Функция Гаусса - Gaussian function

В математике , функция Гаусса , часто просто называют гауссовой , является функцией вида

для произвольных действительных постоянных a , b и ненулевых c . Он назван в честь математика Карла Фридриха Гаусса . График гауссова является характерным симметричным « колоколообразной кривой » формы. Параметр a - это высота пика кривой, b - положение центра пика, а c ( стандартное отклонение , иногда называемое шириной RMS по Гауссу ) управляет шириной «колокола».

Гауссовы функции часто используются для представления функции плотности вероятности в виде нормально распределенной случайной величины с ожидаемым значением μ = Ь и дисперсия сг 2 = C 2 . В этом случае гауссиан имеет вид

Функции Гаусса широко используются в статистике для описания нормальных распределений , в обработке сигналов для определения фильтров Гаусса , в обработке изображений, где двумерные гауссианы используются для размытия по Гауссу , и в математике для решения уравнений теплопроводности и диффузии, а также для определения уравнения Вейерштрасса. преобразовать .

Характеристики

Гауссовские функции возникают при составлении экспоненциальной функции с вогнутой квадратичной функцией :

куда

Таким образом, гауссовские функции - это те функции, логарифм которых является вогнутой квадратичной функцией.

Параметр c связан с полной шириной пика на полувысоте (FWHM) в соответствии с

Затем функция может быть выражена через FWHM, представленную w :

В качестве альтернативы параметр c можно интерпретировать, говоря, что две точки перегиба функции находятся в x = b ± c .

Полная ширина на десятой максимальной (FWTM) для гауссова может представлять интерес и

Гауссовы функции аналитичны , и их предел при x → ∞ равен 0 (для указанного выше случая b = 0 ).

Гауссовы функции относятся к числу тех функций, которые являются элементарными, но не имеют элементарных первообразных ; интеграл от функции Гаусса является функцией ошибки . Тем не менее, их несобственные интегралы по всей действительной прямой можно точно вычислить, используя интеграл Гаусса

и получается

Нормализованные гауссовы кривые с математическим ожиданием μ и дисперсией σ 2 . Соответствующие параметры , Ь = μ и с = σ .

Этот интеграл равен 1 тогда и только тогда , когда ( постоянная нормирующий ), и в этом случае гауссова является функцией плотности вероятности из нормально распределенной случайной величины с ожидаемым значением μ = б и дисперсия σ 2 = C 2 :

Эти гауссианы изображены на прилагаемом рисунке.

Гауссовы функции с центром в нуле минимизируют принцип неопределенности Фурье .

Произведение двух функций Гаусса является гауссовым, и свертки двух функций Гаусса является также гауссовым, с дисперсией , являющейся суммой исходных дисперсий: . Однако произведение двух гауссовских функций плотности вероятности (PDF), как правило, не является гауссовской PDF.

Принимая преобразование Фурье (унитарная, угловая частота конвенции) гауссовского функции с параметрами а = 1 , Ь = 0 и С даешь другую функцию Гаусса, с параметрами , Ь = 0 и . Так , в частности , гауссовы функции с Ь = 0 , и постоянно получают фиксированные с помощью преобразования Фурье (они являются собственными функциями преобразования Фурье с собственным значением 1). Физическая реализация - это дифракционная картина : например, фотографический слайд , коэффициент пропускания которого имеет гауссовское изменение, также является гауссовой функцией.

Тот факт, что функция Гаусса является собственной функцией непрерывного преобразования Фурье, позволяет нам вывести следующее интересное тождество из формулы суммирования Пуассона :

Интеграл от функции Гаусса

Интеграл от произвольной гауссовой функции равен

Альтернативная форма

где f должен быть строго положительным, чтобы интеграл сходился.

Связь со стандартным гауссовским интегралом

Интегральный

для некоторых действительных констант a , b , c > 0 можно вычислить, представив его в виде гауссова интеграла . Во-первых, постоянную a можно просто вычесть из интеграла. Затем переменная интегрирования изменяется с x на y = x - b :

а затем :

Тогда, используя интегральное тождество Гаусса

у нас есть

Двумерная функция Гаусса

3D-график функции Гаусса с двумерной областью

В двух измерениях степень возведения e в функции Гаусса является любой отрицательно определенной квадратичной формой. Следовательно, наборы уровней гауссиана всегда будут эллипсами.

Частным примером двумерной функции Гаусса является

Здесь коэффициент A - это амплитуда, x 0y 0 - центр, а σ xσ y - x и y разброса капли. Рисунок справа был создан с использованием A = 1, x 0 = 0, y 0 = 0, σ x = σ y = 1.

Объем под функцией Гаусса определяется выражением

В общем, двумерная эллиптическая функция Гаусса выражается как

где матрица

является положительно определенной .

Используя эту формулировку, рисунок справа может быть создан с использованием A = 1, ( x 0y 0 ) = (0, 0), a = c = 1/2, b = 0.

Значение параметров для общего уравнения

Для общей формы уравнения коэффициент A - это высота пика, а ( x 0y 0 ) - центр капли.

Если мы установим

затем мы поворачиваем каплю на угол по часовой стрелке (для вращения против часовой стрелки поменять местами знаки в коэффициенте b ). Это можно увидеть на следующих примерах:

Используя следующий код Octave , можно легко увидеть эффект изменения параметров:

A = 1;
x0 = 0; y0 = 0;

sigma_X = 1;
sigma_Y = 2;

[X, Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5);

for theta = 0:pi/100:pi
    a = cos(theta)^2 / (2 * sigma_X^2) + sin(theta)^2 / (2 * sigma_Y^2);
    b = -sin(2 * theta) / (4 * sigma_X^2) + sin(2 * theta) / (4 * sigma_Y^2);
    c = sin(theta)^2 / (2 * sigma_X^2) + cos(theta)^2 / (2 * sigma_Y^2);

    Z = A * exp(-(a * (X - x0).^2 + 2 * b * (X - x0) .* (Y - y0) + c * (Y - y0).^2));

surf(X, Y, Z);
shading interp;
view(-36, 36)
waitforbuttonpress
end

Такие функции часто используются при обработке изображений и в вычислительных моделях функций зрительной системы - см. Статьи о масштабном пространстве и адаптации аффинной формы .

Также см. Многомерное нормальное распределение .

Гауссова или супергауссова функция высшего порядка

Более общую формулировку функции Гаусса с плоской вершиной и спадом по Гауссу можно получить, возведя содержание показателя в степень :

Эта функция известна как супергауссова функция и часто используется для формулировки гауссова пучка. В двумерной формулировке функция Гаусса вдоль и может быть объединена с потенциально разными и сформировать эллиптическое распределение Гаусса:

или прямоугольное распределение Гаусса:

Многомерная функция Гаусса

В -мерном пространстве функцию Гаусса можно определить как

где - столбец координат, - положительно определенная матрица, обозначает транспонирование матрицы .

Интеграл от этой функции Гаусса по целому -мерному пространству имеет вид

Его можно легко вычислить, диагонализуя матрицу и заменяя переменные интегрирования на собственные векторы матрицы .

В более общем смысле смещенная функция Гаусса определяется как

где - вектор сдвига, а матрицу можно считать симметричной,, и положительно определенной. Следующие интегралы с этой функцией могут быть вычислены с помощью того же метода:

куда

Оценка параметров

Ряд областей, таких как звездная фотометрия , характеристика гауссова пучка и спектроскопия линий излучения / поглощения, работают с дискретизированными функциями Гаусса и требуют точной оценки параметров высоты, положения и ширины функции. Есть три неизвестных параметра для одномерной функции Гаусса ( a , b , c ) и пять для двумерной функции Гаусса .

Наиболее распространенный метод оценки гауссовых параметров - это логарифм данных и подгонка параболы к результирующему набору данных. Хотя это обеспечивает простую процедуру подбора кривой , результирующий алгоритм может быть искажен из-за чрезмерного взвешивания малых значений данных, что может привести к большим ошибкам в оценке профиля. Эту проблему можно частично компенсировать с помощью взвешенной оценки методом наименьших квадратов , уменьшая вес малых значений данных, но это тоже может быть смещено, если позволить хвосту гауссианы преобладать при подгонке. Чтобы устранить смещение, вместо этого можно использовать итеративно переназначенную процедуру наименьших квадратов , в которой веса обновляются на каждой итерации. Также возможно выполнить нелинейную регрессию непосредственно на данных, без использования логарифмического преобразования данных ; дополнительные параметры см. в разделе « Подгонка распределения вероятностей» .

Точность параметра

Если у кого-то есть алгоритм для оценки параметров функции Гаусса, также важно знать, насколько точны эти оценки. Любой алгоритм оценки методом наименьших квадратов может предоставить численные оценки дисперсии каждого параметра (т. Е. Дисперсии оцененной высоты, положения и ширины функции). Можно также использовать теорию границ Крамера – Рао для получения аналитического выражения для нижней границы дисперсии параметров при определенных предположениях относительно данных.

  1. Шум в измеряемом профиле либо iid гауссовский, либо шум распределенный по Пуассону .
  2. Расстояние между каждой выборкой (т. Е. Расстояние между пикселями, измеряющими данные) одинаково.
  3. Пик является «хорошо отобранным», так что менее 10% площади или объема под пиком (область, если гауссиан 1D, объем, если гауссиан 2D), лежит за пределами области измерения.
  4. Ширина пика намного больше, чем расстояние между точками выборки (т. Е. Пиксели детектора должны быть по крайней мере в 5 раз меньше, чем гауссова FWHM).

Когда эти предположения выполнены, следующая ковариационная матрица K применяется для параметров профиля 1D , и под н.о.р. гауссовского шума и под шумом Пуассона:

где - ширина пикселей, используемых для выборки функции, - квантовая эффективность детектора и указывает стандартное отклонение шума измерения. Таким образом, индивидуальные отклонения параметров в случае гауссовского шума равны

а в случае пуассоновского шума

Для параметров 2D-профиля, задающих амплитуду , положение и ширину профиля, применяются следующие ковариационные матрицы:

где дисперсии отдельных параметров задаются диагональными элементами ковариационной матрицы.

Дискретный гауссовский

Дискретная гауссова ядро (сплошная линия ), по сравнению с дискретизированным гауссова ядром (пунктир) для весов

Можно попросить дискретный аналог гауссианы; это необходимо в дискретных приложениях, особенно в цифровой обработке сигналов . Простым ответом является выборка непрерывного гауссовского сигнала, в результате чего получается дискретизированное гауссовское ядро . Однако эта дискретная функция не имеет дискретных аналогов свойств непрерывной функции и может приводить к нежелательным эффектам, как описано в реализации масштабного пространства изделия .

Альтернативный подход - использовать дискретное ядро ​​Гаусса :

где обозначает модифицированные функции Бесселя целого порядка.

Это дискретный аналог непрерывного гауссиана в том смысле, что он является решением дискретного уравнения диффузии (дискретное пространство, непрерывное время), так же, как непрерывный гауссиан является решением уравнения непрерывной диффузии.

Приложения

Гауссовские функции появляются во многих контекстах в естественных науках , социальных науках , математике и инженерии . Вот некоторые примеры:

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки