Принцип Лапласа (теория больших отклонений) - Laplace principle (large deviations theory)

В математике , принцип Лапласа является основной теоремой в теории больших отклонений , которые аналогично лемме Варадан . Это дает асимптотическое выражение для интеграла Лебега exp (- θφ ( x )) по фиксированному множеству A, когда θ становится большим. Такие выражения могут использоваться, например, в статистической механике для определения предельного поведения системы при стремлении температуры к абсолютному нулю .

Формулировка результата

Пусть быть измерима по Лебегу подмножество из D - мерное евклидово пространство R ^d и пусть φ  :  R ^d  →  R быть измеримой функции с

${\ Displaystyle \ int _ {A} е ^ {- \ varphi (x)} \, dx <\ infty.}$

затем

${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to \ infty} {\ frac {1} {\ theta}} \ log \ int _ {A} e ^ {- \ theta \ varphi (x)} \, dx = - \ mathop {\ mathrm {ess \, inf}} _ {x \ in A} \ varphi (x),}$

где ess inf обозначает существенную нижнюю грань . Эвристический, это может быть прочитано как говорят , что при большом & thetas ,

${\ Displaystyle \ int _ {A} е ^ {- \ theta \ varphi (x)} \, dx \ приблизительно \ exp \ left (- \ theta \ mathop {\ mathrm {ess \, inf}} _ {x \ в A} \ varphi (x) \ right).}$

заявка

Принцип Лапласа можно применить к семейству вероятностных мер P _θ, заданных формулой

${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\ theta} (A) = \ left (\ int _ {A} e ^ {- \ theta \ varphi (x)} \, dx \ right) {\ bigg /} \ left (\ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} e ^ {- \ theta \ varphi (y)} \, dy \ right)}$

чтобы дать асимптотическое выражение для вероятности некоторого события A, когда θ становится большим. Например, если X - стандартная случайная величина с нормальным распределением на R , то

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ varepsilon \ log \ mathbf {P} {\ big [} {\ sqrt {\ varepsilon}} X \ in A {\ big]} = - \ mathop {\ mathrm {ess \, inf}} _ {x \ in A} {\ frac {x ^ {2}} {2}}}$

для каждого измеримого множества A .

Смотрите также

• Метод Лапласа

Ссылки

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Техники и приложения с большими отклонениями . Приложения математики (Нью-Йорк) 38 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. xvi + 396. ISBN 0-387-98406-2. Руководство по ремонту 1619036