Изопериметрический размер - Isoperimetric dimension

В математике , то изопериметрическая размерность из многообразия является понятием измерения , которое пытается захватить как крупномасштабное поведение в многообразном напоминает о евклидове пространства ( в отличии от топологической размерности или размерности Хаусдорфа которые сравнивают различные местные поведения против тех Евклидово пространство).

В евклидовом пространстве , то изопериметрическая неравенство говорит , что из всех тел с тем же объемом, шарик имеет наименьшую площадь поверхности. В других коллекторах обычно очень трудно найти точное тело, минимизирующее площадь поверхности, и изопериметрический размер не в этом. Вопрос, который мы зададим, заключается в том, какова приблизительно минимальная площадь поверхности, каким бы тело это ни осознавало.

Формальное определение

Мы говорим о дифференцируемом многообразии M, что оно удовлетворяет d -мерному изопериметрическому неравенству, если для любого открытого множества D в M с гладкой границей выполняется

${\ displaystyle \ operatorname {area} (\ partial D) \ geq C \ operatorname {vol} (D) ^ {(d-1) / d}.}$

Обозначения vol и area относятся к обычным понятиям объема и площади поверхности на многообразии, или, точнее, если многообразие имеет n топологических измерений, то vol относится к n- мерному объему, а площадь относится к ( n  - 1) -мерному объему. . C здесь относится к некоторой константе, которая не зависит от D (она может зависеть от многообразия и от d ).

Изопериметрическая размерность из М является верхней гранью всех значений г таким , что M удовлетворяет д - мерный изопериметрическая неравенство.

Примеры

Д - мерное евклидово пространство имеет размерность изопериметрическое д . Это хорошо известная изопериметрическая проблема - как обсуждалось выше, для евклидова пространства константа C известна именно потому, что минимум достигается для шара.

Бесконечный цилиндр (т.е. продукт из круга и линии ) , имеет топологическую размерность 2 , но изопериметрическое размерность 1. Действительно, умножая любое многообразие с компактным многообразием не меняет изопериметрическое измерения (это только изменяет значение константы С ). Любое компактное многообразие имеет изопериметрическую размерность 0.

Также возможно, чтобы изопериметрический размер был больше, чем топологический размер. Простейшим примером является тренажерный зал в бесконечных джунглях , имеющий топологическую размерность 2 и изопериметрическую размерность 3. См. [1] для изображений и кода Mathematica.

Гиперболическая плоскость имеет топологическую размерность 2 и изопериметрическую размерность бесконечности. Фактически гиперболическая плоскость имеет положительную постоянную Чигера . Это означает, что он удовлетворяет неравенству

${\ displaystyle \ operatorname {area} (\ partial D) \ geq C \ operatorname {vol} (D),}$

что, очевидно, влечет бесконечную изопериметрическую размерность.

Графиков

Аналогичным образом можно определить изопериметрическую размерность графов . Точное определение дано в обзоре Чанга. Площадь и объем измеряются заданными размерами. Для каждого подмножества А из графа G Определяется как множество вершин в с соседом в  А . Теперь d- мерное изопериметрическое неравенство определяется формулой ${\ displaystyle \ partial A}$${\ Displaystyle G \ setminus A}$

${\ displaystyle | \ partial A | \ geq C \ left (\ min \ left (| A |, | G \ setminus A | \ right) \ right) ^ {(d-1) / d}.}$

(Этот вопрос MathOverflow предоставляет более подробную информацию.) Аналоги графов всех приведенных выше примеров остаются в силе, но определение немного отличается, чтобы избежать того, что изопериметрическая размерность любого конечного графа равна 0: В приведенной выше формуле объем заменен на ( см. обзор Чанга, раздел 7). ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ мин (| A |, | G \ setminus A |)}$

Изопериметрический размер d -мерной сетки равен d . В общем, изопериметрическая размерность сохраняется с помощью квазиизометрий , как квазиизометрий между многообразиями, между графами, и даже с помощью квазиизометрий, переводящих многообразия в графы, с соответствующими определениями. Грубо говоря, это означает, что граф, «имитирующий» данное многообразие (поскольку сетка имитирует евклидово пространство), будет иметь такую ​​же изопериметрическую размерность, что и многообразие. Бесконечное полное двоичное дерево имеет изопериметрическую размерность ∞.

Последствия изопериметрии

Простое интегрирование по r (или сумма в случае графиков) показывает, что d- мерное изопериметрическое неравенство влечет рост d -мерного объема , а именно

${\ displaystyle \ operatorname {vol} B (x, r) \ geq Cr ^ {d}}$

где B ( x , r ) обозначает шар радиуса r вокруг точки x на римановом расстоянии или на расстоянии графика . В общем, обратное неверно, т. Е. Даже равномерно экспоненциальный рост объема не подразумевает какого-либо изопериметрического неравенства. Простой пример можно получить, взяв граф Z (т. Е. Все целые числа с ребрами между n и n  + 1) и соединив с вершиной n полное двоичное дерево высоты | п |. Оба свойства (экспоненциальный рост и изопериметрическая размерность 0) легко проверить.

Интересное исключение - случай групп . Оказывается, группа с полиномиальным ростом порядка d имеет изопериметрическую размерность d . Это справедливо и для случая групп Ли и для графа Кэли в виде конечно порожденной группы .

Теорема Варопулоса связывает изопериметрическую размерность графа со скоростью ухода от случайного блуждания по графу. Результат гласит

Теорема Варопулоса: если G - граф, удовлетворяющий d-мерному изопериметрическому неравенству, то

${\ Displaystyle р_ {п} (х, у) \ leq Cn ^ {- d / 2}}$

где - вероятность того, что случайное блуждание по G, начавшееся из x, будет через y после n шагов, а C - некоторая константа.${\ textstyle p_ {n} (х, у)}$

Ссылки

---

• Исаак Чавел, Изопериметрические неравенства: дифференциальные геометрические и аналитические перспективы , Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания (2001), ISBN  0-521-80267-9

Обсуждает тему в контексте многообразий, без упоминания графов.

• Н. Ч. Варопулос, Изопериметрические неравенства и цепи Маркова , J. Funct. Анальный. 63: 2 (1985), 215–239.
• Тьерри Кулон и Лоран Салофф-Кост, Isopérimétrie pour les groupes et les Varétés , Rev. Mat. Iberoamericana 9: 2 (1993), 293–314.

В статье содержится результат, что на группах полиномиального роста, роста объема и изопериметрических неравенств эквивалентны. На французском.

• Фань Чунг, Дискретные изопериметрические неравенства . Обзоры по дифференциальной геометрии IX , International Press, (2004), 53–82. http://math.ucsd.edu/~fan/wp/iso.pdf .

Эта статья содержит точное определение изопериметрической размерности графа и устанавливает многие из его свойств.