Гипотеза Лежандра - Legendre's conjecture

Гипотеза Лежандра , предложенная Адрианом-Мари Лежандром , утверждает, что существует простое число от n ² до ( n + 1) ² для любого натурального числа n . Гипотеза является одной из проблем Ландау (1912) на простые числа; по состоянию на 2021 год гипотеза не подтверждена и не опровергнута.

Нерешенная задача по математике :

Всегда ли существует хотя бы одно простое число между n ² и (n + 1) ² ?

(больше нерешенных задач по математике)

Основные зазоры

Гипотеза Лежандра является одним из семейства результатов и гипотез , связанных с простыми пробелами , то есть к расстоянию между простыми числами.

График количества простых чисел между n ² и ( n + 1) ² OEIS : A014085

Простое число , теорема говорит о том , что фактическое число простых чисел между п ² и ( п + 1) ² ( OEIS : A014085 ) является асимптотическим к п / п ( п ). Поскольку это число велико для больших n , это подтверждает гипотезу Лежандра.

Если гипотеза Лежандра верна, разрыв между любым простым числом p и следующим по величине простым числом всегда будет не более чем порядка ; в нотации большой буквы O пробелы равны . Две сильные гипотезы, гипотеза Andrica в и гипотеза Oppermann в , также как предполагают , что зазоры имеют одинаковую величину. ${\ displaystyle {\ sqrt {p}}}$ ${\ displaystyle O ({\ sqrt {p}})}$

Харальд Крамер предположил, что зазоры всегда намного меньше порядка . Если гипотеза Крамера верна, гипотеза Лежандра будет следовать для всех достаточно больших n . Крамер также доказал, что гипотеза Римана влечет более слабую оценку размера наибольших промежутков между простыми числами. ${\ Displaystyle (\ журнал р) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle О ({\ sqrt {p}} \ log p)}$

Контрпример около 10 ¹⁸ потребует простого разрыва в пятьдесят миллионов раз больше среднего разрыва.

Гипотеза Лежандра подразумевает, что по крайней мере одно простое число можно найти в каждой половине оборота спирали Улама .

Частичные результаты

Из результата Ингама следует, что для всех достаточно больших между последовательными кубиками и стоит штрих . ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle п ^ {3}}$ ${\ Displaystyle (п + 1) ^ {3}}$

Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале есть простое число для всех больших . ${\ Displaystyle [х, \, х + О (х ^ {21/40})]}$ ${\ displaystyle x}$

Таблица максимальных простых промежутков показывает, что гипотеза верна, по крайней мере , в смысле . ${\ Displaystyle п ^ {2} = 4 \ cdot 10 ^ {18}}$ ${\ Displaystyle п = 2 \ cdot 10 ^ {9}}$