Когомологии Чеха - Čech cohomology

Пенроуза треугольник изображен нетривиальный элемент первых когомологий кольцевого пространства со значениями в группе расстояний от наблюдателя

В математике , в частности алгебраическая топология , Чеха является когомологической теорией , основанной на свойствах пересечения открытых крышек одного топологического пространства . Он назван в честь математика Эдуарда Чеха .

Мотивация

Пусть X топологическое пространство, и пусть будет открытым покрытием X . Пусть обозначим нерв покрытия. Идея Чеха является то, что для открытой крышки , состоящей из достаточно малых открытых множеств, в результате симплициального комплекс должен быть хорошей комбинаторной моделью для пространства X . Для такого покрытия когомологии Чеха X определяется как симплициальные когомологии нерва. Эту идею можно формализовать понятием хорошей обложки . Однако более общий подход состоит в том, чтобы взять прямой предел групп когомологий нерва по системе всех возможных открытых покрытий X , упорядоченных путем уточнения . Это подход, принятый ниже. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ Displaystyle N ({\ mathcal {U}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ Displaystyle N ({\ mathcal {U}})}$

Строительство

Пусть X является топологическим пространство , и пусть будет Предпучком из абелевых групп на X . Пусть быть открытым покрытием из X . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Симплекс

Д - симплекс σ из представляет собой упорядоченный набор д +1 множеств , выбранных из , например , что пересечение всех этих множеств не пусто. Это пересечение называется носителем σ и обозначается | σ |. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Пусть теперь будет такой q -симплекс. J-й частичной граница от а определяется , чтобы быть ( д -1) -симплекса , полученного удаления J -го набора из а, то есть: ${\ Displaystyle \ sigma = (U_ {я}) _ {я \ in \ {0, \ ldots, q \}}}$

{\ displaystyle \ partial _ {j} \ sigma: = (U_ {i}) _ {i \ in \ {0, \ ldots, q \} \ setminus \ {j \}}.}

Граница от а определяется как знакопеременной суммы частичных границ:

{\ displaystyle \ partial \ sigma: = \ sum _ {j = 0} ^ {q} (- 1) ^ {j + 1} \ partial _ {j} \ sigma}

рассматривается как элемент свободной абелевой группы, натянутой на симплексы . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Cochain

Д - коцепной из с коэффициентами является отображение , которое связывает с каждой д симплекс сг Элементом и обозначит множество все д -cochains от с коэффициентами от . является абелевой группой поточечным сложением. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (| \ sigma |)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle С ^ {д} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$ ${\ Displaystyle С ^ {д} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$

Дифференциальный

Группы коцепей можно превратить в комплекс коцепей , определив кограничный оператор следующим образом: ${\ displaystyle (C ^ {\ bullet} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}), \ delta)}$ ${\ displaystyle \ delta _ {q}: C ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}) \ to C ^ {q + 1} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$

${\ displaystyle \ quad (\ delta _ {q} f) (\ sigma): = \ sum _ {j = 0} ^ {q + 1} (- 1) ^ {j} \ mathrm {res} _ {| \ sigma |} ^ {| \ partial _ {j} \ sigma |} f (\ partial _ {j} \ sigma),}$

где - морфизм ограничения от до (обратите внимание, что ∂ _j σ ⊆ σ, но | σ | ⊆ | ∂ _j σ |.) ${\ Displaystyle \ mathrm {res} _ {| \ sigma |} ^ {| \ partial _ {j} \ sigma |}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (| \ partial _ {j} \ sigma |)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (| \ sigma |).}$

Расчет показывает, что ${\ displaystyle \ delta _ {q + 1} \ circ \ delta _ {q} = 0.}$

Кограницей оператор аналогичен внешней производной от когомологий де Рама , так что иногда называют дифференциал коцепного комплекса .

Коцикл

Д коцепи называется д -cocycle , если он находится в ядре , следовательно , есть множество все д -cocycles. ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle Z ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}): = \ ker (\ delta _ {q}) \ substeq C ^ {q} ({\ mathcal {U }}, {\ mathcal {F}})}$

Таким образом, ( q −1) -цепь является коциклом, если для всех q -симплексов выполняется условие коцикла ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {q} (- 1) ^ {j} \ mathrm {res} _ {| \ sigma |} ^ {| \ partial _ {j} \ sigma |} f ( \ partial _ {j} \ sigma) = 0}

держит.

0-коцикл - это набор локальных секций, удовлетворяющих отношению совместимости на каждом пересечении ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {U}}}$

{\ Displaystyle f (A) | _ {A \ cap B} = f (B) | _ {A \ cap B}}

1-коцикл удовлетворяет для любого непустого с ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle U = A \ cap B \ cap C}$ ${\ displaystyle A, B, C \ in {\ mathcal {U}}}$

{\ Displaystyle f (B \ cap C) | _ {U} -f (A \ cap C) | _ {U} + f (A \ cap B) | _ {U} = 0}

Кограница

Д коцепь называется д -coboundary , если она находится в образе и есть множество все д -coboundaries. ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle B ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}): = \ mathrm {Im} (\ delta _ {q-1}) \ substeq C ^ {q} ( {\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$

Например, 1-коцепь является 1-кограницей, если существует 0-коцепь такая, что для каждого пересекающегося ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {U}}}$

{\ displaystyle f (A \ cap B) = h (A) | _ {A \ cap B} -h (B) | _ {A \ cap B}}

Когомологии

Чех из со значениями в определяются как когомология коцепного комплекса . Таким образом, q- е когомологии Чеха задаются формулой ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle (C ^ {\ bullet} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}), \ delta)}$

{\ displaystyle {\ check {H}} ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}): = H ^ {q} ((C ^ {\ bullet} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}), \ delta)) = Z ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}) / B ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}

.

Когомологии Чеха X определяется путем рассмотрения уточнений открытых покрытий. Если является уточнением, то существует отображение в когомологиях . Открытые накрытия X образуют направленное множество при уточнении, так что указанное выше отображение приводит к прямой системе абелевых групп. Чех из X со значениями в определяются как прямой предел этой системы. ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {*} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}) \ to {\ check {H}} ^ {*} ({\ mathcal {V }}, {\ mathcal {F}}).}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ check {H}} (X, {\ mathcal {F}}): = \ varinjlim _ {\ mathcal {U}} {\ check {H}} ({\ mathcal {U}}, { \ mathcal {F}})}$

Чех когомология X с коэффициентами в фиксированном абелевой группы А , обозначаемой , определяется как , где есть постоянный пучок на X определяется A . ${\ displaystyle {\ check {H}} (X; A)}$ ${\ displaystyle {\ check {H}} (X, {\ mathcal {F}} _ {A})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {A}}$

Вариант когомологий Чеха, называемый числовыми когомологиями Чеха , определяется, как указано выше, за исключением того, что все рассматриваемые открытые покрытия должны быть числовыми : то есть существует такое разбиение единицы {ρ _i }, что каждый носитель содержится в некотором элементе обложки. Если X является паракомпактным и Хаусдорфом , то исчислимый Чех совпадает с обычным Чехом. ${\ Displaystyle \ {х \ мид \ ро _ {я} (х)> 0 \}}$

Связь с другими теориями когомологий

Если X является гомотопическим эквивалентом к комплексу CW , то когомология Чеха является естественно изоморфно к особым когомологиям . Если X - дифференцируемое многообразие , то оно также естественно изоморфно когомологиям де Рама ; статья о когомологиях де Рама дает краткий обзор этого изоморфизма. Для пространств с менее хорошим поведением когомологии Чеха отличаются от особых когомологий. Например, если X - синусоидальная кривая замкнутого тополога , тогда тогда как ${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {*} (X; A)}$ ${\ Displaystyle Н ^ {*} (Х; А) \,}$ ${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {*} (X; \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {1} (X; \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z},}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (X; \ mathbb {Z}) = 0.}$

Если X является дифференцируемым многообразием и крышкой из X является «хорошим прикрытием» ( т.е. всех множества ˙U _α являются стягивает в точку, и все конечные пересечения множеств либо пусто , либо стягиваются в точку), то изоморфно к когомологиям де Рама. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {*} ({\ mathcal {U}}; \ mathbb {R})}$

Если X компактно хаусдорфово, то когомологии Чеха (с коэффициентами в дискретной группе) изоморфны когомологиям Александера-Спаньера .

В алгебраической геометрии

Когомологии Чеха могут быть определены более широко для объектов в сайте C, наделенном топологией. Это относится, например, к месту Зариского или этальному участку схемы X . Когомологии Чеха со значениями в некотором пучке F определяются как

{\ displaystyle {\ check {H}} ^ {n} (X, F): = \ varinjlim _ {\ mathcal {U}} {\ check {H}} ^ {n} ({\ mathcal {U}} , F).}

где копредел пробегает все покрытия (по отношению к выбранной топологии) X . Здесь определяется так же, как и выше, за исключением того, что r- кратные пересечения открытых подмножеств внутри объемлющего топологического пространства заменяются r -кратным расслоенным произведением ${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {n} ({\ mathcal {U}}, F)}$

{\ displaystyle {\ mathcal {U}} ^ {\ times _ {X} ^ {r}}: = {\ mathcal {U}} \ times _ {X} \ dots \ times _ {X} {\ mathcal { U}}.}

Как и в классической ситуации топологических пространств, всегда есть отображение

{\ displaystyle {\ check {H}} ^ {n} (X, F) \ rightarrow H ^ {n} (X, F)}

от когомологий Чеха к когомологиям пучков . Это всегда изоморфизм в степенях n = 0 и 1, но может и не быть так в целом. Для топологии Зариского на схеме с нетеровым разделением когомологии Чеха и пучка согласуются для любого квазикогерентного пучка . Что касается этальной топологии , две когомологии согласуются для любого этального пучка на X , при условии, что любое конечное множество точек X содержится в некоторой открытой аффинной подсхеме. Это выполняется, например, если Х является квазипроективно над аффинной схемой .

Возможное различие между когомологиями Чеха и когомологиями пучков является мотивацией для использования гиперпокрытий : это более общие объекты, чем нерв Чеха.

{\ displaystyle N_ {X} {\ mathcal {U}}: \ dots \ to {\ mathcal {U}} \ times _ {X} {\ mathcal {U}} \ times _ {X} {\ mathcal {U }} \ to {\ mathcal {U}} \ times _ {X} {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {U}}.}

Гиперпокрытие K _∗ пространства X - это симплициальный объект в C , т. Е. Набор объектов K _n вместе с границами и отображениями вырождения. Применение пучка F к K _∗ дает симплициальную абелеву группу F ( K _∗ ), n-я группа когомологий которой обозначается H ⁿ ( F ( K _∗ )). (Эта группа такая же, как в случае, когда K равно .) Тогда можно показать, что существует канонический изоморфизм ${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {n} ({\ mathcal {U}}, F)}$ ${\ Displaystyle N_ {X} {\ mathcal {U}}}$

{\ Displaystyle H ^ {n} (X, F) = \ varinjlim _ {K _ {*}} H ^ {n} (F (K _ {*})),}

где копредел теперь пробегает все гиперпокрытия.

Примеры

Например, мы можем вычислить когерентные когомологии пучка на проективной прямой, используя комплекс Чеха. Использование крышки ${\ displaystyle \ Omega ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {1} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [y]), U_ {2} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [у ^ {- 1}]) \}}

имеем следующие модули из котангенсного пучка

{\ Displaystyle {\ begin {align} & \ Omega ^ {1} (U_ {1}) = \ mathbb {C} [y] dy \\ & \ Omega ^ {1} (U_ {2}) = \ mathbb {C} \ left [y ^ {- 1} \ right] dy ^ {- 1} \ end {выровнено}}}

Если принять условные обозначения, то получим комплекс Чеха ${\ displaystyle dy ^ {- 1} = - (1 / y ^ {2}) dy}$

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {C} [y] dy \ oplus \ mathbb {C} \ left [y ^ {- 1} \ right] dy ^ {- 1} {\ xrightarrow {d ^ {0}} } \ mathbb {C} \ left [y, y ^ {- 1} \ right] dy \ to 0}

Так инъективна и единственный элемент не в образе есть мы получаем , что ${\ displaystyle d ^ {0}}$ ${\ displaystyle d ^ {0}}$ ${\ displaystyle y ^ {- 1} dy}$

{\ displaystyle {\ begin {align} & H ^ {1} (\ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}, \ Omega ^ {1}) \ cong \ mathbb {C} \\ & H ^ {k} (\ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}, \ Omega ^ {1}) \ cong 0 {\ text {for}} k \ neq 1 \ end {выровнено}} }

Languages

In other projects