Логика релевантности - Relevance logic

Актуальность логика , называемая также релевантная логика , является своего рода не- классической логики требуя антецедент и консеквент от последствий быть релевантно связаны. Их можно рассматривать как семейство субструктурных или модальных логик. Обычно, но не повсеместно, британские и особенно австралийские логики называют релевантной логикой , а американские логики - логикой релевантности .

Логика релевантности стремится уловить аспекты импликации, которые игнорируются оператором « материальной импликации » в классической функциональной логике истинности , а именно понятие релевантности между антецедентом и условием истинного импликации. Эта идея не нова: К. И. Льюис был вынужден изобрести модальную логику, и в частности строгую импликацию , на том основании, что классическая логика допускает парадоксы материальной импликации, такие как принцип, согласно которому ложь подразумевает любое предложение . Следовательно, «если я осел, то два и два равно четырем» истинно при переводе как материальный подтекст, но это кажется интуитивно ложным, поскольку истинный подтекст должен связывать антецедент и следствие некоторым понятием релевантности. И то, является ли говорящий ослом, никоим образом не имеет отношения к тому, равно ли два и два четыре.

Как логика релевантности формально фиксирует понятие релевантности? С точки зрения синтаксического ограничения для исчисления высказываний необходимо, но недостаточно, чтобы посылки и заключение имели общие атомарные формулы (формулы, не содержащие никаких логических связок ). В исчислении предикатов релевантность требует разделения переменных и констант между предпосылками и заключением. Это может быть обеспечено (наряду с более строгими условиями), например, путем наложения определенных ограничений на правила системы естественного вывода. В частности, естественный вывод в стиле Fitch может быть адаптирован для соответствия релевантности путем введения тегов в конце каждой строки приложения вывода, указывающих на предпосылки, относящиеся к выводу вывода. Генценовский -стиль секвенция исчислений может быть изменено путем удаления правила ослабления , которые позволяют для введения произвольных формул на правой или левой стороне секвенции .

Примечательной особенностью логик релевантности является то, что они являются паранепротиворечивыми логиками : наличие противоречия не вызовет « взрыва ». Это следует из того факта, что условное выражение с противоречивым антецедентом, которое не разделяет пропозициональных или предикатных букв с консеквентом, не может быть истинным (или выводимым).

История

Логика релевантности была предложена в 1928 г. советским философом Иваном Е. Орловым (1886 - около 1936 г.) в его строго математической статье «Логика совместимости предложений», опубликованной в «Математическом сборнике». Основная идея релевантной импликации проявляется в средневековой логике, и некоторые новаторские работы были выполнены Аккерманом , Мохом и Черчем в 1950-х годах. Опираясь на них, Нуэль Белнап и Алан Росс Андерсон (вместе с другими) написали величайший труд на эту тему, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity в 1970-е годы (второй том был опубликован в девяностых). Они сосредоточились как на системах следования, так и на системах релевантности, где следствия первых видов должны быть как релевантными, так и необходимыми.

Аксиомы

Первые разработки логики релевантности были сосредоточены на более сильных системах. Развитие семантики Рутли – Мейера выявило ряд более слабых логик. Самой слабой из этих логик является логика релевантности B. Она аксиоматизирована следующими аксиомами и правилами.

Правила следующие.

Более сильную логику можно получить, добавив любую из следующих аксиом.

Есть некоторые известные логики, более сильные, чем B, которые могут быть получены путем добавления аксиом к B следующим образом.

  • Для DW добавьте аксиому 1.
  • Для DJ добавьте аксиомы 1, 2.
  • Для TW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4.
  • Для RW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 8, 9.
  • Для T добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
  • Для R добавьте аксиомы 1-11.
  • Для E добавьте аксиомы 1-7, 10, 11 , и , где определено как .
  • Для RM добавьте все дополнительные аксиомы.

Модели

Модели Рутли – Мейера

Стандартная теория моделей для логики релевантности - это тернарно-реляционная семантика Рутли-Мейера, разработанная Ричардом Рутли и Робертом Мейером . Фрейм Раутли – Мейера F для языка высказываний - это четверка (W, R, *, 0), где W - непустое множество, R - тернарное отношение на W, а * - функция из W в W, и . Модель Рутли-Мейера M - это фрейм Раутли-Мейера F вместе с оценкой , которая присваивает значение истинности каждому элементарному предложению относительно каждой точки . На фреймы Рутли-Мейера накладываются некоторые условия. Определите как .

  • .
  • Если и , то .
  • Если и , то .
  • .
  • Если , то .

Напишите и, чтобы указать, что формула верна или неверна, соответственно, в точке в . Одним из последних условий моделей Рутли-Мейера является условие наследственности.

  • Если и , то для всех атомарных предложений .

С помощью индуктивного аргумента можно показать, что наследственность распространяется на сложные формулы, используя следующие условия истинности.

  • Если и , то для всех формул .

Условия истинности сложных формул следующие.

  • а также
  • или

Формула держится в модели на всякий случай . Формула верна для фрейма тогда и только тогда, когда A выполняется в каждой модели . Формула действительна в классе фреймов тогда и только тогда, когда A выполняется для каждого фрейма в этом классе. Класс всех фреймов Рутли-Мейера, удовлетворяющих указанным выше условиям, подтверждает эту логику релевантности B. Можно получить фреймы Рутли-Мейера для других логик релевантности, наложив соответствующие ограничения на R и *. Эти условия легче сформулировать, используя некоторые стандартные определения. Позвольте быть определено как , и пусть будет определено как . Некоторые из условий фрейма и аксиомы, которые они подтверждают, следующие.

Имя Состояние рамы Аксиома
Псевдо-модус поненс
Префикс
Суффикс
Сокращение
Конъюнктивный силлогизм
Утверждение
Аксиома E
Аксиома смешивания или
Reductio
Противопоставление
Исключенный средний
Строгое ослабление импликации
Ослабление

Последние два условия подтверждают формы ослабления, избежать которых изначально была разработана логика релевантности. Они включены, чтобы показать гибкость моделей Рутли – Мейера.

Операционные модели

Модели уркарта

Операционные модели для свободных от отрицания фрагментов логики релевантности были разработаны Аласдером Уркартом в его докторской диссертации и в последующей работе. Интуитивная идея, лежащая в основе операционных моделей, заключается в том, что точки в модели представляют собой фрагменты информации, а объединение информации, поддерживающей условное выражение, с информацией, поддерживающей его антецедент, дает некоторую информацию, поддерживающую консеквент. Поскольку операционные модели обычно не интерпретируют отрицание, в этом разделе будут рассмотрены только языки с условным выражением, соединением и дизъюнкцией.

Операционный фрейм - это тройка , где - непустое множество , и - бинарная операция над . У фреймов есть условия, некоторые из которых могут быть отброшены для моделирования другой логики. Условия, предложенные Уркартом для моделирования условной логики релевантности R, заключаются в следующем.

В этих условиях операционный каркас представляет собой полурешетку соединения .

Операционная модель - это рамка с оценкой, которая отображает пары точек и атомарных предложений на значения истинности, T или F. могут быть расширены до оценки по сложным формулам следующим образом.

  • , для атомарных предложений
  • а также
  • или

Формула верна в модели тогда и только тогда . Формула действительна в классе моделей, если и только если она выполняется в каждой модели .

Условный фрагмент R корректен и полон по отношению к классу полурешеточных моделей. Логика с конъюнкцией и дизъюнкцией в действительности сильнее, чем условный, конъюнктивный, дизъюнкционный фрагмент R. В частности, формула действительна для операционных моделей, но недействительна в R. Логика, генерируемая операционными моделями для R, имеет полную система аксиоматических доказательств, причитающаяся Китаю Файну и Джеральду Чарлвуду. Чарлвуд также предоставил естественную систему вывода для логики, которая, как он доказал, эквивалентна аксиоматической системе. Чарлвуд показал, что его естественная система дедукции эквивалентна системе, предложенной Дагом Правитцем .

Операционная семантика может быть адаптирована для моделирования условного Е добавления непустого множества миров и доступность отношения на к кадрам. Отношение доступности должно быть рефлексивным и транзитивным, чтобы уловить идею о том, что условное выражение E имеет необходимость S4. Затем оценки отображают тройки элементарных предложений, точек и миров в значения истинности. Условие истинности для условного изменено на следующее.

Операционная семантика может быть адаптирована для моделирования условного оператора T путем добавления отношения on . Отношение должно удовлетворять следующим условиям.

  • Если и , то
  • Если , то

Условие истинности для условного изменяется на следующее.

Есть два способа смоделировать логику релевантности TW и RW без сжатия с помощью операционных моделей. Первый способ - отказаться от условия that . Второй способ - сохранить условия полурешетки на фреймах и добавить к фрейму бинарное отношение дизъюнкции. Для этих моделей условия истинности для условного выражения изменены на следующие, с добавлением порядка в случае TW.

Модели Humberstone

Уркарт показал, что полурешеточная логика для R собственно сильнее, чем положительный фрагмент Р. Ллойд Хамберстон предоставил обогащение операционных моделей, которые допускали другое условие истинности для дизъюнкции. Результирующий класс моделей порождает в точности положительный фрагмент R.

Операционный фрейм - это четверка , где - непустое множество , и { , } - бинарные операции над . Позвольте быть определено как . Условия кадра следующие.

  1. , и

Операционная модель - это рамка с оценкой, которая отображает пары точек и атомарных предложений на значения истинности, T или F. могут быть расширены до оценки по сложным формулам следующим образом.

  • , для атомарных предложений
  • а также
  • а также
  • или или ; а также

Формула верна в модели тогда и только тогда . Формула действительна в классе моделей, если и только если она выполняется в каждой модели .

Положительный фрагмент R здоров и полон по отношению к классу этих моделей. Семантика Хамберстоуна может быть адаптирована для моделирования различных логик путем удаления или добавления условий кадра следующим образом.

Система Условия кадра
B 1, 5-9, 14
TW 1, 11, 12, 5-9, 14
EW 1, 10, 11, 5-9, 14
RW 1-3, 5-9
Т 1, 11, 12, 13, 5-9, 14
E 1, 10, 11, 13, 5-9, 14
р 1–9
RM 1-3, 5-9, 15

Алгебраические модели

Некоторые релевантности логики могут быть даны алгебраические модели, такие как логики R. алгебраические структурами для R являются де Морган моноидов , которые sextuples где

  • является распределительной решеткой с унарной операцией, подчиняющейся законам, а если то ;
  • , Бинарная операция является коммутативной ( ) и ассоциативно ( ), и , т.е. является абелевым моноидом с идентичностью ;
  • моноид решеточно упорядочен и удовлетворяет ;
  • ; а также
  • если , то .

Операция интерпретации условного оператора R определяется как . Моноид де Моргана представляет собой решетку с делениями , удовлетворяющую следующему условию вычетов.

Интерпретация - это гомоморфизм языка высказываний на моноид де Моргана такой, что

  • для всех атомарных предложений,

Учитывая моноид де Моргана и интерпретацию , можно сказать, что формула остается в силе на всякий случай . Формула действительна только в том случае, если она верна для всех интерпретаций на всех моноидах де Моргана. Логика R верна и полна для моноидов де Моргана.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Льюис, CI (1912). «Импликация и алгебра логики». Разум , 21 (84): 522–531.
  2. ^ Льюис, CI (1917). «Вопросы, касающиеся материального вовлечения». Журнал философии, психологии и научных методов , 14 : 350–356.
  3. ^ Ackermann, W. (1956), "Begründung етег Штренген Implikation", журнал символической логики , 21 (2): 113-128, JSTOR 2268750  
  4. ^ Мох, Шоу-Kwei (1950), "дедукция теоремы и два новых логические системы", Methodos , 2 : 56-75 Moh Shaw-Kwei, 1950, "," Methodos 2 56–75.
  5. ^ Черч, A. (1951), Слабая теория импликацииin Kontroliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften , Kommissions-Verlag Karl Alber, под редакцией А. Менне, А. Вильгельми и Х. Ангсил, стр. 22–37.

Библиография

  • Алан Росс Андерсон и Нуэль Белнап , 1975. Вовлечение: логика релевантности и необходимости, т. Я . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-07192-6
  • ------- и JM Dunn, 1992. Вмешательство: логика релевантности и необходимости, т. II , Princeton University Press.
  • Марес, Эдвин и Мейер, РК, 2001, «Соответствующая логика», в Гобле, Лу, изд., Блэквелл: Руководство по философской логике . Блэквелл.
  • Ричард Рутли, Вэл Пламвуд, Роберт К. Мейер и Росс Т. Брэди. Актуальные логики и их соперники . Риджвью, 1982.
  • Р. Брэди (редактор), Соответствующие логики и их соперники (Том II) , Aldershot: Ashgate, 2003.
  • Уркхарт, Аласдер (1972). «Семантика релевантных логик» (PDF) . Журнал символической логики . 37 : 159–169. DOI : 10.2307 / 2272559 .
  • Аласдер Уркхарт. Семантика вовлечения . Кандидатская диссертация, Питтсбургский университет, 1972 год.
  • Каталин Бимбо , Логика релевантности, в Философии логики , Д. Жакетт (ред.), (Том 5 Справочника по философии науки , Д. Габбей, П. Тагард, Дж. Вудс (ред.)), Эльзевир (Север. -Holland), 2006, с. 723–789.
  • Дж. Майкл Данн и Грег Рестолл. Логика релевантности. В Справочнике по философской логике , том 6, Ф. Гентнер и Д. Габбей (ред.), Дордрехт: Kluwer, 2002, стр. 1–136.
  • Стивен Рид, Актуальная логика , Оксфорд: Блэквелл, 1988.
  • Хамберстон, Ллойд (1987). «Операционная семантика для положительного R» . Журнал формальной логики Нотр-Дам . 29 (1): 61–80. DOI : 10.1305 / ndjfl / 1093637771 .

внешние ссылки