Алгебра Линденбаума – Тарского - Lindenbaum–Tarski algebra
В математической логике , то алгебра Lindenbaum-Тарской (или Lindenbaum алгебра ) из логической теории T состоит из классов эквивалентности из предложений теории (т.е. фактор , по отношению эквивалентности \ определяется таким образом, что р \ д , когда именно р и q доказуемо эквивалентны в T ). То есть два предложения эквивалентны, если теория T доказывает, что одно подразумевает другое. Таким образом, алгебра Линденбаума – Тарского - это фактор-алгебра, полученная факторизацией алгебры формул по этому отношению конгруэнтности .
Алгебра названа в честь логиков Адольфа Линденбаума и Альфреда Тарски . Впервые он был введен Тарским в 1935 году как средство установления соответствия между классическим исчислением высказываний и булевыми алгебрами . Алгебра Линденбаума – Тарского считается источником современной алгебраической логики .
Операции
Операции в Линденбауме-Тарской алгебра А унаследованы от тех , в базовой теории T . Обычно они включают конъюнкцию и дизъюнкцию , которые четко определены в классах эквивалентности. Когда отрицание также присутствует в T , тогда A - булева алгебра , при условии, что логика классическая . Если теория T состоит из пропозициональных тавтологий , алгебра Линденбаума – Тарского - это свободная булева алгебра, порожденная пропозициональными переменными .
Связанные алгебры
Алгебры Гейтинга и внутренние алгебры - это алгебры Линденбаума – Тарского для интуиционистской логики и модальной логики S4 соответственно.
Логика, для которой применим метод Тарского, называется алгебраизируемой . Однако есть ряд логик, где это не так, например, модальные логики S1 , S2 или S3 , в которых отсутствует правило необходимости (⊢φ подразумевает ⊢ □ φ), поэтому ~ (определенное выше) не является конгруэнтность (поскольку ⊢φ → ψ не влечет ⊢ □ φ → □ ψ). Другой тип логики, в которой метод Тарского неприменим, - это логика релевантности , потому что для двух теорем импликация одной из них в другую может не быть теоремой в логике релевантности. Изучение процесса алгебраизации (и понятия) как предмета интереса само по себе, не обязательно с помощью метода Тарского, привело к развитию абстрактной алгебраической логики .
Смотрите также
Рекомендации
- Хинман, П. (2005). Основы математической логики . А.К. Петерс. ISBN 1-56881-262-0.