Постулат Бертрана - Bertrand's postulate

В теории чисел , постулат Бертрана является теорема о том , что для любого целого числа , всегда существует по крайней мере одно простое число с ${\ displaystyle n> 3}$ ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle n <p <2n-2.}$

Менее ограничительная формулировка: для каждого всегда есть хотя бы одно простое число такое, что ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle п <р <2n.}$

Другая формулировка, где - -е простое число, предназначена для${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle п \ geq 1}$

${\ displaystyle p_ {n + 1} <2p_ {n}.}$

Это утверждение было впервые высказано в 1845 году Джозефом Бертраном (1822–1900). Сам Бертран проверил свое утверждение для всех целых чисел . ${\ Displaystyle 2 \ Leq п \ Leq 3 \, 000 \, 000}$

Его гипотеза была полностью доказана на Чебышева (1821-1894) в 1852 году и поэтому постулата также называется теоремой Бертрана-Чебышева или теорема Чебышева . Теорема Чебышева также может быть сформулирована как связь с , где - функция подсчета простых чисел (количество простых чисел меньше или равно ): ${\ Displaystyle \ пи (х)}$${\ Displaystyle \ пи (х)}$${\ Displaystyle х \,}$

${\ displaystyle \ pi (x) - \ pi {\ bigl (} {\ tfrac {x} {2}} {\ bigr)} \ geq 1}$, для всех .${\ Displaystyle х \ geq 2}$

Теорема о простых числах

Теорема о простых числах (PNT) подразумевает, что количество простых чисел до x примерно равно x / ln ( x ), поэтому, если мы заменим x на 2 x, мы увидим, что количество простых чисел до 2 x асимптотически вдвое превышает количество простые числа до x (члены ln (2 x ) и ln ( x ) асимптотически эквивалентны). Следовательно, количество простых чисел между n и 2 n примерно равно n / ln ( n ), когда n велико, и, в частности, число простых чисел в этом интервале намного больше, чем гарантировано постулатом Бертрана. Итак, постулат Бертрана сравнительно слабее, чем PNT. Но PNT - это глубокая теорема, в то время как постулат Бертрана может быть сформулирован более запоминающимся и более легко доказанным, а также содержит точные утверждения о том, что происходит при малых значениях n . (Кроме того, теорема Чебышева была доказана до PNT и поэтому имеет исторический интерес.)

Похожая и до сих пор нерешенная гипотеза Лежандра спрашивает, существует ли для любого n > 1 простое число p такое, что n ² < p <( n  + 1) ² . Опять же, мы ожидаем, что будет не один, а много простых чисел между n ² и ( n  + 1) ² , но в этом случае PNT не помогает: количество простых чисел до x ² асимптотично по отношению к x ² / ln. ( x ² ), в то время как количество простых чисел до ( x  + 1) ² асимптотично ( x  + 1) ² / ln (( x  + 1) ² ), что асимптотично оценке простых чисел до x ² . Таким образом, в отличие от предыдущего случая x и 2 x мы не получаем доказательства гипотезы Лежандра даже для всех больших n . Оценок погрешности PNT недостаточно (на самом деле не может быть) для доказательства существования хотя бы одного простого числа в этом интервале.

Обобщения

В 1919 году Рамануджан (1887–1920) использовал свойства гамма-функции, чтобы дать более простое доказательство. Краткая статья содержала обобщение постулата, из которого позже возникла концепция простых чисел Рамануджана . Также были обнаружены дальнейшие обобщения простых чисел Рамануджана; например, есть доказательство того, что

${\ displaystyle 2p_ {in}> p_ {i} {\ text {for}} i> k {\ text {where}} k = \ pi (p_ {k}) = \ pi (R_ {n}) \, ,}$

с р _K на K - е простого числа и R _п п - е Рамануджан штриха.

Другие обобщения постулата Бертрана были получены элементарными методами. (Далее n пробегает множество натуральных чисел.) В 2006 году М. Эль Бакрауи доказал, что существует простое число между 2 n и 3 n . В 1973 году Денис Хэнсон доказал, что существует простое число между 3 n и 4 n . Кроме того, в 2011 году Энди Лу доказал, что, когда n стремится к бесконечности, количество простых чисел от 3 n до 4 n также стремится к бесконечности, тем самым обобщая результаты Эрдеша и Рамануджана (см. Раздел теорем Эрдеша ниже). Первый результат получается элементарными методами. Второй основан на аналитических оценках факториальной функции.

Теорема Сильвестра

Постулат Бертрана был предложен для приложений к группам перестановок . Сильвестр (1814-1897) обобщил слабое утверждение с утверждением: произведение K последовательных целых чисел больше , чем к является делится на простое число , большее , чем к . Постулат Бертрана (более слабый) следует из этого, если взять k  =  n и рассмотреть k чисел n  + 1, n  + 2, вплоть до n  +  k = 2 n , где n  > 1. Согласно обобщению Сильвестра, одно из у этих чисел есть простой делитель больше  k . Поскольку все эти числа меньше 2 ( k  + 1), число с простым делителем больше  k имеет только один простой делитель и, следовательно, является простым. Обратите внимание, что 2 n не является простым числом, и теперь мы действительно знаем, что существует простое число  p с n  <  p  <2 n .

Теоремы Эрдеша

В 1932 году Эрдеш (1913–1996) также опубликовал более простое доказательство, использующее биномиальные коэффициенты и функцию Чебышева ϑ , определенную как:

${\ Displaystyle \ vartheta (х) = \ сумма _ {p = 2} ^ {x} \ ln (p)}$

где p ≤ x пробегает простые числа. См. Подробности в доказательстве постулата Бертрана .

Эрдеш в 1934 году доказал, что для любого натурального числа k существует такое натуральное число N , что для всех n  >  N существует не менее k простых чисел между n и 2 n . Эквивалентное утверждение было доказано в 1919 году Рамануджаном (см. Простое число Рамануджана ).

Лучшие результаты

Из теоремы о простых числах следует, что для любого действительного числа существует такое, что для всех существует такое простое число , что . Можно показать, например, что ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle n_ {0}> 0}$${\ displaystyle n> n_ {0}}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle п <р <(1+ \ varepsilon) п}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ pi ((1+ \ varepsilon) n) - \ pi (n)} {n / \ log n}} = \ varepsilon,}$

откуда следует, что стремится к бесконечности (и, в частности, больше 1 для достаточно больших ). ${\ Displaystyle \ пи ((1+ \ varepsilon) п) - \ пи (п)}$ ${\ displaystyle n}$

Доказаны также неасимптотические оценки. В 1952 году Джитсуро Нагура доказал, что между и всегда стоит штрих . ${\ displaystyle n \ geq 25}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ bigl (} 1 + {\ tfrac {1} {5}} {\ bigr)} п}$

В 1976 году Лоуэлл Шенфельд показал, что для всегда есть простое число в открытом интервале . ${\ Displaystyle п \ geq 2 \, 010 \, 760}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle п <п <{\ bigl (} 1 + {\ tfrac {1} {16 \, 597}} {\ bigr)} п}$

В 1998 году докторской диссертации, Пьер Dusart улучшил предыдущий результат, показывающий , что для , и , в частности , существует простое число в интервале . ${\ displaystyle k \ geq 463}$${\ displaystyle p_ {k + 1} \ leq \ left (1 + {\ frac {1} {2 \ ln ^ {2} {p_ {k}}}} \ right) p_ {k}}$${\ Displaystyle х \ geq 3 \, 275}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x <p \ leq \ left (1 + {\ frac {1} {2 \ ln ^ {2} {x}}} \ right) x}$

В 2010 году Пьер Дюзар доказал, что в интервале есть хотя бы одно простое число . ${\ Displaystyle х \ geq 396 \, 738}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x <p \ leq \ left (1 + {\ frac {1} {25 \ ln ^ {2} {x}}} \ right) x}$

В 2016 году Пьер Дюзар улучшил свой результат по сравнению с 2010 годом, показав (предложение 5.4), что если в интервале есть хотя бы одно простое число . Он также показывает (следствие 5.5), что в интервале есть хотя бы одно простое число . ${\ Displaystyle х \ geq 89 \, 693}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x <p \ leq \ left (1 + {\ frac {1} {\ ln ^ {3} {x}}} \ right) x}$${\ Displaystyle х \ geq 468 \, 991 \, 632}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x <p \ leq \ left (1 + {\ frac {1} {5 \, 000 \ ln ^ {2} {x}}} \ right) x}$

Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале есть простое число для всех достаточно больших . ${\ Displaystyle [хх ^ {0,525}, \, х]}$${\ displaystyle x}$

Дудек доказал, что для всех существует по крайней мере одно простое число между и . ${\ displaystyle n \ geq e ^ {e ^ {33.3}}}$${\ Displaystyle п ^ {3}}$${\ Displaystyle (п + 1) ^ {3}}$

Последствия

• Последовательность простых чисел вместе с 1 представляет собой полную последовательность ; любое положительное целое число можно записать как сумму простых чисел (и 1), используя каждое не более одного раза.
• Единственное целое число гармоники - это число 1.

Смотрите также

• Гипотеза Оппермана
• Доказательство постулата Бертрана

Примечания

Библиография

• П. Эрдеш (1934). «Теорема Сильвестра и Шура». Журнал Лондонского математического общества . 9 (4): 282–288. DOI : 10,1112 / jlms / s1-9.4.282 .
• Джитсуро Нагура (1952). «На интервале, содержащем хотя бы одно простое число» . Proc. Япония Acad . 28 (4): 177–181. DOI : 10.3792 / PJA / 1195570997 .
• Крис Колдуэлл, постулат Бертрана в глоссарии Prime Pages .
• Х. Рикардо (2005). «Гипотеза Гольдбаха подразумевает постулат Бертрана» . Амер. Математика. Ежемесячно . 112 : 492.
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. п. 49. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Дж. Сондоу (2009). «Простые числа Рамануджана и постулат Бертрана». Амер. Математика. Ежемесячно . 116 (7): 630–635. arXiv : 0907.5232 . DOI : 10.4169 / 193009709x458609 .

внешние ссылки

• Сондоу, Джонатан и Вайстейн, Эрик В. «Постулат Бертрана» . MathWorld .
• Доказательство слабой версии в системе Mizar : http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• Постулат Бертрана - доказательство слабой версии на www.dimostriamogoldbach.it/en/