}$

Точки решетки в сфере

Формула суммирования Пуассона может использоваться для вывода асимптотической формулы Ландау для числа узлов решетки в большой евклидовой сфере. Его также можно использовать, чтобы показать, что если интегрируемая функция и обе имеют компактную опору, то ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle s = 0.}$

Теория чисел

В теории чисел суммирование Пуассона также может использоваться для вывода множества функциональных уравнений, включая функциональное уравнение для дзета-функции Римана .

Одно из важных таких применений пуассоновского суммирования касается тета-функций : периодических суммирований гауссианов. Положите для комплексного числа в верхней полуплоскости и определите тета-функцию: ${\ Displaystyle д = е ^ {я \ пи \ тау}}$ ${\ Displaystyle \ тау}$

{\ displaystyle \ theta (\ tau) = \ sum _ {n} q ^ {n ^ {2}}.}

Связь между и оказывается важной для теории чисел, поскольку этот вид отношений является одним из определяющих свойств модульной формы . Выбрав и используя тот факт, что можно сделать вывод : ${\ Displaystyle \ тета (-1 / \ тау)}$ ${\ Displaystyle \ тета (\ тау)}$ ${\ Displaystyle s (х) = е ^ {- \ пи х ^ {2}}}$ ${\ Displaystyle S (е) = е ^ {- \ пи е ^ {2}},}$

{\ displaystyle \ theta \ left ({- 1 \ over \ tau} \ right) = {\ sqrt {\ tau \ over i}} \ theta (\ tau),}

поставив

{\ displaystyle {1 / \ lambda} = {\ sqrt {\ tau / i}}.}

Из этого следует, что имеет свойство простого преобразования, и это может быть использовано для доказательства формулы Якоби для числа различных способов выражения целого числа как суммы восьми полных квадратов. ${\ displaystyle \ theta ^ {8}}$ ${\ Displaystyle \ тау \ mapsto {-1 / \ тау}}$

Сферические упаковки

Cohn & Elkies доказали верхнюю границу плотности упаковки сфер, используя формулу суммирования Пуассона, что впоследствии привело к доказательству оптимальной упаковки сфер в размерностях 8 и 24.

Другой

Пусть для и для получения ${\ displaystyle s (x) = e ^ {- ax}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x}$ ${\ displaystyle s (x) = 0}$ ${\ displaystyle x <0}$

{\ displaystyle \ coth (x) = x \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} {\ frac {1} {x ^ {2} + \ pi ^ {2} n ^ {2}}} = {\ frac {1} {x}} + 2x \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z _ {+}}} {\ frac {1} {x ^ {2} + \ pi ^ {2} n ^ { 2}}}.}

Его можно использовать для доказательства функционального уравнения для тета-функции.
Формула суммирования Пуассона появляется в записных книжках Рамануджана и может использоваться для доказательства некоторых его формул, в частности, ее можно использовать для доказательства одной из формул в первом письме Рамануджана Харди.
Его можно использовать для вычисления квадратичной суммы Гаусса.

Обобщения

Формула суммирования Пуассона верна в евклидовом пространстве произвольной размерности. Пусть будут решетки в состоящих из точек с целыми координатами; - группа характеров , или двойственная по Понтрягину , к . Для функции в рассмотрим ряд, полученный путем суммирования сдвигов по элементам : ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$

{\ displaystyle \ sum _ {\ nu \ in \ Lambda} s (x + \ nu).}

Теорема Для in , указанный выше ряд сходится поточечно почти всюду и, таким образом, определяет периодическую функцию на лежит в с Более того, для всех in (преобразование Фурье ) равно (преобразование Фурье ). ${\ displaystyle s}$ ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} s}$ ${\ displaystyle \ Lambda.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} s}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ | \ mathbb {P} s \ | _ {1} \ leq \ | s \ | _ {1}.}$
${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ Lambda,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} S (\ Nu)}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ Displaystyle S (\ ню)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Когда вдобавок непрерывен, и оба и достаточно быстро затухают на бесконечности, тогда можно «инвертировать» область обратно и сделать более сильное утверждение. Точнее, если ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ Displaystyle | s (x) | + | S (x) | \ Leq C (1+ | x |) ^ {- d- \ delta}}

для некоторого C , δ> 0, то

{\ displaystyle \ sum _ {\ nu \ in \ Lambda} s (x + \ nu) = \ sum _ {\ nu \ in \ Lambda} S (\ nu) e ^ {i2 \ pi x \ cdot \ nu}, }

где оба ряда сходятся абсолютно и равномерно на Λ. Когда d = 1 и x = 0, это дает уравнение 1 выше.

В более общем смысле, версия утверждения верна, если Λ заменить на более общую решетку в . Двойной решетки Λ 'может быть определена как подмножество двойственного векторного пространства или , альтернативно , с помощью двойственности Понтрягина . Тогда утверждается, что сумма дельта-функций в каждой точке Λ и в каждой точке Λ ′ снова является преобразованием Фурье в виде распределений, подлежащих правильной нормировке. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Это применяется в теории тета-функций и является возможным методом в геометрии чисел . Фактически, в более поздних работах по подсчету точек решетки в областях он обычно используется - суммирование индикаторной функции области D по точкам решетки - это как раз вопрос, так что левая часть формулы суммирования - это то, что требуется, а правая часть - это то, что можно атаковать с помощью математического анализа .

Формула следа Сельберга

В теории чисел требуется дальнейшее обобщение на локально компактные абелевы группы . В некоммутативном гармоническом анализе идея развита еще дальше в формуле следа Сельберга, но принимает гораздо более глубокий характер.

Ряд математиков, применяющих гармонический анализ к теории чисел, в первую очередь Мартин Эйхлер, Атле Сельберг , Роберт Ленглендс и Джеймс Артур, обобщили формулу суммирования Пуассона до преобразования Фурье на некоммутативных локально компактных редуктивных алгебраических группах с дискретной подгруппой, такой как что имеет конечный объем. Например, могут быть реальные точки, а могут быть целые точки . В этой настройке играет роль действительной числовой линии в классической версии пуассоновского суммирования и играет роль целых чисел, которые появляются в сумме. Обобщенная версия пуассоновского суммирования называется формулой следа Сельберга и сыграла роль в доказательстве многих случаев гипотезы Артина и в доказательстве Великой теоремы Ферма Уайлсом. Левая часть уравнения (1) становится суммой по неприводимым унитарным представлениям и называется «спектральной стороной», а правая часть становится суммой по классам сопряженности и называется «геометрической стороной». ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ Displaystyle G / \ Gamma}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle SL_ {n}}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle SL_ {n}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

Формула суммирования Пуассона является прототипом обширных достижений в области гармонического анализа и теории чисел.

Теорема свертки

Формула суммирования Пуассона является частным случаем теоремы свертки для умеренных распределений . Если одним из двух факторов является гребенка Дирака , получается периодическое суммирование с одной стороны и выборка с другой стороны уравнения. Применительно к дельта-функции Дирака и ее преобразованию Фурье , функции, которая постоянно равна 1, это дает тождество гребенки Дирака .

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Бенедетто, JJ; Циммерманн, Г. (1997), "Множители выборки и формула суммирования Пуассона" , J. Fourier Ana. Приложение. , 3 (5), заархивировано из оригинала 24 мая 2011 г. , получено 19 июня 2008 г.
Гаске, Клод; Витомски, Патрик (1999), Анализ Фурье и приложения , Springer, стр. 344–352, ISBN. 0-387-98485-2
Хиггинс-младший (1985), «Пять рассказов о главном сериале» , Bull. Амер. Математика. Soc. , 12 (1): 45-89, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1985-15293-0

Languages

In other projects