Метод Лапласа - Laplace's method

Нижняя граница: Пусть . Поскольку непрерывно, существует такое, что если то По теореме Тейлора для любого${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle f ''}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle | x_ {0} -c | <\ delta}$${\ displaystyle f '' (c) \ geq f '' (x_ {0}) - \ varepsilon.}$${\ displaystyle x \ in (x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta),}$

${\ displaystyle f (x) \ geq f (x_ {0}) + {\ frac {1} {2}} (f '' (x_ {0}) - \ varepsilon) (x-x_ {0}) ^ {2}.}$

Тогда у нас есть следующая нижняя оценка:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {a} ^ {b} e ^ {nf (x)} \, dx & \ geq \ int _ {x_ {0} - \ delta} ^ {x_ {0} + \ delta} e ^ {nf (x)} \, dx \\ & \ geq e ^ {nf (x_ {0})} \ int _ {x_ {0} - \ delta} ^ {x_ {0} + \ delta} e ^ {{\ frac {n} {2}} (f '' (x_ {0}) - \ varepsilon) (x-x_ {0}) ^ {2}} \, dx \\ & = e ^ {nf (x_ {0})} {\ sqrt {\ frac {1} {n (-f '' (x_ {0}) + \ varepsilon)}}} \ int _ {- \ delta {\ sqrt {n (-f '' (x_ {0}) + \ varepsilon)}}} ^ {\ delta {\ sqrt {n (-f '' (x_ {0}) + \ varepsilon)}}} e ^ { - {\ frac {1} {2}} y ^ {2}} \, dy \ end {align}}}$

где последнее равенство получено заменой переменных

${\ displaystyle y = {\ sqrt {n (-f '' (x_ {0}) + \ varepsilon)}} (x-x_ {0}).}$

Помните, что мы можем извлечь квадратный корень из отрицания. ${\ displaystyle f '' (x_ {0}) <0}$

Если разделить обе части указанного неравенства на

${\ displaystyle e ^ {nf (x_ {0})} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n (-f '' (x_ {0}))}}}}$

и возьмем предел, получим:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} e ^ {nf (x)} \, dx} {e ^ {nf (x_ {0}) } {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n (-f '' (x_ {0}))}}}}} \ geq \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} { \ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ delta {\ sqrt {n (-f '' (x_ {0}) + \ varepsilon)}}} ^ {\ delta {\ sqrt {n (- f '' (x_ {0}) + \ varepsilon)}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} y ^ {2}} \, dy \, \ cdot {\ sqrt {\ frac { -f '' (x_ {0})} {- f '' (x_ {0}) + \ varepsilon}}} = {\ sqrt {\ frac {-f '' (x_ {0})} {- f '' (x_ {0}) + \ varepsilon}}}}$

так как это верно для произвольного, получаем нижнюю оценку: ${\ Displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} e ^ {nf (x)} \, dx} {e ^ {nf (x_ {0}) } {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n (-f '' (x_ {0}))}}}}} \ geq 1}$

Обратите внимание, что это доказательство также работает, когда или (или и то, и другое). ${\ Displaystyle а = - \ infty}$${\ displaystyle b = \ infty}$

Верхняя оценка: доказательство аналогично доказательству нижней оценки, но с некоторыми неудобствами. Мы снова начинаем с выбора, но для того, чтобы доказательство работало, нам нужно достаточно маленькое, чтобы Тогда, как и выше, по непрерывности и теореме Тейлора, мы можем найти так, что если , то ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle f '' (x_ {0}) + \ varepsilon <0.}$${\ displaystyle f ''}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle | х-х_ {0} | <\ delta}$

${\ displaystyle f (x) \ leq f (x_ {0}) + {\ frac {1} {2}} (f '' (x_ {0}) + \ varepsilon) (x-x_ {0}) ^ {2}.}$

Наконец, по нашим предположениям (при условии, что они конечны) существует такое, что если , то . ${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle \ eta> 0}$${\ Displaystyle | х-х_ {0} | \ geq \ delta}$${\ displaystyle f (x) \ leq f (x_ {0}) - \ eta}$

Затем мы можем вычислить следующую верхнюю границу:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {a} ^ {b} e ^ {nf (x)} \, dx & \ leq \ int _ {a} ^ {x_ {0} - \ delta} e ^ {nf (x)} \, dx + \ int _ {x_ {0} - \ delta} ^ {x_ {0} + \ delta} e ^ {nf (x)} \, dx + \ int _ {x_ {0} + \ delta} ^ {b} e ^ {nf (x)} \, dx \\ & \ leq (ba) e ^ {n (f (x_ {0}) - \ eta)} + \ int _ {x_ {0} - \ delta} ^ {x_ {0} + \ delta} e ^ {nf (x)} \, dx \\ & \ leq (ba) e ^ {n (f (x_ {0}) - \ eta)} + e ^ {nf (x_ {0})} \ int _ {x_ {0} - \ delta} ^ {x_ {0} + \ delta} e ^ {{\ frac {n} {2}} (f '' (x_ {0}) + \ varepsilon) (x-x_ {0}) ^ {2}} \, dx \\ & \ leq (ba) e ^ {n (f (x_ {0})) - \ eta)} + e ^ {nf (x_ {0})} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {{\ frac {n} {2}} (f '' (x_ {0}) + \ varepsilon) (x-x_ {0}) ^ {2}} \, dx \\ & \ leq (ba) e ^ {n (f (x_ {0}) - \ eta)} + e ^ {nf (x_ {0})} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n (-f '' (x_ {0}) - \ varepsilon)}}} \ end {выровнено}}}$

Если разделить обе части указанного неравенства на

${\ displaystyle e ^ {nf (x_ {0})} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n (-f '' (x_ {0}))}}}}$

и возьмем предел, получим:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} e ^ {nf (x)} \, dx} {e ^ {nf (x_ {0}) } {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n (-f '' (x_ {0}))}}}}} \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} (ba) e ^ {- \ eta n} {\ sqrt {\ frac {n (-f '' (x_ {0}))} {2 \ pi}}} + {\ sqrt {\ frac {-f '' (x_ {0}) } {- f '' (x_ {0}) - \ varepsilon}}} = {\ sqrt {\ frac {-f '' (x_ {0})} {- f '' (x_ {0}) - \ варепсилон}}}}$

Поскольку произвольно, получаем верхнюю границу: ${\ Displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} e ^ {nf (x)} \, dx} {e ^ {nf (x_ {0}) } {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n (-f '' (x_ {0}))}}}}} \ leq 1}$

И объединение этого с нижней границей дает результат.

Обратите внимание, что приведенное выше доказательство, очевидно, терпит неудачу, когда или (или и то, и другое). Чтобы разобраться в этих случаях, нам нужны дополнительные предположения. Достаточным (не необходимым) предположением является то, что для${\ Displaystyle а = - \ infty}$${\ displaystyle b = \ infty}$${\ Displaystyle п = 1,}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} e ^ {nf (x)} \, dx <\ infty,}$

и что указанное выше число существует (обратите внимание, что это должно быть предположение в случае, когда интервал бесконечен). Доказательство проводится иначе, как указано выше, но с несколько другим приближением интегралов: ${\ displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle [а, б]}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x_ {0} - \ delta} e ^ {nf (x)} \, dx + \ int _ {x_ {0} + \ delta} ^ {b} e ^ {nf (x)} \, dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} e ^ {f (x)} e ^ {(n-1) (f (x_ {0}) - \ eta)} \, dx = e ^ {(n-1) (f (x_ {0}) - \ eta)} \ int _ {a} ^ {b} e ^ {f (x)} \, dx.}$

Когда мы делим на

${\ displaystyle e ^ {nf (x_ {0})} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n (-f '' (x_ {0}))}}},}$

мы получаем за этот срок

${\ displaystyle {\ frac {e ^ {(n-1) (f (x_ {0}) - \ eta)} \ int _ {a} ^ {b} e ^ {f (x)} \, dx} {e ^ {nf (x_ {0})} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n (-f '' (x_ {0}))}}}} = e ^ {- (n- 1) \ eta} {\ sqrt {n}} e ^ {- f (x_ {0})} \ int _ {a} ^ {b} e ^ {f (x)} \, dx {\ sqrt {\ гидроразрыв {-f '' (x_ {0})} {2 \ pi}}}}$

чей предел как есть . Остальная часть доказательства (анализ интересующего термина) проводится, как указано выше. ${\ Displaystyle п \ к \ infty}$${\ displaystyle 0}$

Данное условие в случае бесконечного интервала, как сказано выше, является достаточным, но не необходимым. Однако это условие выполняется во многих, если не в большинстве, приложениях: условие просто говорит, что изучаемый нами интеграл должен быть четко определенным (не бесконечным) и что максимум функции должен быть «истинным» максимумом. (номер должен существовать). Нет необходимости требовать конечности интеграла при, но достаточно требовать конечности интеграла для некоторого${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ eta> 0}$${\ Displaystyle п = 1}$${\ displaystyle n = N.}$

1. Относительная ошибка

«Приближение» в этом методе связано с относительной ошибкой, а не с абсолютной ошибкой . Следовательно, если мы положим

${\ displaystyle s = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {M \ left | f '' (x_ {0}) \ right |}}}.}$

интеграл можно записать как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {a} ^ {b} e ^ {Mf (x)} \, dx & = se ^ {Mf (x_ {0})} {\ frac {1} {s }} \ int _ {a} ^ {b} e ^ {M (f (x) -f (x_ {0}))} \, dx \\ & = se ^ {Mf (x_ {0})} \ int _ {\ frac {a-x_ {0}} {s}} ^ {\ frac {b-x_ {0}} {s}} e ^ {M (f (sy + x_ {0}) - f ( x_ {0}))} \, dy \ end {выровнено}}}$

где - малое число, когда - очевидно большое число, и относительная погрешность будет ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ left | \ int _ {\ frac {a-x_ {0}} {s}} ^ {\ frac {b-x_ {0}} {s}} e ^ {M (f (sy + x_ {0}) - f (x_ {0}))} dy-1 \ right |.}$

Теперь разделим этот интеграл на две части: регион и остальное. ${\ displaystyle y \ in [-D_ {y}, D_ {y}]}$

2. вокруг стационарной точки, когда она достаточно велика${\ displaystyle e ^ {M (f (sy + x_ {0}) - f (x_ {0}))} \ to e ^ {- \ pi y ^ {2}}}$${\ displaystyle M}$

Давайте посмотрим на разложение Тейлора в окрестностях х ₀ и перевести х к у , потому что мы делаем сравнение в у-пространстве, мы получим ${\ Displaystyle М (е (х) -f (x_ {0}))}$

${\ displaystyle M (f (x) -f (x_ {0})) = {\ frac {Mf '' (x_ {0})} {2}} s ^ {2} y ^ {2} + {\ frac {Mf '' '(x_ {0})} {6}} s ^ {3} y ^ {3} + \ cdots = - \ pi y ^ {2} + O \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {M}}} \ right).}$

Обратите внимание, потому что это неподвижная точка. Из этого уравнения вы обнаружите, что члены выше второй производной в этом разложении Тейлора подавляются в порядке порядка, так что они будут ближе к функции Гаусса, как показано на рисунке. Помимо, ${\ displaystyle f '(x_ {0}) = 0}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {M}}}}$${\ Displaystyle \ ехр (М (е (х) -f (х_ {0})))}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ pi y ^ {2}} dy = 1.}$

Цифра с равна 1, 2 и 3, а красная линия - это кривая функции .${\ displaystyle e ^ {M [е (sy + x_ {0}) - f (x_ {0})]}}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle е ^ {- \ пи у ^ {2}}}$

3. Чем больше , тем меньший диапазон связан${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$

Поскольку мы делаем сравнение в y-пространстве, фиксируется, в котором будет вызывать ; однако, обратно пропорционально , выбранная область будет меньше при увеличении. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y \ in [-D_ {y}, D_ {y}]}$${\ displaystyle x \ in [-sD_ {y}, sD_ {y}]}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ sqrt {M}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$

4. Если интеграл в методе Лапласа сходится, вклад области, которая не находится вокруг стационарной точки интегрирования его относительной ошибки, будет стремиться к нулю по мере роста.${\ displaystyle M}$

Опираясь на 3-ю концепцию, даже если мы выберем очень большое значение D _y , sD _{y в} конечном итоге будет очень маленьким числом, когда его увеличат до огромного числа. Тогда как мы можем гарантировать, что интеграл остатка будет стремиться к 0, когда он достаточно велик? ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Основная идея состоит в том, чтобы найти функцию , в которой интеграл и интеграл будут стремиться к нулю при росте. Поскольку экспоненциальная функция всегда будет больше нуля, пока это действительное число, а эта экспоненциальная функция пропорциональна интегралу от воли, стремящегося к нулю. Для простоты, выбирают в качестве касательной через точку , как показано на рисунке: ${\ Displaystyle м (х)}$${\ Displaystyle м (х) \ geq f (х)}$${\ Displaystyle е ^ {Мм (х)}}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle Мм (х)}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ Displaystyle м (х),}$${\ displaystyle e ^ {Mf (x)}}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ displaystyle x = sD_ {y}}$

${\ Displaystyle м (х)}$обозначается двумя проходящими через него касательными линиями . Когда становится меньше, область покрытия будет больше.${\ displaystyle x = \ pm sD_ {y} + x_ {0}}$${\ displaystyle sD_ {y}}$

Если интервал интегрирования этого метода конечен, мы обнаружим, что независимо от того , продолжается ли материя в остальной области, она всегда будет меньше, чем показано выше, когда она достаточно велика. Кстати, позже будет доказано, что интеграл от будет стремиться к нулю, когда будет достаточно большим. ${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle е ^ {Мм (х)}}$${\ displaystyle M}$

Если интервал интегрирования этого метода бесконечен, и они всегда могут пересекаться друг с другом. Если это так, мы не можем гарантировать, что интеграл будет в конечном итоге стремиться к нулю. Например, в случае всегда будут расходиться. Следовательно, нам нужно потребовать, чтобы оно могло сходиться для случая бесконечного интервала. Если это так, этот интеграл будет стремиться к нулю, когда будет достаточно большим, и мы можем выбрать его как крест и${\ Displaystyle м (х)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle e ^ {Mf (x)}}$${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {\ sin (x)} {x}},}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {Mf (x)} dx}$${\ displaystyle \ int _ {d} ^ {\ infty} e ^ {Mf (x)} dx}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ displaystyle f (x).}$

Вы можете спросить, почему бы не выбрать в качестве сходящегося интеграла? Позвольте мне показать вам причину на примере. Предположим , что оставшаяся часть является то и интеграл расходится; однако, когда интеграл сходится. Итак, интеграл некоторых функций будет расходиться, когда число небольшое, но они сходятся, когда оно достаточно велико. ${\ Displaystyle \ int _ {d} ^ {\ infty} е ^ {е (х)} dx}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle - \ ln x,}$${\ Displaystyle е ^ {е (х)} = {\ tfrac {1} {х}}}$${\ Displaystyle M = 2,}$${\ displaystyle e ^ {Mf (x)} = {\ tfrac {1} {x ^ {2}}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Во-первых, используйте для обозначения глобального максимума, что упростит вывод. Нас интересует относительная погрешность, записанная как , ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$${\ displaystyle | R |}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} h (x) e ^ {Mg (x)} \, dx = h (0) e ^ {Mg (0)} s \ underbrace {\ int _ {a / s} ^ {b / s} {\ frac {h (x)} {h (0)}} e ^ {M \ left [g (sy) -g (0) \ right]} dy} _ {1 + R},}$

куда

${\ Displaystyle s \ Equiv {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {M \ left | g '' (0) \ right |}}}.}$

Итак, если мы позволим

${\ Displaystyle A \ Equiv {\ гидроразрыва {h (sy)} {h (0)}} e ^ {M \ left [g (sy) -g (0) \ right]}}$

и мы можем получить ${\ Displaystyle А_ {0} \ эквив е ^ {- \ пи у ^ {2}}}$

${\ displaystyle \ left | R \ right | = \ left | \ int _ {a / s} ^ {b / s} A \, dy- \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} A_ {0} \, dy \ right |}$

с тех пор . ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} A_ {0} \, dy = 1}$

Что касается верхней границы, обратите внимание, что, таким образом, мы можем разделить это интегрирование на 5 частей с 3 различными типами (a), (b) и (c) соответственно. Следовательно, ${\ Displaystyle | А + В | \ leq | А | + | В |,}$

${\ displaystyle | R | <\ underbrace {\ left | \ int _ {D_ {y}} ^ {\ infty} A_ {0} dy \ right |} _ {(a_ {1})} + \ underbrace {\ left | \ int _ {D_ {y}} ^ {b / s} Ady \ right |} _ {(b_ {1})} + \ underbrace {\ left | \ int _ {- D_ {y}} ^ { D_ {y}} \ left (A-A_ {0} \ right) dy \ right |} _ {(c)} + \ underbrace {\ left | \ int _ {a / s} ^ {- D_ {y} } Ady \ right |} _ {(b_ {2})} + \ underbrace {\ left | \ int _ {- \ infty} ^ {- D_ {y}} A_ {0} dy \ right |} _ {( а_ {2})}}$

где и похожи, давайте просто посчитаем и и тоже похожи, я просто посчитаю . ${\ Displaystyle (а_ {1})}$${\ Displaystyle (а_ {2})}$${\ Displaystyle (а_ {1})}$${\ displaystyle (b_ {1})}$${\ displaystyle (b_ {2})}$${\ displaystyle (b_ {1})}$

Ведь после перевода мы можем получить ${\ Displaystyle (а_ {1})}$${\ Displaystyle г \ эквив \ пи у ^ {2}}$

${\ displaystyle (a_ {1}) = \ left | {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} \ int _ {\ pi D_ {y} ^ {2}} ^ {\ infty } e ^ {- z} z ^ {- 1/2} dz \ right | <{\ frac {e ^ {- \ pi D_ {y} ^ {2}}} {2 \ pi D_ {y}}} .}$

Это означает, что пока он достаточно большой, он будет стремиться к нулю. ${\ displaystyle D_ {y}}$

Ибо мы можем получить ${\ displaystyle (b_ {1})}$

${\ displaystyle (b_ {1}) \ leq \ left | \ int _ {D_ {y}} ^ {b / s} \ left [{\ frac {h (sy)} {h (0)}} \ right ] _ {\ text {max}} e ^ {Mm (sy)} dy \ right |}$

куда

${\ displaystyle m (x) \ geq g (x) -g (0) {\ text {as}} x \ in [sD_ {y}, b]}$

и должен иметь такой же знак в этом регионе. В качестве касательной выберем точку при , т.е. которая показана на рисунке ${\ Displaystyle ч (х)}$${\ displaystyle h (0)}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ displaystyle x = sD_ {y}}$${\ displaystyle m (sy) = g (sD_ {y}) - g (0) + g '(sD_ {y}) \ left (sy-sD_ {y} \ right)}$

${\ Displaystyle м (х)}$касательные линии через точку в .${\ displaystyle x = sD_ {y}}$

Из этого рисунка видно, что, когда или становится меньше, область, удовлетворяющая вышеуказанному неравенству, будет увеличиваться. Поэтому, если мы хотим найти подходящую, чтобы покрыть все в течение интервала , будет верхний предел. Кроме того, поскольку интеграция проста, позвольте мне использовать ее, чтобы оценить относительную ошибку, которую это вносит . ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle D_ {y}}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle (b_ {1})}$${\ displaystyle D_ {y}}$${\ displaystyle e ^ {- \ alpha x}}$${\ displaystyle (b_ {1})}$

Основываясь на разложении Тейлора, мы можем получить

${\ displaystyle {\ begin {align} M \ left [g (sD_ {y}) - g (0) \ right] & = M \ left [{\ frac {g '' (0)} {2}} s ^ {2} D_ {y} ^ {2} + {\ frac {g '' '(\ xi)} {6}} s ^ {3} D_ {y} ^ {3} \ right] && {\ text {as}} \ xi \ in [0, sD_ {y}] \\ & = - \ pi D_ {y} ^ {2} + {\ frac {(2 \ pi) ^ {3/2} g '' '(\ xi) D_ {y} ^ {3}} {6 {\ sqrt {M}} | g' '(0) | ^ {\ frac {3} {2}}}}, \ end {выровнено} }}$

а также

${\ displaystyle {\ begin {align} Msg '(sD_ {y}) & = Ms \ left (g' '(0) sD_ {y} + {\ frac {g' '' (\ zeta)} {2} } s ^ {2} D_ {y} ^ {2} \ right) && {\ text {as}} \ zeta \ in [0, sD_ {y}] \\ & = - 2 \ pi D_ {y} + {\ sqrt {\ frac {2} {M}}} \ left ({\ frac {\ pi} {| g '' (0) |}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} g '' '(\ zeta) D_ {y} ^ {2}, \ end {align}}}$

а затем подставьте их обратно в расчет ; однако вы можете обнаружить, что остатки этих двух расширений обратно пропорциональны квадратному корню из , позвольте мне исключить их, чтобы украсить вычисления. Лучше хранить их, но это сделает формулу уродливее. ${\ displaystyle (b_ {1})}$${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} (b_ {1}) & \ leq \ left | \ left [{\ frac {h (sy)} {h (0)}} \ right] _ {\ max} e ^ {- \ pi D_ {y} ^ {2}} \ int _ {0} ^ {b / s-D_ {y}} e ^ {- 2 \ pi D_ {y} y} dy \ right | \\ & \ leq \ left | \ left [{\ frac {h (sy)} {h (0)}} \ right] _ {\ max} e ^ {- \ pi D_ {y} ^ {2}} {\ frac {1} {2 \ pi D_ {y}}} \ right |. \ End {align}}}$

Следовательно, при увеличении он будет стремиться к нулю , но не забывайте, что при этом вычислении следует учитывать верхнюю границу . ${\ displaystyle D_ {y}}$${\ displaystyle D_ {y}}$

Что касается интегрирования рядом , мы также можем использовать теорему Тейлора для его вычисления. Когда${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle h '(0) \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (c) & \ leq \ int _ {- D_ {y}} ^ {D_ {y}} e ^ {- \ pi y ^ {2}} \ left | {\ frac {sh '(\ xi)} {h (0)}} y \ right | \, dy \\ & <{\ sqrt {\ frac {2} {\ pi M | g' '(0) |}}} \ left | {\ frac {h '(\ xi)} {h (0)}} \ right | _ {\ max} \ left (1-e ^ {- \ pi D_ {y} ^ {2}} \ вправо) \ end {выровнен}}}$

и вы можете обнаружить, что он обратно пропорционален квадратному корню из . Фактически, будет вести себя так же, когда является константой. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (c)}$${\ Displaystyle ч (х)}$

В конце концов, интеграл около стационарной точки будет становиться меньше по мере увеличения, а остальные части будут стремиться к нулю, пока он достаточно велик; однако мы должны помнить, что у этого есть верхний предел, который определяется тем, всегда ли функция больше, чем в остальной области. Однако до тех пор, пока мы можем найти один, удовлетворяющий этому условию, верхнюю границу можно выбрать как прямо пропорциональную, поскольку является касательной через точку at . Итак, чем больше , тем больше может быть. ${\ displaystyle {\ sqrt {M}}}$${\ displaystyle D_ {y}}$${\ displaystyle D_ {y}}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ displaystyle g (x) -g (0)}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ displaystyle D_ {y}}$${\ displaystyle {\ sqrt {M}}}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ displaystyle g (x) -g (0)}$${\ displaystyle x = sD_ {y}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle D_ {y}}$