Группы точек в двух измерениях - Point groups in two dimensions

Blakeana Бауайния цветок на Гонконг флаг C ₅ симметрии; звезда на каждом лепестке имеет симметрию D ₅ .

В геометрии , A двумерная точечная группа или розеткой группа представляет собой группу из геометрических симметрий ( изометрий ) , которые держат по крайней мере одну точку фиксированной в плоскости. Каждая такая группа является подгруппой ортогональной группы O (2), включая саму O (2). Его элементами являются вращения и отражения, и каждая такая группа, содержащая только вращения, является подгруппой специальной ортогональной группы SO (2), включая саму SO (2). Эта группа изоморфна R / Z и первой унитарной группе , U (1), группе, также известной как круговая группа .

Двумерные точечные группы важны как основа для аксиальных трехмерных точечных групп с добавлением отражений в осевой координате. Они также важны для симметрии организмов, таких как морские звезды и медузы , и частей организма, таких как цветы .

Дискретные группы

Есть два семейства дискретных двумерных точечных групп, и они задаются параметром n , который является порядком группы вращений в группе.

Группа	Intl	Орбифолд	Coxeter		порядок	Описание
C n	п	п •	[n] +		п	Циклический: n- кратное вращение. Абстрактная группа Z n , группа целых чисел относительно сложения по модулю n .
D n	п м	* п •	[n]		2 п	Диэдральные: n- кратные вращения и n- кратные отражения. Абстрактная группа Dih n , группа диэдра .

Intl относится к обозначениям Германа – Могена или международным обозначениям, часто используемым в кристаллографии . В бесконечном пределе эти группы становятся одномерными группами прямых .

Если группа является симметрией двумерной решетки или сетки, то теорема о кристаллографическом ограничении ограничивает значение n до 1, 2, 3, 4 и 6 для обоих семейств. Таким образом, существует 10 двумерных кристаллографических точечных групп :

• С ₁ , С ₂ , С ₃ , С ₄ , С ₆ ,
• Д ₁ , Д ₂ , Д ₃ , Д ₄ , Д ₆

Группы могут быть построены следующим образом:

• C _n . Генерируется элементом, также называемым C _n , что соответствует повороту на угол 2π / n . Его элементами являются E (тождество), C _n , C _n ² , ..., C _n ^{n −1} , соответствующие углам поворота 0, 2π / n , 4π / n , ..., 2 ( n - 1) π / n .
• D _n . Генерируется элементом C _n и отражением σ. Его элементами являются элементы группы C _n с добавленными элементами σ, C _n σ, C _n ² σ, ..., C _n ^{n −1} σ. Эти дополнительные соответствуют отражениям от линий с углами ориентации 0, π / n , 2π / n , ..., ( n - 1) π / n . Таким образом, D _n является полупрямым произведением C _n и группы (E, σ).

Все эти группы имеют разные абстрактные группы, за исключением C ₂ и D ₁ , которые разделяют абстрактную группу Z ₂ . Все циклические группы абелевы или коммутативны, но только две из диэдральных групп являются: D ₁ ~ Z ₂ и D ₂ ~ Z ₂ × Z ₂ . Фактически, D ₃ - наименьшая неабелева группа.

Для еще п , то Германн-Mauguin символ п т является сокращением для полного символа п мм, как описано ниже. П в символе НМА обозначает п - кратных вращения, в то время как т означает отражение или зеркальные плоскости.

Более общие группы

Эти группы легко строятся с помощью двумерных ортогональных матриц .

Непрерывная циклическая группа SO (2) или C _∞ и ее подгруппы имеют элементы, которые являются матрицами вращения:

${\ Displaystyle R (\ theta) = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \\\ end {bmatrix}}}$

где SO (2) имеет любое возможное θ. Не удивительно, что все SO (2) и его подгруппы абелевы; сложение углов поворота коммутирует.

Для дискретных циклических групп C _n элементы C _n ^k = R (2π k / n )

Непрерывная группа диэдра O (2) или D _∞ и ее подгруппы с отражениями имеют элементы, которые включают не только матрицы вращения, но и матрицы отражений:

${\ Displaystyle S (\ theta) = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\\ sin \ theta & - \ cos \ theta \\\ end {bmatrix}}}$

где O (2) имеет любые возможные θ. Однако единственные абелевы подгруппы в O (2) с отражениями - это D ₁ и D ₂ .

Для дискретных диэдральных групп D _n элементы C _n ^k σ = S (2π k / n )

При использовании полярных координат связь этих групп с одномерными группами симметрии становится очевидной.

Типы подгрупп SO (2):

• конечные циклические подгруппы C _n ( n ≥ 1); для каждого n существует одна группа изометрий абстрактного типа группы Z _n
• конечно порожденные группы , каждая из которых изоморфна одной из формы Z ^m Z _n, порожденной C _n и m независимыми вращениями с иррациональным числом поворотов, и m , n ≥ 1; для каждой пары ( m , n ) существует несчетное количество групп изометрий, все так же, как абстрактная группа; для пары (1, 1) группа циклическая.${\ displaystyle \ oplus}$
• другие счетные подгруппы. Например, для целого числа n группа, образованная всеми вращениями числа витков, равного отрицательной целой степени n
• бесчисленные подгруппы, включая саму SO (2)

Для каждой подгруппы SO (2) существует соответствующий несчетный класс подгрупп O (2), которые взаимно изоморфны как абстрактная группа: каждая из подгрупп в одном классе порождается первой упомянутой подгруппой и единственным отражением в линия через начало координат. Это (обобщенные) группы диэдра , включая конечные D _n ( n ≥ 1) абстрактного типа группы Dih _n . Для n = 1 обычным обозначением является C _s , абстрактная группа типа Z ₂ .

В качестве топологических подгрупп в O (2) замкнуты только конечные группы изометрий и SO (2) и O (2).

Эти группы делятся на два разных семейства в зависимости от того, состоят ли они только из вращений или включают отражения . В циклические группы , С _п (абстрактный тип группы Z _п ) состоит из поворотов на 360 ° / п и всех целых кратных. Например, табурет на четырех ножках имеет группу симметрии C ₄ , состоящую из поворотов на 0 °, 90 °, 180 ° и 270 °. Группа симметрии квадрата принадлежит к семейству диэдральных групп D _n (абстрактный тип группы Dih _n ), включая столько же отражений, сколько поворотов. Бесконечная вращательная симметрия круга также подразумевает симметрию отражения, но формально круговая группа S ₁ отличается от Dih (S ₁ ), потому что последняя явно включает отражения.

Бесконечная группа не обязательно должна быть непрерывной; например, у нас есть группа всех целых кратных вращению на 360 ° / √ 2 , которая не включает вращение на 180 °. В зависимости от применения однородность до сколь угодно мелкого уровня детализации в поперечном направлении может считаться эквивалентной полной однородности в этом направлении, и в этом случае эти группы симметрии можно игнорировать.

C _n и D _n для n = 1, 2, 3, 4 и 6 могут сочетаться с трансляционной симметрией, иногда более чем одним способом. Таким образом, эти 10 групп образуют 17 групп обоев .

Группы симметрии

В 2D - группа симметрии соответствует изометриям групп, за исключением того , симметрий в соответствии с O (2) и SO (2) можно выделить только в обобщенной концепции симметрии , применимой для векторных полей .

Кроме того, в зависимости от применения однородность вплоть до сколь угодно мелких деталей в поперечном направлении может считаться эквивалентной полной однородности в этом направлении. Это значительно упрощает категоризацию: мы можем ограничиться замкнутыми топологическими подгруппами O (2): конечными и O (2) ( круговая симметрия ), а также векторными полями SO (2).

Эти группы также соответствуют одномерным группам симметрии , если их обернуть по кругу.

Комбинации с трансляционной симметрией

Е (2) представляет собой полупрямое произведение из O (2) и группа трансляций Т . Другими словами, O (2) является подгруппой в Е (2) изоморфна фактор - группы из Е (2) Т :

О (2) Е (2) / Т${\ displaystyle \ cong}$

Существует «естественный» гомоморфизм сюръективной группы p  : E (2) → E (2) / T , переводящий каждый элемент g из E (2) в смежный класс T, которому принадлежит g , то есть: p ( g ) = дт , которую иногда называют канонической проекцией на Е (2) на Е (2) / T или O (2). Его ядро является T .

Для каждой подгруппы в E (2) мы можем рассматривать ее образ под p : точечную группу, состоящую из смежных классов, которым принадлежат элементы подгруппы, другими словами, точечная группа, полученная игнорированием трансляционных частей изометрий. Для каждой дискретной подгруппы в E (2), в силу теоремы о кристаллографическом ограничении , эта точечная группа либо C _n, либо типа D _n для n = 1, 2, 3, 4 или 6.

C _n и D _n для n = 1, 2, 3, 4 и 6 могут сочетаться с трансляционной симметрией, иногда более чем одним способом. Таким образом, эти 10 групп образуют 17 групп обоев , а четыре группы с n = 1 и 2 также образуют 7 групп фризов .

Для каждой из групп обоев p1, p2, p3, p4, p6 изображение под p всех групп изометрий (то есть «проекции» на E (2) / T или O (2)) все равно соответствующему C _n ; также две группы фризов соответствуют C ₁ и C ₂ .

Каждая группа изометрий p6m отображается в одну из точечных групп типа D ₆ . Для других 11 групп обоев каждая группа изометрии отображается в одну из групп точек типа D ₁ , D ₂ , D ₃ или D ₄ . Также пять групп фризов соответствуют D ₁ и D ₂ .

Для данной гексагональной трансляционной решетки есть две разные группы D ₃ , что дает P31m и p3m1. Для каждого из типов D ₁ , D ₂ и D ₄ различие между группами обоев 3, 4 и 2, соответственно, определяется вектором трансляции, связанным с каждым отражением в группе: поскольку изометрии находятся в одном смежном классе независимо от поступательных компонентов, отражение и скользящее отражение с одним и тем же зеркалом находятся в одном смежном классе. Таким образом, обе группы изометрий типа p4m и p4g отображаются в точечные группы типа D ₄ .

Для данной группы изометрии конъюгаты перевода в группе элементами группы порождают группу трансляций ( решетку ) - это подгруппа группы изометрий, которая зависит только от перевода, с которого мы начали, и точки группа, связанная с группой изометрии. Это связано с тем, что сопряжение сдвига с помощью скользящего отражения такое же, как и с соответствующим отражением: вектор смещения отражается.

Если группа изометрий содержит n- кратное вращение, то решетка имеет n- кратную симметрию для четных n и 2 n -кратных для нечетных n . Если в случае дискретной группы изометрий, содержащей перенос, мы применим это для переноса минимальной длины, то, учитывая векторную разность переносов в двух смежных направлениях, следует, что n ≤ 6, а для нечетных n это 2 n ≤ 6, следовательно, n = 1, 2, 3, 4 или 6 ( кристаллографическая теорема ограничения ).

Смотрите также

• Группа точек
• Группы точек в трех измерениях
• Группы точек в четырех измерениях
• Одномерная группа симметрии

внешняя ссылка

• [1] , Геометрические преобразования и группы обоев: симметрии геометрических узоров (дискретные группы изометрий), Лэнс Драгер.
• [2] Точечные группы и кристаллические системы, И-Шу Вэй, стр. 4–5.
• Центр геометрии: 2.1 Формулы симметрий в декартовых координатах (двухмерные)