Интегральное уравнение - Integral equation

В математике , интегральные уравнения являются уравнениями , в которых неизвестная функция появляется под интегралом знака.

Между дифференциальными и интегральными уравнениями существует тесная связь , и некоторые проблемы могут быть сформулированы так или иначе. См., Например, функцию Грина , теорию Фредгольма и уравнения Максвелла .

Обзор

Самый основной тип интегрального уравнения называется уравнением Фредгольма первого типа ,

{\ Displaystyle е (х) = \ int _ {a} ^ {b} К (х, t) \, \ varphi (t) \, dt.}

Обозначения соответствуют Арфкену . Здесь $φ$ - неизвестная функция, $f$ - известная функция, а $K$ - еще одна известная функция двух переменных, часто называемая функцией ядра . Обратите внимание, что пределы интегрирования постоянны: это то, что характеризует уравнение Фредгольма.

Если неизвестная функция встречается как внутри, так и вне интеграла, уравнение известно как уравнение Фредгольма второго типа ,

{\ displaystyle \ varphi (x) = е (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x, t) \, \ varphi (t) \, dt.}

Параметр $λ$ - неизвестный множитель, который играет ту же роль, что и собственное значение в линейной алгебре .

Если один предел интегрирования является переменной, уравнение называется уравнением Вольтерра . Следующие уравнения называются уравнениями Вольтерра первого и второго типов соответственно:

{\ Displaystyle е (х) = \ int _ {а} ^ {х} К (х, т) \, \ varphi (т) \, дт}

{\ displaystyle \ varphi (x) = е (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x, t) \, \ varphi (t) \, dt.}

Во всем вышесказанном, если известная функция $f$ тождественно равна нулю, уравнение называется однородным интегральным уравнением . Если $f не$ равно нулю, оно называется неоднородным интегральным уравнением .

Численное решение

Стоит отметить, что интегральные уравнения часто не имеют аналитического решения и должны решаться численно. Примером этого является оценка интегрального уравнения электрического поля (EFIE) или интегрального уравнения магнитного поля (MFIE) над объектом произвольной формы в задаче электромагнитного рассеяния.

Один из методов численного решения требует дискретизации переменных и замены интеграла квадратурным правилом.

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} K \ left (s_ {i}, t_ {j} \ right) u (t_ {j}) = f (s_ {i}) , \ qquad i = 0,1, \ dots, n.}

Тогда у нас есть система с $n$ уравнениями и $n$ переменными. Решая его, мы получаем значение $n$ переменных

{\ displaystyle u (t_ {0}), u (t_ {1}), \ dots, u (t_ {n}).}

Классификация

Интегральные уравнения классифицируются по трем разным дихотомиям, составляющим восемь различных видов:

Пределы интеграции
- оба фиксированы: уравнение Фредгольма
- одна переменная: уравнение Вольтерра
Размещение неизвестной функции
- только внутри интеграла: первого рода
- как внутреннее, так и внешнее интегральное: второй вид
Природа известной функции f
- тождественно ноль: однородный
- не тождественно ноль: неоднородный

Интегральные уравнения важны во многих приложениях. Проблемы, в которых встречаются интегральные уравнения, включают перенос излучения и колебания струны, мембраны или оси. Задачи о колебаниях также могут быть решены как дифференциальные уравнения .

Как уравнения Фредгольма, так и уравнения Вольтерра являются линейными интегральными уравнениями из-за линейного поведения $φ (x)$ под действием интеграла. Нелинейное интегральное уравнение Вольтерра имеет общий вид:

{\ Displaystyle \ varphi (x) = е (х) + \ лямбда \ int _ {a} ^ {x} K (x, t) \, F (x, t, \ varphi (t)) \, dt, }

где $F$ - известная функция.

Интегральные уравнения Винера – Хопфа.

{\ Displaystyle у (т) = \ лямбда х (т) + \ int _ {0} ^ {\ infty} к (тс) \, х (з) \, дс, \ qquad 0 \ leq т <\ infty. }

Первоначально такие уравнения изучались в связи с задачами переноса излучения, а в последнее время они были связаны с решением граничных интегральных уравнений для плоских задач, в которых граница является только кусочно-гладкой.

Решение степенного ряда для интегральных уравнений

Во многих случаях, если ядро интегрального уравнения имеет вид $K (xt)$ и существует преобразование Меллина для $K (t)$ , мы можем найти решение интегрального уравнения

{\ Displaystyle г (s) = s \ int _ {0} ^ {\ infty} K (st) \, f (t) \, dt}

в виде степенного ряда

{\ displaystyle f (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {M (n + 1)}} t ^ {n}}

где

{\ displaystyle g (s) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} s ^ {- n}, \ qquad M (n + 1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} K (t) \, t ^ {n} \, dt}

- $Z$ -преобразование функции $g (s)$ , а $M (n + 1)$ - преобразование Меллина ядра.

Интегральные уравнения как обобщение уравнений на собственные значения

Некоторые однородные линейные интегральные уравнения можно рассматривать как непрерывный предел уравнений на собственные значения . Используя обозначение индекса , уравнение на собственные значения можно записать как

{\ displaystyle \ sum _ {j} M_ {i, j} v_ {j} = \ lambda v_ {i}}

где $M = [M i, j]$ - матрица, $v$ - один из ее собственных векторов, а $λ$ - соответствующее собственное значение.

Переход к континуальному пределу, т. Е. Замена дискретных индексов $i$ и $j$ на непрерывные переменные $x$ и $y$ , дает

{\ Displaystyle \ int К (х, y) \, \ varphi (y) \, dy = \ lambda \, \ varphi (x),}

где сумма по $j$ заменена интегралом по $y,$ а матрица $M$ и вектор $v$ заменены ядром $K (x, y)$ и собственной функцией $φ (y)$ . (Пределы интеграла фиксированы, аналогично пределам суммы по $j$ .) Это дает линейное однородное уравнение Фредгольма второго типа.

В общем, $K (x, y)$ может быть распределением , а не функцией в строгом смысле слова. Если распределение $K$ имеет опору только в точке $x = y$ , то интегральное уравнение сводится к дифференциальному уравнению на собственные функции .

В общем случае интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма могут возникать из одного дифференциального уравнения, в зависимости от того, какие условия применяются на границе области его решения.

Приложения

Актуарная наука (теория разорения)
Вычислительная электромагнетизм
- Метод граничных элементов
Обратные задачи
- Уравнение Марченко ( обратное преобразование рассеяния )
Ценообразование опционов при скачкообразной диффузии
Радиационный перенос
Вязкоупругость

Смотрите также

дальнейшее чтение

Кендалл Э. Аткинсон . Численное решение интегральных уравнений второго рода . Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, 1997.
Джордж Арфкен и Ганс Вебер. Математические методы для физиков . Харкорт / Академик Пресс, 2000.
Гарри Bateman (1910) История и современное состояние теории интегральных уравнений , отчет о Британской ассоциации .
Андрей Д. Полянин и Александр В. Манжиров Справочник по интегральным уравнениям . CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 .
Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Ватсон . Курс современного анализа Кембриджская математическая библиотека.
Краснов М., Киселев А., Макаренко Г. Задачи и упражнения в интегральных уравнениях. М .: Мир, 1971.
Нажмите, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Глава 19. Интегральные уравнения и обратная теория» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.

Внешние ссылки

Интегральные уравнения: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений.
Интегральные уравнения: указатель на EqWorld: мир математических уравнений.
"Интегральное уравнение" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Интегральные уравнения ( MIT OpenCourseWare )

[1] «Конспект лекций по теории риска» (PDF) . 2010 г.

[2] Сакс, EW; Штраус, АК (01.11.2008). «Эффективное решение частного интегро-дифференциального уравнения в финансах». Прикладная вычислительная математика . 58 (11): 1687–1703. DOI : 10.1016 / j.apnum.2007.11.002 . ISSN 0168-9274 .

Languages

In other projects