Приближение Стирлинга - Stirling's approximation

Сравнение приближения Стирлинга с факториалом

В математике , Формула Стирлинга (или формула Стирлинга ) является приближением для факториалов . Это хорошее приближение, приводящее к точным результатам даже для малых значений n . Он назван в честь Джеймса Стирлинга , хотя впервые об этом заявил Абрахам де Муавр .

Версия формулы, обычно используемая в приложениях:

${\ Displaystyle \ пер (п!) = п \ пер п-п + О (\ пер п)}$

(в большой нотации O , как ), или, изменив основание логарифма (например, в наихудшем случае нижней границы для сортировки сравнения ), ${\ Displaystyle п \ к \ infty}$

${\ displaystyle \ log _ {2} (n!) = n \ log _ {2} nn \ log _ {2} e + O (\ log _ {2} n).}$

Указание константы в члене ошибки O (ln n ) дает 1/2ln (2 πn ) , что дает более точную формулу:

${\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n},}$

где знак ~ означает, что две величины асимптотичны : их отношение стремится к 1, когда n стремится к бесконечности.

Вывод

Грубо говоря, простейший вариант формулы Стирлинга можно быстро получить, аппроксимируя сумму

${\ Displaystyle \ пер (п!) = \ сумма _ {j = 1} ^ {п} \ пер j}$

с интегралом :

${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ ln j \ приблизительно \ int _ {1} ^ {n} \ ln x \, {\ rm {d}} x = n \ ln n-n +1.}$

Полная формула вместе с точными оценками ее погрешности может быть получена следующим образом. Вместо того, чтобы приближать n ! , считается ее натуральный логарифм , так как это медленно меняющаяся функция :

${\ Displaystyle \ пер (п!) = \ пер 1+ \ пер 2+ \ cdots + \ пер п.}$

Правая часть этого уравнения за вычетом

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (\ ln 1+ \ ln n) = {\ tfrac {1} {2}} \ ln n}$

- аппроксимация правилом трапеций интеграла

${\ displaystyle \ ln (n!) - {\ tfrac {1} {2}} \ ln n \ приблизительно \ int _ {1} ^ {n} \ ln x \, {\ rm {d}} x = n \ ln n-n + 1,}$

и погрешность этого приближения дается формулой Эйлера – Маклорена :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ ln (n!) - {\ tfrac {1} {2}} \ ln n & = {\ tfrac {1} {2}} \ ln 1+ \ ln 2+ \ ln 3+ \ cdots + \ ln (n-1) + {\ tfrac {1} {2}} \ ln n \\ & = n \ ln n-n + 1 + \ sum _ {k = 2} ^ {m } {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k}} {k (k-1)}} \ left ({\ frac {1} {n ^ {k-1}}} - 1 \ right ) + R_ {m, n}, \ end {выровнено}}}$

где B _k - число Бернулли , а R _{m , n} - остаточный член в формуле Эйлера – Маклорена. Возьмите пределы, чтобы найти это

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ ln (n!) - n \ ln n + n - {\ tfrac {1} {2}} \ ln n \ right) = 1- \ sum _ {k = 2} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k}} {k (k-1)}} + \ lim _ {n \ to \ infty} R_ { m, n}.}$

Обозначим этот предел как y . Поскольку остаток R _{m , n} в формуле Эйлера – Маклорена удовлетворяет

${\ displaystyle R_ {m, n} = \ lim _ {n \ to \ infty} R_ {m, n} + O \ left ({\ frac {1} {n ^ {m}}} \ right),}$

где используется нотация большого O , объединение приведенных выше уравнений дает формулу аппроксимации в ее логарифмической форме:

${\ Displaystyle \ пер (п!) = п \ пер \ влево ({\ гидроразрыва {п} {е}} \ вправо) + {\ tfrac {1} {2}} \ пер п + у + \ сумма _ {к = 2} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k}} {k (k-1) n ^ {k-1}}} + O \ left ({\ frac {1 } {n ^ {m}}} \ right).}$

Взяв экспоненту с обеих сторон и выбрав любое положительное целое число m , можно получить формулу с неизвестной величиной e ^y . Для m = 1 формула

${\ displaystyle n! = e ^ {y} {\ sqrt {n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} \ left (1 + O \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ right).}$

Величину e ^y можно найти, взяв предел с обеих сторон, поскольку n стремится к бесконечности, и используя произведение Уоллиса , которое показывает, что e ^y = √ 2 π . Таким образом, получается формула Стирлинга:

${\ displaystyle n! = {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} \ left (1 + O \ left ({\ frac {1 } {n}} \ right) \ right).}$

Альтернативное происхождение

Альтернативная формула для n ! с использованием гамма - функцию в

${\ displaystyle n! = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} e ^ {- x} \, {\ rm {d}} x.}$

(что видно при многократном интегрировании по частям). Переписывая и меняя переменные x = ny , получаем

${\ Displaystyle п! = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {n \ ln xx} \, {\ rm {d}} x = e ^ {n \ ln n} n \ int _ {0 } ^ {\ infty} e ^ {n (\ ln yy)} \, {\ rm {d}} y.}$

Применяя метод Лапласа, мы получаем

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {n (\ ln yy)} \, {\ rm {d}} y \ sim {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n} }} e ^ {- n},}$

который восстанавливает формулу Стирлинга:

${\ displaystyle n! \ sim e ^ {n \ ln n} n {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n}}} e ^ {- n} = {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}.}$

Фактически, дальнейшие поправки также могут быть получены с использованием метода Лапласа. Например, вычисление разложения двух порядков с использованием метода Лапласа дает (с использованием небольшой нотации )

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {n (\ ln yy)} \, {\ rm {d}} y = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n}} } e ^ {- n} \ left (1 + {\ frac {1} {12n}} + o \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ right)}$

и дает формулу Стирлинга двум порядкам:

${\ displaystyle n! = {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} \ left (1 + {\ frac {1} {12n}) } + o \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ right).}$

Версия этого метода для комплексного анализа должна рассматриваться как коэффициент Тейлора экспоненциальной функции , вычисляемой по интегральной формуле Коши как ${\ displaystyle {\ frac {1} {п!}}}$${\ displaystyle e ^ {z} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint \ limits _ {| z | = r} {\ frac {e ^ {z}} {z ^ {n + 1}}} \, \ mathrm {d} z.}$

Затем этот линейный интеграл может быть аппроксимирован методом перевала с соответствующим выбором обратного радиуса . Преобладающая часть интеграла около седловой точки затем аппроксимируется действительным интегралом и методом Лапласа, тогда как оставшаяся часть интеграла может быть ограничена сверху, чтобы получить член ошибки. ${\ displaystyle r = r_ {n}}$

Скорость сходимости и оценки ошибок

Относительная ошибка в усеченном ряду Стирлинга по сравнению с n для 0–5 членов. Изломы кривых представляют собой точки, в которых усеченный ряд совпадает с Γ ( n + 1) .

Формула Стирлинга фактически является первым приближением следующего ряда (теперь называемого рядом Стирлинга ):

${\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} \ left (1 + {\ frac {1} {12n }} + {\ frac {1} {288n ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840n ^ {3}}} - {\ frac {571} {2488320n ^ {4}}} + \ cdots \Правильно).}$

Явная формула для коэффициентов этого ряда была дана Г. Немесом. Первый график в этом разделе показывает относительную ошибку в зависимости от n для всех 5 терминов, перечисленных выше.

Относительная ошибка в усеченном ряду Стирлинга в зависимости от количества используемых терминов

При n → ∞ ошибка в усеченном ряду асимптотически равна первому пропущенному члену. Это пример асимптотического разложения . Это не сходящийся ряд ; для любого конкретного значения n существует только такое количество членов ряда, которые улучшают точность, после чего точность ухудшается. Это показано на следующем графике, который показывает относительную ошибку в зависимости от количества членов в ряду для большего количества членов. Точнее, пусть S ( n , t ) будет рядом Стирлинга для t членов, вычисленных в  n . Графики показывают

${\ Displaystyle \ влево | \ пер \ влево ({\ гидроразрыва {S (п, т)} {п!}} \ вправо) \ вправо |,}$

что, когда оно мало, по сути является относительной ошибкой.

Написание серии Стирлинга в виде

${\ displaystyle \ ln (n!) \ sim n \ ln n-n + {\ tfrac {1} {2}} \ ln (2 \ pi n) + {\ frac {1} {12n}} - {\ frac {1} {360n ^ {3}}} + {\ frac {1} {1260n ^ {5}}} - {\ frac {1} {1680n ^ {7}}} + \ cdots,}$

известно, что ошибка при усечении ряда всегда имеет противоположный знак и, самое большее, той же величины, что и первый пропущенный член.

Более точные оценки, сделанные Роббинсом, действительные для всех положительных целых чисел n :

${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}} \ n ^ {n + {\ frac {1} {2}}} e ^ {- n} e ^ {\ frac {1} {12n + 1}} <n ! <{\ sqrt {2 \ pi}} \ n ^ {n + {\ frac {1} {2}}} e ^ {- n} e ^ {\ frac {1} {12n}}.}$

Формула Стирлинга для гамма-функции

Для всех положительных целых чисел

${\ Displaystyle п! = \ Гамма (п + 1),}$

где Γ обозначает гамма-функцию .

Однако гамма-функция, в отличие от факториала, более широко определена для всех комплексных чисел, кроме неположительных целых чисел; тем не менее, формула Стирлинга все еще может применяться. Если Re ( z )> 0 , то

${\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z) = z \ ln z-z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln {\ frac {2 \ pi} {z}} + \ int _ {0} ^ { \ infty} {\ frac {2 \ arctan \ left ({\ frac {t} {z}} \ right)} {e ^ {2 \ pi t} -1}} \, {\ rm {d}} т .}$

Повторное интегрирование по частям дает

${\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) \ sim z \ ln z-z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln {\ frac {2 \ pi} {z}} + \ sum _ {n = 1 } ^ {N-1} {\ frac {B_ {2n}} {2n (2n-1) z ^ {2n-1}}},}$

где B _n является n -м числом Бернулли (обратите внимание, что предел суммы as не сходится, поэтому эта формула является просто асимптотическим разложением ). Формула справедлива для z достаточно больших по модулю, когда | arg ( z ) | <π - ε , где ε положительно, с ошибкой O ( z ^{−2 N + 1} ) . Соответствующее приближение теперь можно записать: ${\ displaystyle N \ to \ infty}$

${\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \, {\ left ({\ frac {z} {e}} \ right)} ^ {z} \ left (1 + O \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \ right).}$

где расширение идентично разложению в приведенной выше серии Стирлинга для n ! , за исключением того, что n заменяется на z - 1 .

Дальнейшее применение этого асимптотического разложения - для комплексного аргумента z с постоянной Re ( z ) . Смотри, например , формула Стирлинга применяется в Im ( г ) = т в тэта - функции Римана-Зигеля на прямой линии1/4+ это .

Границы ошибок

Для любого натурального числа N вводятся следующие обозначения:

${\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) = z \ ln z-z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln {\ frac {2 \ pi} {z}} + \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {N-1} {\ frac {B_ {2n}} {2n \ left ({2n-1} \ right) z ^ {2n-1}}} + R_ {N} (z)}$

а также

${\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \ left ({\ frac {z} {e}} \ right) ^ {z} \ left ({\ sum \ limits _ {n = 0} ^ {N-1} {\ frac {a_ {n}} {z ^ {n}}} + {\ widetilde {R}} _ {N} (z)} \ right ).}$

потом

${\ displaystyle {\ begin {align} | R_ {N} (z) | & \ leq {\ frac {| B_ {2N} |} {2N (2N-1) | z | ^ {2N-1}}} {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} | \ arg z | \ leq {\ frac {\ pi} {4}}, \\ | \ csc (\ arg z) | & {\ text {if }} {\ frac {\ pi} {4}} <| \ arg z | <{\ frac {\ pi} {2}}, \\\ sec ^ {2N} \ left ({\ tfrac {\ arg z } {2}} \ right) & {\ text {if}} | \ arg z | <\ pi, \ end {cases}} \\ [6pt] \ left | {\ widetilde {R}} _ {N} (z) \ right | & \ leq \ left ({\ frac {\ left | a_ {N} \ right |} {| z | ^ {N}}} + {\ frac {\ left | a_ {N + 1 } \ right |} {| z | ^ {N + 1}}} \ right) {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} | \ arg z | \ leq {\ frac {\ pi} {4 }}, \\ | \ csc (2 \ arg z) | & {\ text {if}} {\ frac {\ pi} {4}} <| \ arg z | <{\ frac {\ pi} {2 }}. \ end {case}} \ end {align}}}$

Для получения дополнительной информации и других границ ошибок см. Цитируемые статьи.

Конвергентная версия формулы Стирлинга

Томас Байес показал в письме Джону Кантону, опубликованном Королевским обществом в 1763 году, что формула Стирлинга не дает сходящегося ряда . Получение сходящейся версии формулы Стирлинга влечет за собой оценку формулы Раабе :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {2 \ arctan \ left ({\ frac {t} {x}} \ right)} {e ^ {2 \ pi t} -1} } \, {\ rm {d}} t = \ ln \ Gamma (x) -x \ ln x + x - {\ tfrac {1} {2}} \ ln {\ frac {2 \ pi} {x} }.}$

Один из способов сделать это - с помощью сходящейся серии перевернутых возрастающих экспонент . Если

${\ displaystyle z ^ {\ bar {n}} = z (z + 1) \ cdots (z + n-1),}$

тогда

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {2 \ arctan \ left ({\ frac {t} {x}} \ right)} {e ^ {2 \ pi t} -1} } \, {\ rm {d}} t = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {n}} {(x + 1) ^ {\ bar {n}}}} ,}$

куда

${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {\ bar {n}} \ left (x - {\ tfrac {1} {2) }} \ right) \, {\ rm {d}} x = {\ frac {1} {2n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {k | s (n, k) |} {(k + 1) (k + 2)}},}$

где s ( n ,  k ) обозначает числа Стирлинга первого рода . Отсюда получается версия серии Стирлинга.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ ln \ Gamma (x) & = x \ ln x-x + {\ tfrac {1} {2}} \ ln {\ frac {2 \ pi} {x}} + { \ frac {1} {12 (x + 1)}} + {\ frac {1} {12 (x + 1) (x + 2)}} + \\ & \ quad + {\ frac {59} {360 (x + 1) (x + 2) (x + 3)}} + {\ frac {29} {60 (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)}} + \ cdots, \ end {выровнены}}}$

который сходится при Re ( x )> 0 .

Версии для калькуляторов

Приближение

${\ displaystyle \ Gamma (z) \ приблизительно {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \ left ({\ frac {z} {e}} {\ sqrt {z \ sinh {\ frac { 1} {z}} + {\ frac {1} {810z ^ {6}}}}} \ right) ^ {z}}$

и его эквивалентная форма

${\ displaystyle 2 \ ln \ Gamma (z) \ приблизительно \ ln (2 \ pi) - \ ln z + z \ left (2 \ ln z + \ ln \ left (z \ sinh {\ frac {1} {z}) } + {\ frac {1} {810z ^ {6}}} \ right) -2 \ right)}$

может быть получено путем перегруппировки расширенной формулы Стирлинга и наблюдая совпадение между результирующей мощностью серией и рядом Тейлор разложением гиперболического синусом функции. Это приближение подходит для более чем 8 десятичных цифр для z с действительной частью больше 8. Роберт Х. Виндшитл предложил его в 2002 году для вычисления гамма-функции с хорошей точностью на калькуляторах с ограниченной памятью программ или регистров.

Гергё Немес предложил в 2007 году приближение, которое дает такое же количество точных цифр, что и приближение Виндшитля, но намного проще:

${\ displaystyle \ Gamma (z) \ приблизительно {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \ left ({\ frac {1} {e}} \ left (z + {\ frac {1} { 12z - {\ frac {1} {10z}}}} \ right) \ right) ^ {z},}$

или эквивалентно,

${\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) \ приблизительно {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ ln (2 \ pi) - \ ln z \ right) + z \ left (\ ln \ left (z + {\ frac {1} {12z - {\ frac {1} {10z}}}} \ right) -1 \ right).}$

Альтернативное приближение для гамма-функции, сформулированное Шринивасой Рамануджаном ( Рамануджан, 1988 ):

${\ displaystyle \ Gamma (1 + x) \ приблизительно {\ sqrt {\ pi}} \ left ({\ frac {x} {e}} \ right) ^ {x} \ left (8x ^ {3} + 4x ^ {2} + x + {\ frac {1} {30}} \ right) ^ {\ frac {1} {6}}}$

для x ≥ 0 . Эквивалентное приближение для ln n ! имеет асимптотическую ошибку1/1400 п ³ и дается

${\ displaystyle \ ln n! \ приблизительно n \ ln n-n + {\ tfrac {1} {6}} \ ln (8n ^ {3} + 4n ^ {2} + n + {\ tfrac {1} {30} }) + {\ tfrac {1} {2}} \ ln \ pi.}$

Приближение можно сделать точным, задав парные верхние и нижние границы; одно такое неравенство

${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}} \ left ({\ frac {x} {e}} \ right) ^ {x} \ left (8x ^ {3} + 4x ^ {2} + x + {\ frac {1} {100}} \ right) ^ {1/6} <\ Gamma (1 + x) <{\ sqrt {\ pi}} \ left ({\ frac {x} {e}} \ right) ^ {x} \ left (8x ^ {3} + 4x ^ {2} + x + {\ frac {1} {30}} \ right) ^ {1/6}.}$

Оценка центрального эффекта в биномиальном распределении

В информатике, особенно в контексте рандомизированных алгоритмов , принято генерировать случайные битовые векторы, длина которых равна степени двойки. Многие алгоритмы, производящие и использующие эти битовые векторы, чувствительны к количеству сгенерированных битовых векторов или к манхэттенскому расстоянию между двумя такими векторами. Часто особый интерес представляет плотность "честных" векторов, где количество популяции n- битного вектора равно точно . Это составляет вероятность того, что повторное подбрасывание монеты во многих попытках приведет к ничьей. ${\ displaystyle n / 2}$

Формула Стирлинга к , центральный и максимальный биномиальный коэффициент из биномиального распределения , упрощает особенно приятно , когда принимает форму , для целого . Здесь нас интересует, как уменьшается плотность центрального подсчета населения по сравнению с , получая последнюю форму в затухании в децибелах : ${\ Displaystyle {п \ выбрать п / 2}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 4 ^ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ log _ {2} {n \ choose n / 2} -n & = - k - {\ frac {\ log _ {2} (\ pi) -1} {2}} + O (\ log _ {2} n) \\ & \ приблизительно -k-0.3257481 \\ & \ приблизительно -k - {\ frac {1} {3}} \\ & \ приблизительно \ mathbf {3k + 1} ~~ \ mathrm {дБ} ~ ({\ text {затухание}}) \ end {выровнено}}}$

Это простое приближение демонстрирует удивительную точность:

${\ displaystyle {\ begin {align} 10 \ log _ {10} (2 ^ {- 1024} {1024 \ choose 512}) & \ приблизительно -16.033159 ~~~ {\ begin {cases} k & = 5 \\ n = 4 ^ {k} & = 1024 \\ 3k + 1 & = \ mathbf {16} \\\ end {cases}} \\ 10 \ log _ {10} (2 ^ {- 1048576} {1048576 \ choose 524288} ) & \ приблизительно -31.083600 ~~~ {\ begin {cases} k & = 10 \\ n = 4 ^ {k} & = 1048576 \\ 3k + 1 & = \ mathbf {31} \\\ end {cases}} \ конец {выровнен}}}$

Двоичное уменьшение получается из дБ при делении на . ${\ Displaystyle 10 \ журнал (2) / \ журнал (10) \ приблизительно 3,0103 \ приблизительно 3}$

Как прямая дробная оценка:

${\ displaystyle {\ begin {align} {n \ choose n / 2} / 2 ^ {n} & = 2 ^ {{\ frac {1- \ log _ {2} (\ pi)} {2}} - k} + O (n) \\ & \ приблизительно {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} ~ 2 ^ {- k} \\ & \ приблизительно 0,7978846 ~ 2 ^ {- k} \\ & \ приблизительно \ mathbf {{\ frac {4} {5}} 2 ^ {- k}} \ end {выровнено}}}$

И снова оба примера демонстрируют точность, легко превышающую 1%:

${\ displaystyle {\ begin {align} {256 \ choose 128} 2 ^ {- 256} & \ приблизительно 20.072619 ^ {- 1} ~~~ {\ begin {cases} k & = 4 \\ n = 4 ^ {k } & = 256 \\ {\ frac {4} {5}} \ times {\ frac {1} {2 ^ {4}}} & = \ mathbf {20} ^ {- 1} \\\ end {case }} \\ {1048576 \ choose 524288} 2 ^ {- 1048576} & \ приблизительно 1283.3940 ^ {- 1} ~~~ {\ begin {cases} k & = 10 \\ n = 4 ^ {k} & = 1048576 \ \ {\ frac {4} {5}} \ times {\ frac {1} {2 ^ {10}}} & = \ mathbf {1280} ^ {- 1} \ end {cases}} \ end {выровнены} }}$

Интерпретируя повторное подбрасывание монеты, сеанс, включающий чуть более миллиона подбрасываний монет (бинарный миллион), имеет один шанс из примерно 1300 закончиться ничьей.

Оба этих приближения (одно в логическом пространстве, другое в линейном пространстве) достаточно просты для многих разработчиков программного обеспечения, чтобы получить оценку мысленно с исключительной точностью по стандартам мысленных оценок.

Биномиальное распределение близко приближается к нормальному распределению для больших , так что эти оценки , основанные на аппроксимации Стирлинга также относятся к пиковому значению функции масс вероятностей для больших и , как указано в следующей раздаче: . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p = 0,5}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (np, \, np (1-p))}$

История

Формула была впервые обнаружена Абрахамом де Муавром в форме

${\ displaystyle n! \ sim [{\ rm {constant}}] \ cdot n ^ {n + {\ frac {1} {2}}} e ^ {- n}.}$

Де Муавр дал приближенное выражение в виде рациональных чисел для натурального логарифма константы. Вклад Стирлинга состоял в том, чтобы показать, что постоянная точна . ${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}}}$

Смотрите также

• Приближение Ланцоша
• Приближение Спужа

Примечания

использованная литература

• Olver, FWJ; Olde Daalhuis, AB; Lozier, DW; Шнайдер, Б.И.; Бойсверт, РФ; Кларк, CW; Миллер, Б. Р. и Сондерс, Б. В., Цифровая библиотека математических функций NIST , версия 1.0.13 от 16 сентября 2016 г.
• Абрамовиц М. и Стегун И. (2002), Справочник по математическим функциям
• Nemes, G. (2010), "Новое асимптотическое разложение для гамма - функции", Archiv дер Mathematik , 95 (2): 161-169, DOI : 10.1007 / s00013-010-0146-9
• Пэрис, Р. Б., Камински, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина – Барнса , Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79001-7
• Whittaker, ET & Watson, GN (1996), Курс современного анализа (4-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2
• Дэн Ромик, Приближение Стирлинга для n!: Окончательное краткое доказательство? , The American Mathematical Monthly, Vol. 107, № 6 (июнь - июль 2000 г.), 556–557.
• Ю.-К. Ли, Заметка об идентичности гамма-функции и формулы Стирлинга , Real Analysis Exchang, Vol. 32 (1), 2006/2007, стр. 267–272.

внешние ссылки

• "Формула Стирлинга" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Питер Luschny, Аппроксимационные формулы для факториальной функции n!
• Вайсштейн, Эрик В. "Приближение Стирлинга" . MathWorld .
• Приближение Стирлинга в PlanetMath .